2022年概率论与数理统计期末试卷及答案2.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计期末试卷一、填空（每道题 2 分,共 10 分）设是三个随机大事,就至少发生两个可表示为 _；表示. 掷一颗骰子,表示“ 显现奇数点 ” ,表示“ 点数不大于 3” ,就_；已知互斥的两个大事 满意,就 _；设 为两个随机大事,就 _；设 是三个随机大事,、,就 至少发生一个的概率为 _；二、单项挑选（每道题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内；每道题 2 分,共20 分）1. 从装有 2 只红球, 2 只白球的袋中任取两球,记“ 取到 2 只白球 ”,就（）；A 取到 2 只红球B 取到 1 只白球C

2、没有取到白球 2对掷一枚硬币的试验 , “ 显现正面 ” 称为（D 至少取到 1 只红球）；名师归纳总结 A 随机大事B 必定大事）；C 不行能大事D 样本空间3. 设 A、B 为随机大事,就 A A （B B）；4. 设C AB D 和 是任意两个概率不为零的互斥大事,就以下结论中确定正确选项（）；A 与互斥B与不互斥CD5. 设为两随机大事,且,就以下式子正确选项（）；A BCD6. 设相互独立,就（）；A BCD7. 设是三个随机大事,且有,就（）；A 0.1B 0.6C 0.8D 0.78. 进行一系列独立的试验,每次试验胜利的概率为p,就在胜利 2 次之前已经失败 3 次的概率为（A

3、 p21 p3 C 5 p21 p3 B 4 p 1 p3D 4 p21 p3第 1 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9. 设 A、B 为两随机大事,且,就以下式子正确选项（）；A B ）；C D 10. 设大事 A 与 B 同时发生时,大事C 肯定发生,就（A PA B = P C C P A + P B P C 1 三、运算与应用题（每道题 8 分,共 64 分）B P A + P B P C 1D P A + P B P C1. 袋中装有 5 个白球, 3 个黑球；从中一次任取两个；求取到的两个球颜色不同的概率；2. 10 把钥

4、匙有 3 把能把门锁打开；今任取两把；求能打开门的概率；3. 一间宿舍住有 6 位同学,求他们中有 4 个人的生日在同一个月份概率；4. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个次品,从中一次抽取 3 个,求至少取到一个次品的概率；5. 加工某种零件,需经过三道工序,假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2 ,0.1 ,0.1 ,并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关；求该种零件的次品率；6. 已知某品的合格率为0.95 ,而合格品中的一级品率为0.65 ；求该产品的一级品率；7. 一箱产品共 100 件, 其中次品个数从 0 到 2 是等可能的；开箱检验时,从中随机抽取 10 件,

5、假如发觉有次 品,就认为该箱产品不合要求而拒收；如已知该箱产品已通过验收,求其中的确没有次品的概率；8. 某厂的产品,按甲工艺加工,按乙工艺加工,两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与 0.9 ；现从该厂的产品中有放回地取5 件来检验,求其中最多有一件次品的概率；四、证明题（共 6 分）设,；证明试卷一 参考答案 一、填空1. 2. 显现的点数恰为 5或3. 名师归纳总结 4. 0.6与互斥就第 2 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故5. 至少发生一个,即为又由 得 故二、单项挑选 12. A 3. A 利用集合的运算性质可得

6、. 45故与互斥故 6相互独立7.且名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就8.9. B10. B故 P A + P B P C 1 三、运算与应用题1. 解：设 表示“ 取到的两球颜色不同 ” ,就而样本点总数故 2. 解：设表示“ 能把门锁打开 ” ,就,而故 3. 解：设 表示“ 有 4 个人的生日在同一月份 ” ,就而样本点总数为故 4. 解：设表示“ 至少取到一个次品 ” ,因其较复杂,考虑逆大事=“没有取到次品 ”就包含的样本点数为；而样本点总数为故 5. 解：设“ 任取一个零件为次品 ”“ 任取一个零件为

7、正品 ” ,表示通过三道工序都合由题意要求,但较复杂,考虑逆大事格,就于是 6. 解：设表示“ 产品是一极品 ”,表示“ 产品是合格品 ”明显,就于是即 该产品的一级品率为 7. 解：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设“ 箱中有件次品 ”,由题设,有,又设“ 该箱产品通过验收 ” ,由全概率公式,有于是8. 解：依题意,该厂产品的合格率为,于是,次品率为 设 表示“ 有放回取 5 件,最多取到一件次品 ”就四、证明题证明由概率的性质知,就,又且故试卷二一、填空（每道题 2 分,共 10 分）名师归纳总结 - -

8、- - - - -第 5 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 如随机变量的概率分布为,就_；2. 设随机变量,且,就_；3. 设随机变量, 就_；4. 设随机变量,就_；5. 如随机变量的概率分布为就_；二、单项挑选 每题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内；每道题分1. 设 与 分别是两个随机变量的分布函数,为使量的分布函数,在以下给定的各组数值中应取（）；2 分,共 20是某一随机变ABCD2. 设随机变量的概率密度为,就（）；A ；BCD3.以下函数为随机变量分布密度的是B A 名师归纳总结 C ,；D ）；第 6 页,共 23

9、 页4.以下函数为随机变量分布密度的是BAC D5. 设随机变量的概率密度为,就的概率密度为（ABCD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 设听从二项分布,就（）；A BC D 7. 设,就（）；A BC D8设随机变量 的分布密度为 , 就（）；A 2 B 1C 1/2 D 49对随机变量 来说,假如,就可确定 不听从（）；A 二项分布 B 指数分布C 正态分布 D 泊松分布10设 为听从正态分布 的随机变量,就 ；A 9 B 6 C 4 D - 3 三、运算与应用题（每道题 8 分,共 64 分）1. 盒内有 12 个乒乓球,其中 9 个是新球,

10、 3 个是旧球；实行不放回抽取,每次取一个,直到取到新球为止；求抽取次数 的概率分布；2. 车间中有 6 名工人在各自独立的工作,已知每个人在1 小时内有 12 分钟需用小吊车；求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？（2）如车间中仅有 2 台小吊车,就因小吊车不够而耽搁工作的概率是多少？3. 某种电子元件的寿命是随机变量,其概率密度为150小时后仍能正常工作的概率；求（1）常数；（2）如将 3 个这种元件串联在一条线路上,试运算该线路使用名师归纳总结 4. 某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量,且；第 7 页,共 23 页求（1）这样的电池寿命在250 小时以上的概率；（2）

11、,使电池寿命在内的概率不小于 0.9 ；5. 设随机变量；求概率密度；6. 如随机变量听从泊松分布,即,且知；求；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7. 设随机变量 求 和的概率密度为；8. 一汽车沿一街道行使,需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,求红或绿两种信号灯显示的时间相等；以 表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数；求（1）的概率分布；（2）；四、证明题（共 6 分）设随机变量 听从参数为 2 的指数分布；证明：在区间 上,听从匀称分布；试卷二参考答案一、填空1. 6由概率分布的性质有得即；,2.

12、 ,就3. 0.54. 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 0.25由题设,可设即0 10.5 0.5就二、单项挑选1. 由分布函数的性质,知2. 就,体会证只有满意,选由概率密度的性质,有3. 由概率密度的性质,有4. 由密度函数的性质,有5. ,求导数得6. 是单减函数,其反函数为由公式,的密度为由已知听从二项分布,就又由方差的性质知 ,名师归纳总结 7. 第 9 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于是 8. A 由正态分布密度的定义 , 有 9.

13、D 假如 时, 只能挑选泊松分布 .10. D X 为听从正态分布 N - 1, 2, EX = - 1 E2X - 1 = - 3三、运算与应用题1. 解：设为抽取的次数的可能取值为：只有个旧球 , 所以由古典概型,有就12342. 解：设表示同一时刻需用小吊车的人数,就是一随机变量,由题意有,于是（1）的最可能值为,即概率达到最大的（2）3. 解：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）由 可得（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作,而这里三个元件的工作是相互独立的,因此,如用 表示“ 线路正

14、常工作 ”,就而故 4. 解：（1）（查正态分布表）（2）由题意即查表得；5. 解:对应的函数单调增加,其反函数为,求导数得,又由题设知故由公式知：6. 解:,就而由题设知名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即可得故查泊松分布表得,7. 解:由数学期望的定义知 ,而故 8. 解:（1）的可能取值为且由题意 , 可得即0123（2）由离散型随机变量函数的数学期望,有四、证明题证明：由已知得就连续,单调,存在反函数又由名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - -

15、 - - - 且当时,就故即试卷三一、填空（请将正确答案直接填在横线上；每道题 2 分,共 10 分）1. 设二维随机变量 的联合分布律为,就 _,_.2. 设随机变量 和 相互独立,其概率分布分别为,就 _.3. 如随机变量 就与 相互独立,且听从_分布.,4. 已知与相互独立同分布,且就_.5. 设随机变量的数学期望为、方差,就由切比雪夫不等式有_.名师归纳总结 二、单项挑选 在每题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内；每道题2 分,共第 13 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 20 分A1. 如二维随机变量

16、的联合概率密度为,就系数（）.ABCD2. 设两个相互独立的随机变量）.和分别听从正态分布和,就以下结论正确选项（ABCD3. 设随机向量 X , Y的联合分布密度为, 就（）.A X , Y 听从指数分布B X 与 Y不独立C X 与 Y 相互独立D covX , Y 04. ）.设随机变量相互独立且都听从区间 0,1上的匀称分布,就以下随机变量中听从匀称分布的有（A BCD5. 设随机变量与随机变量相互独立且同分布 , 且, 就以下各式中成立的是（）.BCD6设随机变量的期望与方差都存在 , 就以下各式中成立的是（）.ABCD7. 如随机变量是的线性函数,且随机变量存在数学期望与方差,就与

17、的相关系数（）.ABCD8. 设是二维随机变量,就随机变量与不相关的充要条件是（）.ABC D名师归纳总结 9. 设是个相互独立同分布的随机变量,第 14 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就对于,有（）.ABXi i = 1,2, 听从参数为 的指数分布,正态分CD10. 设,为独立同分布随机变量序列,且布 N 0, 1 的密度函数为, 就（）.三、运算与应用题（每道题8 分,共 64 分）1. 将 2 个球随机地放入 3 个盒子,设 表示第一个盒子内放入的球数,表示有球的盒子个数 .求二维随机变量 的联合概率分布 .2. 设二维随机

18、变量 的联合概率密度为（1）确定 的值；（2）求；.3. 设的联合密度为（1）求边缘密度（2）判定 与和 是否相互独立 .4. 设 的联合密度为求 的概率密度 .名师归纳总结 5. 设,且与相互独立 .第 15 页,共 23 页求（1）的联合概率密度；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）；（3）.4,标准差是 1.5.6. 设的联合概率密度为求及.7. 对敌人阵地进行 100 次炮击；每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是 求 100 次炮击中有 380 至 420 课炮弹命中目标的概率 .8. 抽样检查产品质量时,假如发觉次品数多于10 个,就认为这

19、批产品不能接受.问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达0.9.四、证明题（共 6 分）设随机变量的数学期望存在,证明随机变量与任一常数的协方差是零 .试卷三 参考解答 一、填空1. 由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得2. 3. 相互独立的正态变量之和仍听从正态分布且,4. 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 二、单项挑选 1. B由即挑选 B.2. B由题设可知,故将 标准化得挑选 B. 3. C挑选 C. 4. C随机变量 相互独立且都听从区间 0,1上的匀称分布 ,

20、就挑选 C. 5. A挑选 A.6. A由期望的性质知名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 挑选 A. 7. D挑选 D. 8. B与 不相关的充要条件是即就挑选 B.9. C挑选 C.10. A Xi i = 1,2, 听从参数为 的指数分布,就故挑选 A.三、运算与应用题 1. 解名师归纳总结 明显的可能取值为；的可能取值为第 18 页,共 23 页留意到将个球随机的放入个盒子共有种放法 , 就有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即 的联合分布律为2. 解（1）由概率密度

21、的性质有可得（2）设,就3. 解（1）名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即即,（2）当与不相互独立 .时故随机变量4. 解故先求的分布函数明显,随机变量的取值不会为负,因此当时,当时,的概率密度为5. 解（1）与相互独立名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的联合密度为（2）（3）6. 解名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 于是由对称性故7. 解.设 表示第 次炮击命中目标的炮弹数,由题设,有,就 次炮击命中目标的炮弹数,因 相互独立,同分布,就由中心极限定理知近似听从正态分布名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 于是8. 解设应检查 个产品,其中次品数为,就由题设,这里,可以认为 较大,就由棣莫弗 拉普拉斯定理知,近似听从正态分布依题意,有即亦即查表得故至少应检查个产品,才能达到题设要求.四、证明题证由协方差的定义及数学期望的性质,得名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 23 页