2022年研究报告生考试数学考试大纲.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用2022年全国硕士讨论生入学统一考试数学考试大纲 -数学三考试科目：微积分线性代数概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为 150分,考试时间为 180分钟二、答题方式答题方式为闭卷、笔试三、试卷内容结构微积分 56线性代数 22% 概率论与数理统计 22微 积 分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性单调性周期性和奇偶性复合函数反函数分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限无穷小量和无穷

2、大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四就运算极限存在的两个准就：单调有界准就和夹逼准就 两个重要极限：函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求1 懂得函数的概念,把握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系1、于集、集合运算法就、直积、满射、单射、一一映射、逆射、单值函数、多值函数2明白函数的有界性单调性周期性和奇偶性1奇函数加偶函数等于非奇非偶函数2）并非每个周期函数都有最小正周期,如狄利克雷函数3）单射才有反函数3懂得复合函数及分段函数的概念,明白反函数及隐函数的概念4把握基本初等函数的性质及其图形,明白初等函数的概念1）、双曲

3、、反双曲函数及其图形2）、对数、指数、三角、幂函数及其图形名师归纳总结 sin ） sin cos cos sin 第 1 页,共 9 页sin ） sin cos cos sin - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cos ） cos cos sin sin 个人资料整理仅限学习使用cos=tan +tan /1-tan tan tan =tan -tan /1+tan tan 和差化积sina+sinb=2sina+b/2cosa-b/2 sina-sinb=2cosa+b/2sina-b/2 cosa+cosb=2cosa+b/2cosa-b/2

4、cosa-cosb=-2sina+b/2sina-b/2 万能公式sina= 2tana/2/1+tan2a/2 cosa= 1-tan2a/2/1+tan2a/2 tana= 2tana/2/1-tan2a/2 5明白数列极限和函数极限 、极限唯独性、有界性 局部有界性）、保号性 局部保号性）、收敛数列及其子数列关系 、无穷小、无穷大、有界函数、常数之间的运算规律2、极限之间的运算关系及大小比较3）、复合函数的极限运算法就4 5）、夹逼准就、单调有界准就、柯西极限存在准就7懂得无穷小的概念和基本性质把握无穷小量的比较方法明白无穷大量的概念及其与无穷小量的关系1、无穷小的极限存在定义2）、无穷

5、小与无穷大的关系定义3）、关于高阶无穷小的等价无穷小、无穷小求极限定义8懂得函数连续性的概念 、跳动间断点、可去间断点 第一类）、无穷间断点、震荡间断点 其次类）9明白连续函数的性质和初等函数的连续性,懂得闭区间上连续函数的性质 ,并会应用这些性质题型汇总与技巧1、 求数列、函数极限1）、利用各类运算法就进行恒等变形、对于 0/0, / 型,对于可消去分子分母中为 0,无穷大的因子,也可利用罗比达法就进行求导运算、或者利用等价无穷小替换；3）、对于 0* 型将其化为其次类形式进行运算4）、对于 1 型或 0 未定式,可化为 e的指数形式进行求解5）、当 x或n时,将各因子的分母化为递增函数6）

6、、将函数化为两个重要极限的形式进行求解名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用7）、利用夹逼法就求数列或函数的极限 10）、对于变量比较复杂的数列或函数,通过变量替换将其简化 11）、以上各种方法中,无穷小和罗比达法就只能用于函数求极限,如要在数列极限中应用,需通 过12）转化,其他技巧在求函数和数列极限时都可以通用 12）、通过函数求函数数列的极限或通过数列求子数列的极限 13）、如函数 f存在不为 0的极限, g 极限不存在也不为无穷大,就将两 者作各种运算其极限都不存在也不为,如两个函数都不

7、存在也不为,就需作详细分析14）、求复合函数 lim fgx 极限,函数符号与极限可以交换次序 15）、通过递归数列求数列极限 16、利用导数定义求函数极限 2、对于含变限积分的不定式的极限,一般通过罗比达法就将积分化为函数求解 1）、通过观看积分是否为 0或无穷大,如是,通过罗比达法就求解 2）、假如积分函数里面含有自变量,就通过变量代换将 x置换出积分函数 2、 求含有参数的数列或函数的极限 1）、需考虑参数的不同取值而分类求极限的值 3、 通过极限值求函数或数列的参数 1）、如极限值为 0或,依据无穷小与常数的运算法就反推参数 4、 闭区间上连续函数的性质 1）、一般将区间端点上的函数值

8、化为异号的数 2）、可以将等式两边的项移到一边构造一个函数 5、 求函数的连续性及间断点类型 1）、第一需列出函数的定义域,并观看出定义不存在的点 6、 在定义不存在的点求其左右极限 二、一元函数微分学 考试内容导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四就运算 基本初等函数的导数复合函数反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达 LHospital ）法就 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性拐点及渐近线 函数图形的描画 函数的最大值与最小值 考试要求1懂得导数的概念及可导性与连续

9、性之间的关系,明白导数的几何意义与经济意义 、导数与单侧导数的定义,两种表达方式,限定条件及导函数的定义 2、边际成本、边际收益、总利润函数,总收益函数、边际利润、总成本函数、需求函数、弹性 等3）、用显示方程和隐式方程表示的平面曲线 4）、求目标函数的最大值和最小值问题 2.把握基本初等函数的导数公式导数的四就运算法就及复合函数的求导法就,会求分段函数的导 数 会求反函数与隐函数的导数1、懂得反函数的求导法就名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用2、各初等函数的求导公式 3）、复合函数求导法就

10、：幂指函数求导、反函数求导、隐函数求导和变限积分求导 3.明白高阶导数的概念,会求简洁函数的高阶导数1、简洁初等函数的 n阶导数公式2）、高阶导数的四就运算法就 3）、二项式定理、微分的四就运算法就 2）、复合函数的微分法就 一阶微分形式的不变性）5懂得罗尔 中值定理明白泰勒定理柯西 中值定 理,把握这四个定理的简洁应用1、费马引理 2）、罗尔定理及拉格朗日定理的限制条件、几何意义及证明过程 3、常数函数判定定理 3）、有限增量定理及其公式4）、泰勒公式 带拉格朗日余项及佩亚诺余项）,麦克劳林公式 5）、四个基本初等函数在 x=0处的 n阶麦克劳林公式 6会用洛必达法就求极限、区间上函数单调性

11、的定义及判别法就 2）、极值点、驻点、拐点的定义 3）、极值点的必要条件及第一充分条件、其次充分条件 4）、通过导数求函数极值点及其极值的四步法 8会用导数判定函数图形的凹凸性 、区间上函数凹凸型的判定法就 两个,见复习全书）3）、拐点的充分判定定理 9会描述简洁函数的图形1）、利用导数作函数图形的五步法 见教材）见复习全书）2）、求渐近线的方法 三、一元函数积分学 考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨Newton- Leibniz ）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常广义）积分定积分

12、的应用考试要求名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用1懂得原函数与不定积分的概念,把握不定积分的基本性质和基本积分公式,把握不定积分的换元积分法和分部积分法2明白定积分的概念和基本性质,明白定积分中值定理,懂得积分上限的函数并会求它的导数,把握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法3会利用定积分运算平面图形的面积旋转体的体积和函数的平均值,会利用定积分求解简洁的经济应用问题4明白反常积分的概念,会运算反常积分四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的

13、极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与运算多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分多元函数的极值和条件极值最大值和最小值 无界区域上简洁的反常二重积分 考试要求二重积分的概念基本性质和运算1明白多元函数的概念,明白二元函数的几何意义2明白二元函数的极限与连续的概念,明白有界闭区域上二元连续函数的性质3明白多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数,会求全微分,会求多元隐函数的偏导数4明白多元函数极值和条件极值的概念,把握多元函数极值存在的必要条件,明白二元函数极值 存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值

14、,会求简洁多元函数的 最大值和最小值,并会解决简洁的应用问题5明白二重积分的概念与基本性质,把握二重积分的运算方法 区域上较简洁的反常二重积分并会运算五、无穷级数 考试内容直角坐标极坐标）明白无界常数项级数收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级数的肯定收敛与条件收敛交叉级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收敛半径收敛区间 指开区间）和收敛域 幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质 简洁幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数绽开式考试要求1明白级数的收敛与发散收敛级数的和的概念2明白级数的基本性质和级数收敛

15、的必要条件,把握几何级数及级数的收敛与发散的条件,把握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法3明白任意项级数肯定收敛与条件收敛的概念以及肯定收敛与收敛的关系,明白交叉级数的莱布尼茨判别法4会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域5明白幂级数在其收敛区间内的基本性质 幂级数在其收敛区间内的和函数和函数的连续性、逐项求导和逐项积分）,会求简洁6明白 及 的麦克劳林 Maclaurin ）绽开式六、常微分方程与差分方程名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用考试内容常微分方程的基本概念变量可分别的微分方程

16、齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简洁的非齐次线性微分方程 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 微分方程的简洁应用考试要求1明白微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念2把握变量可分别的微分方程齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法3会解二阶常系数齐次线性微分方程4明白线性微分方程解的性质及解的结构定理,会解自由项为多项式指数函数正弦函数余 弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程5明白差分与差分方程及其通解与特解等概念6明白一阶常系数线性差分方程的求解方法7会用微分方程求解简洁的经济应用问题线 性

17、代 数一、行列式 考试内容行列式的概念和基本性质 行列式按行 列）绽开定理考试要求1.明白行列式的概念,把握行列式的性质2.会应用行列式的性质和行列式按行 二、矩阵考试内容列）绽开定理运算行列式矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件相伴矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求 1懂得矩阵的概念,明白单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质,明白对称矩 阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质2把握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,明白方阵的幂与方阵乘积的行列式的 性质3.懂得逆

18、矩阵的概念,把握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件,懂得相伴矩阵的概念,会 用相伴矩阵求逆矩阵 .4.明白矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念,懂得矩阵的秩的概念,把握用初等变换求矩 阵的逆矩阵和秩的方法5.明白分块矩阵的概念,把握分块矩阵的运算法就三、向量 考试内容名师归纳总结 向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组第 6 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 等价向量组向量组的秩个人资料整理仅限学习使用向量的内积向量组的秩与矩阵的秩之间的关系线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1明白向

19、量的概念,把握向量的加法和数乘运算法就2懂得向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念,把握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法3懂得向量组的极大线性无关组的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩4懂得向量组等价的概念,懂得矩阵的秩与其行列）向量组的秩之间的关系5明白内积的概念把握线性无关向量组正交规范化的施密特 Schmidt）方法四、线性方程组 考试内容线性方程组的克莱姆Cramer）法就线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组 非齐次线性方程组的通解 考试要求 1.会用克莱姆法就解线性方程组导出组）的解之间的关系

20、2.把握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法3.懂得齐次线性方程组的基础解系的概念,把握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法4.懂得非齐次线性方程组解的结构及通解的概念5.把握用初等行变换求解线性方程组的方法五、矩阵的特点值和特点向量 考试内容 矩阵的特点值和特点向量的概念、性质 相像矩阵的概念及性质 矩阵可相像对角化的充分必要条件及相像对角矩阵 实对称矩阵的特点值和特点向量及相像对角矩阵 考试要求1.懂得矩阵的特点值、特点向量的概念,把握矩阵特点值的性质,把握求矩阵特 征值和特点向量的方法2.懂得矩阵相像的概念,把握相像矩阵的性质,明白矩阵可相像对角化的充分必要条件,把握将矩 阵化为相像对角

21、矩阵的方法3.把握实对称矩阵的特点值和特点向量的性质六、二次型 考试内容 二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性考试要求1.明白二次型的概念,会用矩阵形式表示二次型,明白合同变换与合同矩阵的概念2.明白二次型的秩的概念,明白二次型的标准形、规范形等概念,明白惯性定理,会用正交变换和 配方法化二次型为标准形3.懂得正定二次型正定矩阵的概念,并把握其判别法名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用概

22、率论与数理统计一、随机大事和概率 考试内容随机大事与样本空间大事的关系与运算完备大事组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率 概率的基本公式大事的独立性独立重复试验考试要求1明白样本空间 基本领件空间）的概念,懂得随机大事的概念,把握大事的关系及运算2懂得概率、条件概率的概念,把握概率的基本性质,会运算古典型概率和几何型概率,把握概 率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯 Bayes）公式等3懂得大事的独立性的概念,把握用大事独立性进行概率运算；懂得独立重复试验的概念,把握 运算有关大事概率的方法二、随机变量及其分布 考试内容 随机变量 随机变量的分布函数的概念及

23、其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布 考试要求 1懂得随机变量的概念,懂得分布函数的概念及性质,会运算与随机变量相联系的大事的概率2懂得离散型随机变量及其概率分布的概念,把握01分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松 Poisson）分布 及其应用3把握泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布4懂得连续型随机变量及其概率密度的概念,把握匀称分布、正态分布、指数分布及其应用,其中参数为的指数分布的概率密度为5会求随机变量函数的分布三、多维随机变量及其分布 考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、

24、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1懂得多维随机变量的分布函数的概念和基本性质2懂得二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、把握二维随机变量的边缘分布和条件分布3懂得随机变量的独立性和不相关性的概念,把握随机变量相互独立的条件,懂得随机变量的不相关性与独立性的关系4把握二维匀称分布和二维正态分布,懂得其中参数的概率意义5会依据两个随机变量的联合分布求其函数的分布,会依据多个相互独立随机变量的联合分布求 其函数的分布四、随机变量的数字特点名师归纳总

25、结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用考试内容 随机变量的数学期望 均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望切比雪夫 Chebyshev）不等式 矩、协方差、相关系数及其性质 考试要求1懂得随机变量数字特点 数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念,会运用 数字特点的基本性质,并把握常用分布的数字特点2会求随机变量函数的数学期望3明白切比雪夫不等式五、大数定律和中心极限定理 考试内容切比雪夫大数定律伯努利 Bernoulli ）大数定律辛钦 Khinchine ）大数定律棣莫弗 拉

26、普拉斯 De Moivre Laplace）定理 列维 林德伯格 Levy Lindberg ）定理考试要求1明白切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律 律）独立同分布随机变量序列的大数定2明白棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理 二项分布以正态分布为极限分布）、维林德伯格中心极限定理 独立同分布随机变量序列的中心极限定理）,并会用相关定理近似运算有 关随机大事的概率六、数理统计的基本概念考试内容总体 个体 简洁随机样本统计量 体会分布函数样本均值 样本方差和样本矩分布 分布 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布 考试要求1明白总体、简洁随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念,其中样本方差定义为2明白产生 变量、 变量和 变量的典型模式；明白标准正态分布、分布、 分 布和 分布得上侧 分位数,会查相应的数值表3把握正态总体的样本均值样本方差样本矩的抽样分布4.明白体会分布函数的概念和性质七、参数估量考试内容点估量的概念估量量与估量值矩估量法 最大似然估量法考试要求1明白参数的点估量、估量量与估量值的概念名师归纳总结 2把握矩估量法一阶矩、二阶矩）和最大似然估量法第 9 页,共 9 页- - - - - - -