2022年武汉大学计算方法历年期末考试试题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载武汉高校 2022-2022 学年其次学期考试试卷运算方法（A 卷）（36 学时用）学院：学号：姓名：得分：R 2x ；一、（10 分）已知yfx的三个值x i0 1 2 y i 0.2 -1.8 1.8 （1） 求二次拉格朗日插值 L2x ； （2）写出余项二、（10 分）给定求积公式求出其代数精度,并问是否是1fx dxf1f1133Gauss型公式；2 aa0三、（10 分）如矩阵A0a0,说明对任意实数a0,方程组AXb都是非病态的（范数用00a）；四、（12 分）已知方程ex10x40在0 ,0 .4内有唯独根；迭代

2、格式 A：xn1ln410xn；迭代格式 B：x n114ex n10试分析这两个迭代格式的收敛性；五、（12 分）设方程组a 11a 12x 1b 1,其中a 11a220,a21a22x 2b 2分别写出 Jacob 及 Gauss-Seidel 迭代格式,并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载六、（12 分）已知 y f x 的一组值x i 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 f xi -1 -2 0 2 3 4 1 2 2.分别用复化

3、梯形公式和复化辛卜生公式运算0.1 f x dx七、（12 分） 2022 年 5 月左右,北美爆发甲型 H1N1流感,美国疾病掌握和预防中心发布的美国感染者人数见下表；为使运算简洁,分别用 x=-1,0,1,2 代表 2022 年 5 月 2,3,4,5 日；日期 5 月 2 日 5 月 3 日 5 月 4 日 5 月 5 日x-1 0 1 2 y （人数）160 226 279 403 依据上面数据,求一条形如 y ax 2 bx 的最小二乘拟合曲线；八、（12 分）用改进欧拉方法（也称预估- 校正法）求解方程：y 0 x1y2x0 ,1；（取步长h0 . 5）x2c0的正根；（1）写出解

4、此方y九、（ 10 分）对于给定的常数c ,为进行开方运算,需要求方程程的牛顿迭代格式；（2）证明对任意初值x0c, 牛顿迭代序列xn单调减且收敛于c . 武汉高校 2022-2022 学年其次学期考试试卷1、解：（1）二次拉格朗日插值为L 2 0.2x1x2 2 1.8x0x21.8x0x15x211x20101012202122（2）余项为R 2 f x x1x23.名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2、解：当 f x 1 时,左边 =2, 右边 =2；当 f x x 时,左边 =0, 右边

5、=0；当 f x x 时,2 左边 = 2 , 右边 = 2；3 3当 f x x 时,3左边 =0, 右边 =0；当 f x x 时,4 左边 = 2 , 右边 = 2 , 左边 右边 ；5 9于是,其代数精度为 3,是高斯型求积公式；1/ 2 a 1/ 2 a 03、解：A 1 0 1/ a 0 | A 1 | 1/| a |0 0 1/ a而 | A | 3 | a ,于是 cond A | A | | A 1| 3,所以题干中结论成立；4、解：（1）对于迭代格式A：xn1ln410xn,x,在0 ,0 .4 内其迭代函数为 ln410 410x51025| |25x1,5所以发散；（2

6、）对于迭代格式B：x n114ex n,10其迭代函数为 lx e ,在0 ,0 .4 内10| |1x e1,10所以收敛；5、解：（1）Jocobi 迭代法： x 1k1a 221/a 111/00a 12a 11 x 1k1/a 111/0Jb 1|a a 21 12|1x 2k0a 22a 210x 2 0a 22b 20a 12/a 11 x 1kb 1/a 21/0x 2 b 2/a 22由于a 21/a 22a 12/a 11=2a a 21 120|a a 21 12|a a 11 22a a 11 22a a 11 22（2）Gauss-Seidel 迭代法： x 1k11/

7、a 111/00a 12 x 11/a 111/0b 1第 3 页,共 17 页x 2k1a 21/a a 11 22a 2200x 2 a 21/a a 11 22a 22b 2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于0a 12/a 11 x 1学习必备/欢迎下载G|a a 21 12|b 1/a 110a a 21 12/a a 11 22x 2 b a 1 21/a a 11 22b 2a 22a 12/a 11= a a 21 120a a 21 120a a 21 12/a a 22a a 22a a 22a a 22综上分析可知

8、两种迭代法同时收敛同时发散；6、解：（1）复化梯形公式（h0.2）y5y6y62.2f x dxhy02y 1y2y3y 41.020.2 12 2023411.42（2）复化辛普森公式（h0.4）y 3y 52.2f x dxhy02y 2y44 y11.060.412034 22411.2666767、解：依题意,可知11160111601.93757.38109、解：（1）牛0 0a2261 1b2794 243010140 0a101422610121 1b1012279188a4 2430219586b997a111.5y n2x n1yn2n0,1.b5.58、解：yn1y nh

9、x ny n1y nhx ny n212y 01y 0212 0.50 1 1.5y 1y 0h x 0y 1y 0hx 0y 02x 12 y 110.502 12 0.5 1.5 22y2y 1h x 1y 122 1.9375 0.50.5 1.9375 4.064512 4.0645 第 4 页,共 17 页y 2y 1hx 1y 12x 2y221.93750.52 0.5 1.937522顿迭代格式名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x k1x kf x k x kx k2cfx k2c2学习必备欢迎下载c作为初始值, 迭代序列

10、必收敛到c ,fx k2x k2x k（2）由于x0时,f 0, 0,所以取任意x0故迭代公式是收敛的；武汉高校 2022-2022 学年其次学期考试试卷学院：学号：姓名：1运算方法（A 卷）（36 学时用）Cond A 得分：23一、（10 分）设A014,x1,2,1 T, 求范数Ax、谱半径 A 、条件数二、（10 分）已知y001f x 的一组值：i x0 1 2 -2 4 8 yi 分别求二次拉格朗日插值多项式及牛顿插值多项式；三、（10 分）已知数据xi a-2-1 0 1 2 1, 0, 0,1 , 3.5,4 内；yi 01 210 求形如ybxcx2的最小二乘拟合曲线；四、（

11、15 分）已知3 x2x e0的三个根分别位于区间（1）分别争论迭代格式nx11enxn0,1,求这三个根时的收敛性；4 内23（2）写出求 3.5,4 内根的牛顿迭代格式, 并说明如何选取初值x ,使牛顿迭代收敛于 3.5,的根；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五、（10 分）用杜利特尔（ Doolittle学习必备欢迎下载Axb,）分解算法求解方程组其中A211b204134466268六、（15 分）设方程组（1）（2）1a0x 1b 1a1ax 2b 20a1x 3b 3分别写出雅可比迭代格式及高斯- 赛

12、德尔迭代格式；问常数 a 取何值时,雅可比迭代格式收敛；七、（10 分）已知yfx的一组值x1111122h0 . 5）：i .0 .2 .4 .6 .8 .0 .2 f1 -3 2 2 -2 4 5 xi 分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式运算2.2fx dx1.0八、（10 分）用改进欧拉法（也称预估- 校正法）求解方程（取步长dylnxy xa ,0,1 （取 5 位有效数字运算）xnb,dxy01b内插入分点,分点为ax0x 1九、（10 分）在设bf x dxin0A f x i为插值型求积公式；2 n1. a（1）导出系数iA的公式；（2）证明此求积公式的代数精度大于等于n, 且不

13、超过运算方法 2022 春 A 卷参考答案 2022-5-29 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3.5, 4上,1211一、A1014,A8, 1,Cond A 6 1484001二、L2 N2 x27x2三、0 1,1 x,2 x211111aA T21012,Cb,y01210T41014c5010a4ATACT Ay,0100b010034c2a58,b0,c3357四、（1） 1x 1ex1,所以求 0, 1内根时迭代收敛；在e ；在区间 0,1上,232 3 1,迭代发散；而在-1, 0

14、 上,对任意0x ,迭代得到的x 均为正值 ,所以迭代发散；（ 2）设f x 3x2x e ,在 3.5,4内,f 0,f 0,取x0x*,直接取x04100211五、ALU210031331004Lyb,解得y20,4,T 4Uxy,解得x10,1,T 1 x 1k10a0 x 1b 1六、 Jacobi x 2k1a0a x 2b 2, G-S 迭代类似 略； x 3k10a0 x 3b 3Jacobi 迭代阵为0a0,特点值为2a0,2a ,2a2第 7 页,共 17 页B Ja0a0a0B J1,所以谱半径22七、复化梯形Thy02 y 1y2y3y4y5y6=2.2 h=0.2 2名

15、师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 复化辛卜生Shy04y 12y24y 32y学习必备y6欢迎下载44y5=2.133 3八、f x y , lnxy,h0.5,x00,x 10.5,x21y n1y n0.5lnx ny nyn1y n0.25lnx ny nlnx n1y n1y 11.0000y 11.1014y 21.3368y21.4313九、系数A ibl x dx（见教材P157）；a代数精度见P159, P184 武汉高校 2022-2022 学年其次学期考试试卷学院：学号：姓名：x运算方法（A 卷）（36 学时用）得分：1

16、、（12 分）已知方程x e20有一个正根及一个负根；（1）估量出含根的区间；（2）分别争论用迭代格式 nx 1 e x n 2 求这两个根时的收敛性；（3）假如上述格式不迭代,请写出一个你认为收敛的迭代格式（不证明）；2、（12 分）用杜利特尔（ Doolittle）分解算法求解方程组 Ax b,其中211a6A430,b15679343、（14 分）设常数0,方程组a13x 13 a第 8 页,共 17 页1a2x2a132ax 32a5（1）分别写出 Jacobi 迭代格式以及高斯 - 赛德尔迭代格式；试求a的取值范畴,使得 Jacobi 迭代格式是收敛的；（2）名师归纳总结 - - -

17、 - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4（12 分）已知 3 次多项式 y f x ax 3 bx 2 cx d 的三个值：xi 123 yi 1 -1 2 （1） 求二次拉格朗日插值 L 2x 及余项；3（2）能否运算出1 f x dx的精确值？并说明理由；假如能够,请运算出结果；5、（12 分）已知数据ix1 2 sin2x3 4 iy2 1 0 1 依据上面数据,求一条形如yaxb的最小二乘拟合曲线；66、（12 分）已知yfx 的一组值：xi 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 h0.5）：fxi 1 2

18、 0 -1 -3 -1 1 3 2 分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式运算2.6f x dx ；1.07、（12 分）用改进的欧拉方法（也称预估- 校正法）求解方程（取步长y0xyx0,1第 9 页,共 17 页y18、（14 分）设fx 在 , a b 上二阶可导连续,将 , a b 2n 等分,分点为ax 0x 1x 2nb ,步长为hba2 n（1）证明求积公式x 2k2f x dx2 hf x 2k1的截断误差为x 2kR kh3fk,kx2k2,x2k,k1,2,n3利用（ 1）中的求积公式及误差理论,导出求积分b af x dx 的复化求积公式及其误差；名师归纳总结 - - - -

19、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载武汉高校 2022-2022 学年其次学期考试试卷x1、解：（1）【4 分】设 f x x e 2,f 1 3 e 0,f 2 4 e 20 含正根的区间为 1,2；f 1 1 e 10,f 2 e 20 含负根的区间为 2, 1；（2）【4 分】迭代函数为 g x e x 2,就 g x e x在含正根区间 1,2上,| g | e xe 11,迭代格式发散； 【 2 分】在含负根区间 2, 1上,| g x | e xe 11,迭代格式收敛； 【2 分】（3）【4 分】在含正根区间 1,2上,收敛的迭代格式为

20、x n 1 ln x n 2；2、解：（1）【8 分】先对 A 进行 Dollittle 分解；2 1 1 1 0 0 u 11 u 12 u 13A 4 3 0 l 21 1 0 0 u 22 u 23 L U6 7 9 l 31 l 32 1 0 0 u 33u 11 a 11 2, u 12 a 12 1, u 13 a 13 1;l 21 a 21 2 l 31 a 313;u 11 u 11u 22 a 22 l u 12 3 2 1 1, u 23 a 23 l u 13 0 2 1 2;l 32 a 32 l u 31 12 7 3 1 4;u 22 1u 33 a 33 l u

21、 13 l u 23 9 3 1 4 2 4所以21110021x 116第 10 页,共 17 页A430210012；679341004100y 16y 1（2）【2 分】210y 215y 23341y 334y 34211x 163（3）【2 分】012x23x21004x 34x313、解：（1）【4 分】 Jacobi迭代法：名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）学习必备欢迎下载3a0a20a3a x 1k11/a00013x 1 1/a00x2k101/a0102x 2 01/a0a1x 3k1001/a320x 3 00

22、1/a2a501/a3 /ax 1 3a1/a02 /ax 2 1 1/a3 /a2 /a0x 3 25 /a【4 分】 Gauss-Seidel迭代法： x 1k1a001013x 1 a0013 ax 2k11a0002x 2 1a0a1x 3k132a000x 3 32a2 a51/a00013x 1 1/1/a21/a0002x 2k1/a21/0a13 /a22 /a32/a21/a000x 3 3/a22 /a32 /a1/2a501/a3 /a x 13a201/a23 /a22 /ax2 14 /a03 /a22 /a35 /a26/a3xk216 /a8 /3【6 分】考虑J

23、acobi 迭代法的收敛性,即判定其谱半径是否小于1. 1/a1/a3 /a02400或2i2 /a2 /aa2a3 /a所以谱半径为|2|；a该迭代法收敛的充分必要条件为|2|1,亦即a2 或a2；a4、解：【4 分】L2 1x2x3 1x1x32xx1x25x219x812132123313222【4 分】R 2 f x1x2x3a x1x233.（3）【4 分】3f x dx3L 2 x dx3R x dx1110,所以由于3R 2 x dxa3x1x2x3dx113f x dx3L 2 x dx352 x19x8 dx11112235、解：依题意,可知名师归纳总结 - - - - -

24、- -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载22320.512 sin / 621 1/ 41【4 分】22 sin / 3a12 3 / 4a3b031b02 sin / 2142 sin 2/ 314 3 / 44【4 分】12341 1/ 4a1232 3/ 411313131331b04444444 3/ 41307.75a87.752.1875b2【4 分】a0.3596b0.35960 13 1 1拟合曲线为y0.3596 x2 0.3596sinx66、解： 1 【6 分】复化梯形公式（h0.2）1.6f x dxhy 02y

25、 1y 2y 7y 80.1 12 202（2）【6 分】复化辛普森公式（h0.4）1.6f x dxhy 04y 1y 3y 5y 72y 2y4y6y 8060.41421 13203120.73367、解：（1）【8 分】先写出预估- 校正格式：yn1y nhx y ny n1y nhx y nx n1yn1n0,1.2（2）【4 分】y 01x1.617k中,fx的 Taylor绽开式为第 12 页,共 17 页y 1y 0hx y 010.5 0 11y 1y 0hx y 0 0x y 1 110.50 1 0.5 11.12522y 2y 1hx y 11.1250.5 0.5 1

26、.1251.4063y 2y 1hx y 1x y21.1250.50.5 1.125 1 1.4063228、证明：（1）【7 分】该求积公式实际上是中矩形公式；在区间2k2,x2f x f x 2k1fx2k1xx 2k1f2k1xx 2k122.名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 两边同时在区间x2k2,x2k学习必备欢迎下载kxx 2k12 dx上积分,并利用积分其次中值定理,可得x2k2f x dx2 hf x 2k1fx 2k1x 2k2xx 2k1dxx 2k2fx 2kx 2kx 2k2.2 hf x 2 k1fkx 2k2

27、xx 2k12dx2.x 2k2hf x 2k1fk3 h3（2）【7 分】复化求积公式为bf x dxn1x2k2f x dxkn12 hfx2k12hn1fx 2k1akx 2kk误差为Rbf x dxn12 hfx2 k1kn1x 2k2f x dx2hfx 2k1kn1h3fkh2fkakx 2k33武汉高校运算方法历年期末考试重点六、（15 分）分别写出求解以下方程组的雅可比、高斯 敛；7x 12x22 x37 ,2x 18x22x 3,12x 12x29x3.3- 赛德尔以及超放松迭代格式,并说明是否收九、（10 分）设f x 在a,b上导数连续；将a,b n 等分,分点为ahx0x1xnb,步长hbnai2x i1fx dxhfx i的误差为R1f（1）证明右矩形公式x i2（2）写出求bfx dx的复化右矩形公式；a（3）导出复化右矩形公式的误差；三、（10 分）已知数据设fxaxi x120 1 2 3 iyi2minxi0 1 2 3 yi 3 2 4 7 b3,求常数 a,b, 使得fx四、（15 分）设方程xex. i0名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - -