2022年直角三角形知识点回顾.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点精编学问点回忆学问点一：直角三角形的概念与性质1有一个角是 的三角形叫做直角三角形；2直角三角形的两个锐角；3直角三角形斜边上的中线等于 的一半 . 例 1（2022 湖北省荆门市）如图1,Rt ABC中, ACB=90 , A=50 ,将其折叠,使点A 落在边 CB上 A 处,折痕为CD,就 ADB = 、10（）A、40 B、30 C、20 DBDA解： Rt ABC中, ACB=90 , A=50 , B=90 50 =40由折叠得 DAC=A=50 ,10cm、12cm,就它的面积是C（图 1）A DAC=B+ ADB cm2.

2、ADB=50 40 =10 ,选 D. 例 2如直角三角形斜边上的高和中线分别为解： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,直角三角形斜边的长为直角三角形的面积是2 12=24cm. 1 24 10=120cm 2. 2同步检测一：1（2022 年湖南省郴州市）如图2,桌面上平放着一块三角板和一把直尺,小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘,他发觉无论是将三角板绕直角顶点旋转,仍是将三角板沿直尺平移, 1 与 2 的和总是保持不变,那么1 与 2 的和是 _度2如图 3,Rt ABC中, B=90 , BDAC于 D,点 E 为 AC的中点,如 BC=7, AB=24,就BE= ,BD= . B

3、12AEDC（图 2）（图 3）学问点二：勾股定理直角三角形的平方和等于的平方例 3（2022 年四川省宜宾市）已知：如图4,以 Rt ABC的三边为斜边分别向外作等腰直名师归纳总结 角三角形如斜边AB3,就图中阴影部分的面积和为第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点精编解： 过点 E 作 EDAB于点 D,可证得 ED=1 AB,2HAES ABE1ABED=1 AB 2,42同理SAHC=1 AC 2,4SBFC=1 BC 2,4CF（图 4）BCAD边从而图中阴影部分的面积和为1 （ AB 2+ AC 2+ BC 2）4=

4、1 （AB 2+ AB 2）=49 . 2例 4（2022 年湖南省衡阳市）如图5,矩形纸片ABCD中, AB=4, AD=3,折叠纸片使与对角线BD重合,折痕为DG,就 AG的长为（）A、1 B、4 C 3、3 D、2 D2解： Rt DAB中, BD=32425,AB设 AG=x,就 BG=4xAG由折叠得 AD=AD=3,AG=AG=x, DAG= A=90 ,（图 5）AB=BD AD=53=2, GAB=90 ,从而 Rt GAB 中, x 2+22=（4x）2. 解得 x=3 ,选 C. 2同步检测二：3假如直角三角形的两条边长分别是 3 和 4,那么该直角三角形斜边上的中线等于

5、. 4（ 2022 年四川省达州市）如图 6 是一株漂亮的勾股树,其中全部的四边形都是正方形,全部的三角形都是直角三角形如正方形 A、 B、C、D的边长分别是 3、5、2、3,就最大正方形 E 的面积是（）A、13 B、26 C、47 D、94（图 6）5（2022 年黑龙江省哈尔滨市）如正方形 ABCD的边长为 4,E 为 BC边上一点, BE3,M为线段 AE上一点,射线 BM 交正方形的一边于点 F,且 BF AE,求 BM的长 . 学问点三：直角三角形的判定方法名师归纳总结 1依据定义：有一个角是的三角形叫做直角三角形；,那么这个三第 2 页,共 9 页2勾股定理的逆定理：假如三角形的

6、三边长a、 b 、 c 有关系：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点精编角形是直角三角形,且C=90 .例 5（2022 年湖南省衡阳市）如图7,A、B、 C分别表示三个A村庄, AB1000 米, BC600 米, AC800 米,在社会主义新农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,就活动中心P 的位. 置应在（）C（图 7）BA、AB中点 B 、 BC中点C、AC中点 D 、 C的平分线与AB的交点解： 明显到 A、B、C三个村庄距离相等的点P 应当是 AB、BC、 AC三边垂直平分线的交点又 B

7、C 2+AC 2=6002+8002=1000000；AB 2=1000 2=1000000 BC 2+AC 2=AB 2, ACB=90 , 由于直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边的中点处,从而活动中心P 的位置应在AB的中点处,选A. 例 6如图 8,点 P 是等边且 BQ=BP,连接 CQ. ABC内的一点, 分别连接 PA、PB、PC,以 BP为边作 PBQ=60 ,（1）观看并猜想 AP与 CQ之间的大小关系,并证明你的结论；（2）如 PAPBPC=345,连接 PQ,试判定PQC的外形,并说明理由 . （1）答： AP=CQ证： ABC为等边三角形CBBACAB=BC, ABC=

8、60P PBQ=60 ABC=PBQQ ABP=CBQAB（图 8）在 ABP与 CBQ中,ABPCBQBPBQ ABP CBQ（ SAS）AP=CQ（2）答：PQC为直角三角形 . 理由是：设 PA=3k,就 PB=4k,PC=5k（k0）,CQ=AP=3kBQ=BP, PBQ=60 PBQ为等边三角形（有一个角为PQ=PB=4k60 的等腰三角形是等边三角形）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点精编又 CQ 2=9k 2,PQ 2=16k 2, PC 2=25k 2,CQ 2+PQ 2=PC PQC为直角三角

9、形,且PQC=90 . 同步检测三：6、（2022 年黑龙江省牡丹江市）如图 9, ABC中,CDAB于 D,以下条件中：1= A； CD DB； B+2=90 ； BCAC AB=345；AC BD=AC CD,肯定能确定AD CD ABC为直角三角形的条件的个数是（） A、1 B、2 C、3 D、4 7、（ 2022 年甘肃省定西市）如图 10, ACB和 ECD都是等腰直角三角形,ACB ECD90 , D为 AB边上一点,求证：（1） ACE BCD；（2） AD 2+DB 2=DE 2. AACBEDBBAC21C（图 10）D（图 11）D（图 9）随堂检测：1（ 2022 年湖南

10、省长沙市）如图11,等腰ABC中, AB=AC,AD是底边上的高,如AB=5cm,BC=6cm,就 AD= cm22022 年上海市 如图 12,在 Rt ABC中, BAC=90 , AB=3, M为边 BC上的点,联结AM假如将ABM沿直线 AM翻折后,点B 恰好落在边AC的中点处,那么点M到 AC的距离是 . BAC（图 13）AS1CS2M（图 14）B（图 12）3（ 2022 年贵州省安顺市）如图13,图甲是我国古代闻名的“ 赵爽弦图” 的示意图,它是名师归纳总结 由四个全等的直角三角形围成的. 在 Rt ABC中,如直角边AC6,BC6,将四个直角第 4 页,共 9 页三角形中边

11、长为6 的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“ 数学风车” ,就这个风车的外围周长（图乙中的实线）是_. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点精编4（ 2022 年浙江省湖州市）如图 BC为直径作半圆,面积分别记为14,已知在 Rt ABC中, ACB=Rt, AB=4,分别以 AC、S1、S2,就 S1+S2的值等于 . 5（ 2022 年湖北省恩施自治州）如图 15,长方体的长为 15,宽为 10,高为 20,点 B离点 C的距离为 5,一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B,需要爬行的最短距离是（）A、5 21 B、25 C、

12、10 5 +5 D、35 B 5 C A C 20 l 1l 215 10 A B l 3（图 15）（图 16）6（ 2022 年浙江省丽江市）如图 16,已知ABC中, ABC90 , ABBC,三角形的顶点在相互平行的三条直线 l1,l2,l3 上,且 l1,l2之间的距离为 2 , l 2,l 3 之间的距离为 3 ,就 AC的长是（）A、2 17 B、2 5 C、4 2 D、 7 7（ 2022 年新疆维吾尔自治区）如图17 是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是a,b,斜边长为 c 和一个边长为 c 的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（ 1）画出拼成的

13、这个图形的示意图（ 2）证明勾股定理bcbcbcbccaaaac（图 17）8（ 2022 年湖北省恩施自治州）恩施州自然风光无限,特殊是以“ 雄、奇、秀、幽、险”著称于世如图 18,闻名的恩施大峡谷（A）和世界级自然爱护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速大路 X 同侧, AB=50km,A、B 到直线 X 的距离分别为 10km和 40km,要在沪渝高速大路旁修建一服务区 P,向 A、B 两景区运输游客小民设计了两种方案,图（1）是方案一的示意图（ AP与直线 X垂直,垂足为 P）,P 到 A、B 的距离之和 S1=PA+PB,图（ 2）是方案二的示意图（点 A 关于直线 X 的对称点是 A

14、,连接 BA 交直线 X 于点 P）,P 到 A、B的距离之和 S2=PA+PB（1）求 S1、S2,并比较它们的大小；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点精编（2）请你说明 S2=PA+PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速大路 Y 与沪渝高速大路垂直,建立如图（3）所示的直角坐标系, B 到直线 Y 的距离为 30km,请你在 X 旁和 Y 旁各修建一服务区 P、Q,使 P、A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值Y B 图（ 1）PA X BP A X Q B A XAO P 图（ 2）图（

15、3）（图 18）9（2022 年黑龙江省牡丹江市）有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m. 现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以 等腰三角形绿地的周长 . 10（2022 年湖北省咸宁市）8m为直角边的直角三角形,求扩充后问题背景： 在 ABC中, AB、BC、AC三边的长分别为 5 、10 、13 ,求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1）,再在网格中画出格点ABC（即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）,如图 19 中的图所示这样不需求ABC的高,而借用网格就能运算出它的面积（1）请你将ABC的面积直接填写在横线上

16、：_ 思维拓展：（2）我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法如 ABC三边的长分别为 5 a、2 2 a、17 （a0）,请利用图 19 中的图的正方形网格（每个小正方形的边长为 a）画出相应的 ABC,并求出它的面积探究创新：（3）如 ABC三边的长分别为m216n2、9m24n2、2m2n2（m0,n0,且 m n）,试运用构图法求出这三角形的面积A B C 答案：（图）（图 19）（图）学问点回忆的答案学问点一：直角；互为余角；斜边；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点精编学问点二：两直角边；斜边；学问点三

17、：直角；a 2+b 2=c 2. 同步测试的答案190 ； 2BE= 25 ,BD= 168 ； 32 或 5 ； 4 A；2 25 2 5（ 1）当点 F 在 DC上时,如图 1,先证ABE BCF,可得 AE=BF=5,BE=CF=3, AEBF,再由面积公式 AE BM AB BE 得 BM= 12 . 5D F C D C E F E M MA B A B（图 1）（图 2）（第 5 题答案图）（2）当点 F 在 AD上时,如图 2,先证ABE BAF,可得 BE=AF=3, AE=BF=5,连结 EF,证 ABEF, BM= 1 BF= 5 . 2 2 6C（提示：能确定ABC为直角

18、三角形的有,共 3 个）7证明 : （1） ACB=ECD=90 , ACB ACD= ECD ACD,即 BCD=ACEBC=AC,DC=EC, ACE BCD. （2） ACB是等腰直角三角形, B=BAC=45 ACE BCD, CAE=B=45 DAE=CAE+BAC=45 +45 =90 Rt DAE中, AD 2+AE 2=DE 2. ACE BCD AEDB,AD 2+DB 2=DE 2. 随堂检测的答案：名师归纳总结 14cm； 22； 376；第 7 页,共 9 页42 ； 5 B； 6A - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点精编

19、7解：（1）如图,babcbcaccbaa（第 7（ 1）题答案图）（2）证明：2大正方形的面积表示为ab2,大正方形的面积也可表示为c241ab,2ab2=c241ab,即a2b22abc22ab,2a2b2c,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 8解：（1）图 18（1）中过 B 作 BCAP,交 PA的延长线于点AC30. C,就 PC40,又 AP10,在 Rt ABC中, AB50 ,AC30, BC40 , BPCP 2BC 240 2,S140 2 10；图 18（2）中,过 B作 BCAA ,交 AA 的延长线于点 C,就 A C50,又 BC40,BA 40 2 5

20、0 2 10 41,由轴对称知： PAPA , S2BA 10 41,S1S2. （2）如 图 18（2）,在大路上任找一点M,连接 MA,MB,MA ,由轴对称知MAMA ,MB+MAMB+MAAB, S2 BA 为最小 . A ,过 B 作关于 Y 轴的对称点B ,连接A B ,（3）如图,过A 作关于 X 轴的对称点交 X 轴于点 P,交 Y 轴于点 Q,就 P, Q即为所求 . 过 A 、 B 分别作 X轴、 Y 轴的平行线交于点G,AB 1002502505,所求四边形的周长为50505. YBBQA9解：设在O PA（第 8 题答案图）Rt ABC中, ABC=90 , AB=8,

21、BC=6.XAC=10. 由勾股定理有：扩充部分为Rt ABD,扩充成等腰ACD,应分以下三种情形：如图 1,当 AC=AD=10 时,可求 BD=CB=6,得 ACD的周长为 32m；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点精编如图 2,当 AC=CD=10 时,可求 BD=4,由勾股定理得： AD=45 ,得 ACD的周长为（20+45 ）m；如图 3,当 AC为底时,设AD=CD=x,就 BD=x 6,由勾股定理得： x=25 ,得 ACD的周 3长为80 m. 3AACADBCDBCDB（图 1）（图 2）（图 3）（第 9 题答案图）10（1）3.5 ；（2）如图, 构造 ABC,使 AB= 5 a,BC=2A2a,AC=17 , ABC的面积为1 （2a+4a）2 2a1 a 2a21 a 4a=3a 22；4nC3mB（图）（图）（第 10 题答案图）（3）如图, 先构造长和宽分别为4n、3m的长方形网格, 再构造ABC,使 AC=m216n2,1 2BC=9 m24n2,AB=2m2n2, ABC的面积为 3m 4n1 m 4n21 2n 3m2 2n 2m=5mn. 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页