2022年用导数研究函数的恒成立与存在性问题-答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载用导数讨论函数的恒成立与存在问题1已知函数1f x 3x2x2lnx,其中a为常数a 的取值范畴a（ 1）如a,求函数f x 的单调区间；（ 2）如函数f x 在区间 1,2 上为单调函数,求f x x32 ax4aR ,f x 是f x 的导函数；2已知函数（1）当a2时,对于任意的m 1,1,n 1,1,求f m f 的最小值；第 1 页,共 8 页fx 0 0,求 a 的取值范畴；（2）如存在x00,使名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3已知函数fxaxylnxaR

2、. 1精品资料欢迎下载（2）求f x 的单调区间；,处的切线方程；（1）如a2,求曲线fx在点x（3）设gxx22x2,如对任意x 10,均存在x201,使得fx1gx2求实数a的取值范畴 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4（ 2022 届惠州二模）已知函数xfa精品资料x 欢迎下载x2 x2ln（）求函数fx 的最大值；有相同极值点（）如函数fx 与g xx 求实数 a 的值；名师归纳总结 对x x21,3 e 为自然对数的底数,不等式fx 1kg x 21恒成立,求实数k 的取值范畴第 3 页,共 8 页1

3、e- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5已知函数f x 精品资料欢迎下载a 的取值范畴第 4 页,共 8 页a1x2lnx aR 2（ 1）当a1时,x01 , e 使不等式f x 0m ,求实数 m 的取值范畴；（ 2）如在区间1 , ,函数f x 的图象恒在直线y2 ax 的下方,求实数名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载答案用导数讨论函数的恒成立与存在问题1解： 1如 a1,就 fx3x2x 2 ln x,定义域为 0, ,fx1x4x34x 23x1x 4x 1 x 1x x

4、0当 x0,1时, fx0,函数 fx3x2x 2ln x 单调递增当 x1, 时, fx0,函数 fx3x2x2ln x 单调递减,即 fx的单调增区间为0,1,单调减区间为1, 2fx3 a 4x1 x. 如函数 fx在区间 1,2 上为单调函数,即在 1,2 上, fx3 a4x1 x0 或 fx3 a4x1 x0,0,得 x0 或4 3.0 时 ,fx .4第 5 页,共 8 页即3 a 4x1 x0 或3 a4x1 x0 在1,2 上恒成立即3 a 4x1 x或3 a4x1 x. 令 hx4x1,由于函数xhx在1,2 上单调递增,所以3 ah2 或3 ah1,即 3 a15 2或

5、3 a3,解得 a0 或 0a2 5或 a1. 故 a 的取值范畴是 ,00,2 5 1, 2. 解：（ 1）由题意知fxx32x24 ,fx3 x24x .令fx当 x 在-1 ,1 上变化时,fx ,fx随 x 的变化情形如下表： 0 1 x -1 （-1 ,0）0 （0, 1）f x-7 - 0 + 1 fx-1 -4 -3 对于m1,1 ,fm 的最小值为f0 4 ,fx 3x24x的对称轴为x2,且抛物线开口向下, 3对于n1,1 ,fn 的最小值为f1 7.,4就当xfm fn 的最小值为 -11. （2）fx3x x2a.3如a,0 当x0 时 ,fx 0, fx 在0 ,上单调

6、递减,又f当a0 时,不存在x0,0使fx00.如a0,就当0x2a时,fx,0当x2a时,fx0 .33名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载3从而fx在0 ,2上单调递增,在2a,上单调递减,33当x0 , 时,fxmaxf2 a8 a34a34,就4a340,即a327,解得a3.327927综上, a 的取值范畴是3 ,. 或由x 00,fx0,0得a4x0, 用两种方法可解 x023 解：（ 1）由已知f 21x0,f 213,故曲线yf x 在x1处切线的斜率为x而f 2,所以切点为 , ,yfx在点x1处的切线方

7、程为y3x1（2）f a1ax1x0xx当a0时,由于x0,故ax110,所以f 10,f x 的单调递增区间为1 , . 0,当时,由f ,上,f 0,在区间,上fa0 0,得x. 在区间aaa所以,函数的单调递增区间为 ,1,单调递减区间为1,. . 第 6 页,共 8 页aa（ 3）由已知,问题等价于为f maxg x max. 其中g x max2由 2 知,当a0时,f x 在 0 , 上单调递增,值域为R,故不符合题意. 或者举出反例：存在3 f e3 ae32,故不符合题意当a0时,f x 在 ,1上单调递增,在1,上单调递减,aa故f x 的极大值即为最大值,f11ln11ln

8、a,aa所以21lna ,解得a1. e3名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载时,gx0. 第 7 页,共 8 页4 解（）fx2x22x1x1x0, 1xx由fx00,得 0x1；由fx x00,得x1. xfx在0,1上为增函数,在1,上为减函数 . 2函数 fx 的最大值为f11. 3（）g xxa,gx1a. xx2 由（ 1）知,x1是函数 fx 的极值点,又函数 fx 与g xxa有相同极值点,x1是函数 g x 的极值点,xg11a0,解得a1. 4体会证,当a1时,函数 g x 在x1时取到微小值,符合题意.

9、 5分f112,f11,f392ln 3,e2 e易知92ln 3121,即f3f1f1. 2 eex 11 ,3 , efx 1minf392ln 3,fx 1maxf11 7分由 知g xx1,gx11,当x1,1 e时,gx0；当x1,3xx2g3故 g x 在1 ,1 e上为减函数,在1,3 上为增函数 . . g1e1,g12,g33110,而2e110,g1g1ee33e3emax1 . x 21,3 ,g x 2ming12,g x2maxg310. 9e31 当k10,即k1时,对于x 1,x21,3,g x 2e不等式fx 1kg x21恒成立k1fx 1g x 2maxkf

10、x 11fx 1g x 2f1g1123,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载10min1. 第 8 页,共 8 页k3 12,又k1,k1. g x 22 当k10,即k1时,对于x x 21,3,e不等式fx 1kg x 21恒成立k1fx 1g x 2minkfx 11fx 1g x2f3g392ln 310372ln 3,3311k342ln 3,又k1,k342ln 3. 33综上,所求实数k的取值范畴为,342ln 31,. 分1235【解】： 1当 a1 时, fx1 2x 2ln xx0,fxx1 x,由 x

11、 1,e,fx0 得函数 fx在区间 1,e为增函数,就当 x1,e时, fx1 2,11 2e 2 . 故要使 . x01,e使不等式 fx0m 成立,只需m1 2即可 . 2在区间 1, 上,函数 fx的图象恒在直线等价于对 . x1, ,fx2ax,y2ax 的下方即a1 2x 2ln x2ax0 恒成立设 gxa1 2x 2 2axln xx1, ,就 gx 2a1x2a1 xx12a 11 x当 x1, 时, x1 0,01 x1. 如 2a10,即 a1 2, gx0,函数 gx在区间 1, 上为减函数,就当 . x 1, 时 gxg1a1 22a 1 2a,只需1 2 a0,即当 1 2a1 2时,gxa1 2x 2ln x2ax0 恒成立如 0 2a1 1,即1 2a1 时,令 gxx1 2a11 x0 得 x2a1 11,函数 gx在区间 1,2a1为减函数,12a 1 1,为增函数,1就 gx g 2a1,不合题意如 2a11,即当 a1 时 gx0,函数 gx在区间 1, 为增函数,就 gxg1, ,不合题意综上可知：当2a1 2时 gxa 1 2x 2ln x2ax0 恒成立,即当1 2a1 2时,在区间 1, 上函数 fx的图象恒在直线 y2ax 的下方名师归纳总结 - - - - - - -