2022年概率统计重要知识点.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料概率论与数理统计重要学问点1七个概率公式B B ij（1）加法公式P ABP A P BP AB ,P A 1A 2A nnP A iP A Aji11ijnP A A A kn 11P A A 2A n1ijk n特殊,如A B 互斥,就P ABP A P B 如A A 1 2,A 两两互斥,就 nP A 1A 2A nP A 1P A 2P A n（2）减法公式P ABP AP AB （3）逆概公式P A 1P A （4）乘法公式P A A 2A nP A P A 2|A 1P A n|A A 2A n1特殊,如A A 2

2、,A 相互独立,就P A A 2A nP A P A 2P A n（5）全概率公式设B B 2,B 为完备大事组 （即：B 1B 2B n,1ijn ）,且P Bj0 1jn ,就P BnP A P B P A Bii1（ 6 ） 贝 叶 斯 （ 逆 概 ） 公 式设B B 1 2,B 为 完 备 事 件 组 , 且j0 1jn ,P A 0,就P Bj|A P B P A B jni1P B P A B i（7）二项概率公式 （二项分布的背景）伯努利概型： 在相同的条件下, 重复做 n 次试验,这 n 次试验是相互独立的,每次试验的结果只有两个：A或 A,且在每次试验中 A 发生的概率不变,

3、 这样的n 次试验称为 Bernoulli概型 如P Ap ,就在这 n 次试验中大事 A恰好发生k 次的概率为名师归纳总结 p k k kC p1pn k, 0kn 第 1 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料2分布函数定义随机变量（ r.v. ） X 的分布函数 定义为x 2,pkP Xx k,F x P Xx x kxxpk,X为离散型r.v.,取值为x 1,f t d ,X为连续型r.v.,f x 为X的概率密度.3离散型 r.v. 及其分布律定义 r.v.X 的可能取值为x x 1 2,称P Xx kp k,k

4、1,2,为 X 的概率分布 或分布律 也可用表格表示为X1x2xp k1pp 24连续型 r.v. 及其概率密度定义设 r.v.X 的分布函数为F x ,如存在非负函数f x ,使得xR ,有F x xf t dt,x,Xb bf x d x ；就称 X 为连续型 r.v. ,f x 是 X 的概率密度 或密度函数 性质（1）f x 0；（2）f x d x1；（3）P aXb P aXb P aXb P aa（4）如f x 在 x 处连续,就F f x 5r.v. 函数的分布X r.v. ,YX ,f x X 的概率密度,y x 单调可导,就其中,min,fY fX |x y |,y,0,否

5、就 ,max, 6数学期望 （工具：无穷级数、广义积分）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定义EXx kxx p k,X名师精编优秀资料x x2,p kP Xxk,为离散型r.v.,取值为xf d , x X为连续型r.v.,f x 为X的概率密度.xk,性质（1）E XYEXEY ；（2）E XYEX EY （X Y 独立）；xkp k,X为离散型r.v.,取值为x x2,p kP X（3）EXx kx x f x d , x X为连续型r.v.,f x 为X的概率密度.工具箱 （1）nC a kn kb k a

6、b n；k0（2）n0xn11x,1x1；（3）n1nxn1x2,1x1；x（4）n12 n xnx1xx 3 , 1x1；1（5）n0n xx e ,x；n.（6）0xnx e d xn ；（7）ex 2d xx 2（8）e2dx27方差 （工具：无穷级数、广义积分）名师归纳总结 定义DXE XEX2 （定义式）E X2EX2（运算式）第 3 页,共 15 页性质（1）如 YaXb ,就DY2 a DX ；（2）D XYDXDY （X Y 独立）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料8常见分布名称P X1p分布律或概率密度期望方差p P

7、 X0q ,0-1 分布ppq0p1,q1二项分布P Xkpk k n kC p q,npnpqB n p 0p1,q1,k0,1,nk泊松分布P Xkk.e,0,l,Na1bbq2p 超几何分k0,1,P Xkk n kC C M N M,k0,1,Cn N布lminM n , ,M N n0,MN,n几何分布P Xkk pq1,0p1,pq1,k1,2,pp2匀称分布f x b1a,axb ,2a12正态分布0,其他 .f x 1ex2N ,2221221f x ex,x0,0指数分布0,x0,29正态分布名师归纳总结 标准正态分布N0,1：概率密度 1ex2,第 4 页,共 15 页22

8、分布函数 x1et2d t22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 性质（1）如XN ,2 ,就名师精编N优秀资料P aXbba；X0,1,故（2）如X1N ,2 1 ,X 2 N,2, 2k2 , Xn N1n2,k,X1,X2,X 相n互独立,C 1,C2,C 为任意常数,就nC XkNnC kkn2 C k2（再生性）；k1k110联合分布与边缘分布r.v.X ：R , Y ：R X Y 称为 二维 r.v. 或二维随机向量 X 与 Y 的联合分布函数p ij,pijP Xx Yyj,F x y , P Xx Yy x ixx yjyyf u v ,

9、 d d , , 2 RX 的分布函数称为 X Y 关于 X 的边缘分布 ：FX y limF x y , F x ,Y 的分布函数称为 X Y 关于Y的边缘分布 ：F Y x limF x y , F,y 性质 （1） lim xF x y , 0 lim yF x y , 0 lim xyF x y , 0 lim xyF x y , 1；（2）P x 1Xx 2,y 1Yy 2F x 2,y2F x 2,y 1F x y 2F x y 111联合分布律定义设 X Y 的可能取值为 , x yj, , i j1,2,称1p ij1P Xx Yyjp ij, , i j1,2,i1j即Y1y

10、y 2y nX名师归纳总结 1xp 11p 12p 1n第 5 页,共 15 页2xp 21p 22p 2n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x mp m 1名师精编2优秀资料pmnp m为 X Y 的分布律或 X 与 Y 的联合分布律 X Y 称为 离散型二维 r.v. 12边缘分布律Y1yP Xx iij1p ijp ij,i1,2,ipP Yyj1pijp,j1,2,2ynyX1xp 11p 12p 1n1p2xp 21p 22p 2np 2x mp m 1p m2p mnp mpjp1p2pn1 13联合概率密度定义设 X Y 的联合分布函数为

11、F x y ,如f x y , 0,s.t.,x yR ,都有名师归纳总结 就称 F x y , xyf u v , d d v u ,第 6 页,共 15 页X Y 为二维连续型 r.v. ,f x y 称为 X 与 Y 的联合概率密度 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 性质（1）名师精编优秀资料f x y , d d x y1；（2）如f x y 在 , x y 处连续,就2F x y , f x y , ；x y（3）P X Y , D f x y , d d x y D14边缘概率密度fX f x y , d ,x,Yf f x y , d ,

12、y15r.v. 的独立性X 与 Y 相互独立：x y R ,有 F x y , F X x F Y y 等价地,p ij p p i j , , i j 1,2,f x y , f X x f Y , x y R 16卷积公式名师归纳总结 ZXY ,Zf f x zxd xf zy y , d y 第 7 页,共 15 页如 X 与 Y 相互独立,就fZ fX x fYzx d xfXzy fY d y 17二维 r.v.的数字特点xi,yjp ij,EX Yi1j1 , x y f , d d .X 、 Y 的协方差covX Y , E XEX Y（定义式）EYE XY EXEY（运算式）性

13、质（1） covX YcovY X；（2）cov a Xb a Yb 2a a 2covX Y ,其中a a b b 为常数；（3）covX1X2, covX Y 1covX2, Y ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4）如X Y 独立,就 cov名师精编0优秀资料X Y；（5）D X Y DX DY 2cov X Y ,特殊地,如 X Y 独立,就 D X Y DX DY ；X 和 Y 的相关系数 XY cov X Y E XY EXEY DX 0, DY 0DXDY DXDY性质（1）XY 1 XY 1 X 与 Y 概率为 1 地正（负）线性相

14、关,即存在常数 a 0 0 和 b ,使得 P Y aX b 1（2） X 与 Y 相互独立 不成立 X 与 Y 不相关（3）如 X Y 听从二维正态分布,就“X 与 Y 相互独立 X 与 Y 不相关” 18常见二维分布（1）匀称分布f x y , 1 , , S DD,其中S 为平面区域 D 的面积；D（2）二维正态分布0,其他 ,X Y , N1,2,2,2,12EX1,DX2,EY2,DY2, covX Y12,XY12XN1,2,YN2,21219r.v. 序列依概率收敛定义设X1,X2,是 r.v. 序列,如存在 r.v.X ,使对任意0,恒有lim nP |XnX|0,或等价地就称

15、 r.v. 序列 Xnlim nP |XnX|PX1依概率收敛于 X ,记作nlim nXnXP或Xn20r.v. 序列听从大数定律名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定义设X1,X2,名师精编优秀资料EX 存在,如是 r.v. 序列,数学期望lim n1kn1XkE1knXk0P,nn1就称 r.v. 序列 Xn听从大数定律P |XEX|DX 221切比雪夫不等式0 ,有22切比雪夫大数定律就设 r.v.Xkk1,2,相互独立,且有相同的数学期望和方差：0 ,有EXk,DXk2,k1,2,lim nP |1n1Xk

16、|1nk23辛钦大数定律就设 r.v.Xkk1,2,相互独立,听从同一分布,且EXk k1,2,0 ,有lim nP |1n1Xk|1nk24列维 - 林德伯格中心极限定理（独立同分布的中心极限定理）x设 r.v.Xkk1,2,相互独立,听从同一分布,且EX 1,DX12,就R ,有1nn1Xknx 1xet2lim nP 2d tk225德 莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理设 r.v.XnB n p,n1,2,就xR ,有et2dtXnnpx 1xlim nP 2np1p226总体与样本总体 ：讨论对象的某个数量指标的全体称为总体,记作 X （r.v. ）,总体中名师归纳总结 - - - -

17、- - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料的每个元素称为 个体样本 ：设 X 1 , X 2 , , X 是取自总体X的样本, 如它们相互独立, 且与X有相同分布,就称 X 1 , X 2 , , X 为来自总体 X 的简洁随机样本 ,简称 样本 n 称为样本容量 在一次试验中,样本的观测值 x x 2 , , x 称为 样本值 27统计量g X统计量 ：设X 1,X2,X 是取自总体X 的一个样本,如r.v.的函数1,X2,Xn中不含任何未知参数,就称g X1,X2,Xn是一个 统计量 常见统计量：样本均值X1inXik1,2）n1

18、样本方差S2n11nXiX2i111in1XiX2样本标准差Sn样本二阶中心矩M21inXiX2n1样本 k 阶（原点）矩A k1inXk（重点：kin11,2）样本 k 阶中心矩B k1inXiXk（重点：n1定理 1nXiX2nX2nX2ii1i128统计量的重要分布名师归纳总结 定义 1设X1,X2,X 是取自总体N0,1的样本,就称统计量第 10 页,共 15 页2X2X2X212n所听从的分布是 自由度为 n 的2 分布 ,记为22 n 如P 22 ,就称2 n 为2 n 分布的 上分位数 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x 名师精编优

19、秀资料,x0;1xn1 ex222n n22x0.0,性质（1）如22n 1,22n 2,且2,2独立,就1212名师归纳总结 222 n 1n 2；第 11 页,共 15 页12（2）如22 n ,就E2n D22n；（3）当n45时,2 1 u2n122定义 2设XN0,1,Y2 n ,并且X Y 独立,就称 r.v. TXnY/所听从的分布是 自由度为 n 的 t 分布 ,记为T t n 如P Tt ,就称t n 为 t n 分布的 上分位数 n1n1f x n2n1x22,x,n2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 性质（1）lim nf t 1

20、e名师精编t优秀资料t2；2,2名师归纳总结 （2） 1 t n 第 12 页,共 15 页定义 3设X2n 1,Y2n 2,并且X Y 独立,就称 r.v. FX/n 1Y/n2所听从的分布是 自由度为n n2的 F 分布,记为FF n n 1 2如P FFn n 1 2,就称Fn n 1 2为F n n 1 2分布的 上分位数 性质F 1n n 2F1n n 1定理 2设X1,X2,X 是来自正态总体N ,2的样本,就（1）X/nN0,1；（2）n1S21in1XiX2 2n1；22（3） X 与2 S 独立,且X/n t n1S- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

21、- - - - 定理3 设X1,X2,Xn 1名师精编,优秀资料N1,2和和Y Y 2, Y 分别是来自正态总体 21N2,2的样本,且这两个样本相互独立,记XiX2,S 2 2n 211n 2 Y iY 2. 2X1n 1Xi,Y1n2Y i,S 1 2n 111n 1n 1i1n 2i1i1i1就（1）X/Y12 N0,1；22（2）2 S 1121,n 21；n 1n 22F n 11 22 S 2/229点估量（1）点估量设是总体 X 的未知参数,用统计量.X1,X2,Xn来估量,称.为的估量量 求参数的估量量.称为 点估量 D. 2,就称1.比2. 有效 （2）无偏性如E.,就.是的

22、无偏估量量 （3）有效性设1.和2. 都是的无偏估量量,如D. 1（4）一样性如0 ,有lim nP |.|0,就称.是的一样（相合）估量量 30求估量量的常用方法 （1）矩估量设总体 X 的分布形式已知,1 , 2 , , k为未知参数,且 X 的前 k 阶矩存在X 1 , X 2 , , X 是来自 X 的一个样本,求 1 , 2 , , k的矩估量量的步骤如下：第一步,求总体 X 的前 k 阶矩1EX211,2,k;k;2E X212,;名师归纳总结 kE Xkk1,2,k.第 13 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀

23、资料1,2,k其次步,解（ 1）中的 k 个方程得未知参数111,2,k;221,2,k;第三步,用样本矩A m1inkmk1,2,k.m 阶矩mm1,2, k ,X代替相应的总体1in得到1,2,k的矩估量量. 11A A2,A k;. 22A A 2,A k;. kkA 1,A 2,A k.（2）最大似然估量法名师归纳总结 设总体 X 的分布形式已知,1,2,k为未知参数,x x 1 2,x 是样本第 14 页,共 15 页X1,X2,X 的观测值,求1,2,k的最大似然估量量的步骤如下：第一步,求似然函数L x1,x 2,x n;1,2,k如总体 X 属离散型,其分布律为P Xx p x

24、 ;1,2,k,就L x1,x 2,x n;1,2,kin1p x ;1,2,k如总体 X 属连续型,其概率密度为f x f x ;1,2,k,就L x1,x 2,x n;1,2,kin1f x i;1,2,k其次步,求似然函数L x x 2,x n;1,2,k的最大值点 如似然函数 L 是关于1,2,k的可微函数,就解以下对数似然方程组- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编L优秀资料ln0,1lnL0,2,lnL0.k如 ln L 的驻点惟一,又能验证它是极大值点,就它必是 ln L 的最大值点,即为待估参数的最大似然估量值 但如驻点不惟一, 就需进一步判定哪一个为最大值点如似然方程组无解或似然函数不行微,接求 L 的最大值点就必需依据最大似然估量值的定义直1,第三步,用样本X1,X2,Xn代替其次步的结果中的x x 2,x n,得到2,k的最大似然估量量31区间估量正态总体的置信区间表名师归纳总结 待估参数条件置信度XXu置信区间u/2nS第 15 页,共 15 页2 已知1/2n,X22 未知1t/2n1S,Xt/2n1nnn2 1 S未知12 1 S, n2n12/2 n1/21- - - - - - -