2022年空间点线面之间位置关系知识点总结4.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 高中空间点线面之间位置关系学问点总结优秀学问点 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示第一章空间几何体（1）平面的画法： 水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 45 0,且横边画成邻边的2 倍长（如（一）空间几何体的结构特点图）（2）平面通常用希腊字母 、 、 等表示,如平面 、平面 等,也可以用表示平面的平行四边形的四（1）多面体由如干个平面多边形围成的几何体. 旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体；其中,这条定直线 称为旋转体的轴；（2）柱,锥,台,球的结构特点个顶

2、点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面 ABCD等；3 三个公理：（1）公理 1：假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为1.1 棱柱有两个面相互平行, 其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱；AL A L1.2 圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. BL = L 2.1 棱锥有一个面是多边形, 其余各面是有一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何体叫做棱锥；A2.2 圆锥以直角三角形的始终角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何

3、体叫B圆锥；公理 1 作用：判定直线是否在平面内A C B 3.1 棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面与底面之间的部分称为棱台. （2）公理 2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面；3.2 圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台. 符号表示为： A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面 ,4.1 球以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球. 使 A 、B 、C ；公理 2 作用：确定一个平面的依据；（二）空间几何体的三视图与直观图1. 投影：区分中心投影与平行投影；平行投影分为正投影和斜投影；2. 三视图正视图；侧视图

4、；俯视图；是观看者从三个不同位置观看同一个空间几何体而画出的图形；（3）公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线；符号表示为： P = =L,且 PL 画三视图的原就：长对齐、高对齐、宽相等公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系O 一般取在两直3. 直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形；4. 斜二测法：在坐标系x o y 中画直观图时,已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变,平行于x1 空间的两条直线有如下三种关系：P L共面直线相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内,

5、没有公共点；轴（或在 x 轴上）的线段保持长度不变,平行于y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半；重点记忆：直观图面积 =原图形面积异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点；2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行； 三 空间几何体的表面积与体积符号表示为：设 a、b、c 是三条直线1、空间几何体的表面积a b c b =a c棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积S=2rl+2r2圆锥的表面积Srlr2强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用；公理 4 作用：判定空间两条直线平行的依据；圆台的表面积Srlr2Rl2 R球的表面积S42 R3 等角

6、定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4 留意点：扇形的面积公式S 扇形n R21lr（其中 l 表示弧长, r 表示半径） a 与 b 所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定,与O 的挑选无关,为简便,点线中的一条上；3602 两条异面直线所成的角 0 , ；2 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线相互垂直,记作ab；2、空间几何体的体积柱体的体积VS 底h锥体的体积V1S 底h 两条直线相互垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形； 运算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；32.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面

7、之间的位置关系台体的体积V1（3S 上S 上S 下S 下h球体的体积V4R31、直线与平面有三种位置关系：3（1）直线在平面内 有很多个公共点其次章直线与平面的位置关系（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情形统称为直线在平面外,可用a 来表示2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系D C 名师归纳总结 A B 第 1 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点 L p a a =A a 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,就该直线与此平面垂直；

8、2.2. 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,就该直线与此平面平行；简记为：线线平行,就线面平行；符号表示：a b =a a b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,就这两个平面平行；留意点： a 定理中的“ 两条相交直线” 这一条件不行忽视；b 定理表达了“ 直线与平面垂直” 与“ 直线与直线垂直” 相互转化的数学思想；2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间始终线动身的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B

9、符号表示：a 2、二面角的记法：二面角 -l- 或 -AB- 3、两个平面相互垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线,就这两个平面垂直；b 2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质ab = P 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行；a 2 性质定理：两个平面垂直,就一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；b 2、判定两平面平行的方法有三种：（1）用定义；本章学问结构框图平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4）（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行,就过这条直线的

10、任一平面与此平面的交线与该直线平行；简记为：线面平行就线线平行；符号表示：空间直线、平面的位置关系a a a b = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题；2、定理：假如两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行；直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第 2 页,共 4 页符号表示： b 直线与直线的位置关系 = a a = b 第三章直线与方程作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质一、公式：2.3.1 直线与平面垂直的判定1.如直线的倾斜角为90 ,就直线的斜率 k =tan；1、定义2.过点P x 1,y 1和P x 2,y 2的直

11、线的斜率为：y2y 1假如直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 L 与平面 相互垂直, 记作 L ,直线x2x 1L 叫做平面 的垂线,平面 叫做直线 L 的垂面；如图,直线与平面垂直时, 它们唯独公共点 P 叫做垂足；3.如不平行于 y 轴的两直线l 1/ /l ,就1k =k ；如两直线l 1l ,就1k2k = -1；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4.直线的点斜式方程：yy 0k xx00A,截距为C. 名师总结优秀学问点（注：做此题时要分截距为0 和截距不为 0 两种情形,切不行直接将方程设为5.直线的斜截

12、式方程：ykxbxy1,由于用该方程时,要求截距不为0；）ab6.直线的两点式方程：yy 1xx 12.已知直线l1:xmy60,l2:m2x3y2m0,求满意以下条件的m 值：y 2y 1x 2x 1（1） 1和 相交 ；（2） 1l ；（3） 1/ /l ；（4） 1 和l2重合 ；7.直线的截距式方程：xy1解：（1）l 1和l2相交 ,A B 2A B 10,ab8.直线的一般式方程：AxByC0,此时,斜率为即： 1 3m2m0解得: m1 且m3BB（2）l1l ,A A 2B B 20,9.对于两直线l1:A xB yC 10和l2:A xB yC 2即： 1 m23m0解得：m

13、1（1）如A B 2A B 10,两直线相交；2y 222（3）（4）A B2A B 10, （2）如A B 2A B 10,两直线平行或重合；即： 1 3m2m0解得: m1 或m3（3）如A A 2B B20,如两直线垂直；检验：m1 时,l1:xy60,l2: 3x3y20,此时,两直线平行,所以,10.点x 1,y 1和x2,y2 的中点坐标是（x 12x 2,y 12y 2 m3 时,l1:x3y60,l2:x3y60,此时,两直线重合综上所示：m1时两直线平行；m3时两直线重合 . 11.如P x 1,y 1 和P x2,y 2,就：PP 1 2x 1x 22y 112.点x 0,

14、y0到直线AxByC0 的距离为：Ax 0ABy 0C2B二、基本留意点：1.过点 , a b ,且平行于 x 轴的直线方程是：yb；y1,第四章圆与方程2yb2r2. 第 3 页,共 4 页2.过点 , a b ,且平行于 y 轴的直线方程是：xa；圆与方程三、典型习题：2、1 圆的标准方程：以点Ca,b为圆心, r 为半径的圆的标准方程是xa1.求过点 2,3 ,并且在两轴上的截距相等的直线方程；特例：圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是：x2y2r2. 解：截距不为 0 时,设两轴上的截距都为a ,就有直线方程为：xaa2、2 点与圆的位置关系：将 2,3 带入上式可得：a5,所以直线

15、方程为：xy1,d r 551. 设点到圆心的距离为d,圆半径为r ：即：xy50；1点在圆上d=r ；2点在圆外dr ；3 点在圆内两轴上的截距都为0 时,就直线过原点0,0 ,由两点式可得：2.给定点Mx0y0及圆C:xa2yb2r2. y0x0,即： 3x2y03020b2r2 M 在圆 C 内x0a2y0b2r2 M 在圆 C 上（x0a2y0综上所述：满意条件的直线方程为：xy50或 3 x2y0. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点0y0的切线方程为x0xy0yr2. 切线方程 . M 在圆 C 外x0a2y

16、0b2r2特殊地,过圆x2y2r2上一点Px2、3 圆的一般方程：x2y2DxEyF0. 如点 x0 ,y0不在圆上,圆心为a,b就y1y0kx1x0,联立求出 kby1k ax 1当D2E24F0时,方程表示一个圆,其中圆心CD,E,半径rD2E24F. RR21222当D2E24F0时,方程表示一个点D,E. 22当D2E24F0时,方程无图形（称虚圆）. 注：（1）方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：B0且AC0且D2E24AF0. 圆的直径或方程：已知A x1,y 1Bx2,y2xx 1xx2yy1yy202、4 直线与圆的位置关系：直线AxByC0与圆xa2yb2r

17、2的位置关系有三种（1）如dAaA2BbC,dr相离0；B2（2）dr相切0；（3）dr相交0；仍可以利用直线方程与圆的方程联立方程组AxByC0F0求解,通过解的个数来判定：x2y2DxEy（1）当方程组有2 个公共解时（直线与圆有2 个交点）,直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1 个公共解时（直线与圆只有1 个交点）,直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点）,直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为 ,圆心 C到直线 l 的距离为d,就直线与圆的位置关系满意以下关系：相切d=r 0（2）相交d0；（3）相离dr 0；2、5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为r 1O1, O2,半径分别为r1,r2,O 1 O2r 1d；3 条公切线；内含（1）dr 1r 2外离4条公切线；（2）dr 1r2外切（3）r 1r2dr2内切1 条公切线r2相交2 条公切线；（4）d内切（5）0dr1r 2内含无公切线；外离外切相交2、6 圆的切线方程 ：圆x2y2r2的斜率为 k 的切线方程是ykx01k2r过圆x2y2DxEyF0第 4 页,共 4 页上一点P x0y0的切线方程为：x0xy0yDxx0Ey2y0F. 2一般方程如点 x0 ,y0在圆上,就 x ax0 a+y by0 b=R 2. 名师归纳总结 - - - - - - -