2022年第三章直线与方程知识点总结与题型.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章：直线与方程的学问点倾斜角与斜率1. 当直线 l 与 x 轴相交时,我们把 x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角 . 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角为0 . 就直线 l 的倾斜角 的范畴是 0 . 2. 倾斜角不是 90 的直线的斜率, 等于直线的倾斜角的正切值, 即 k tan . 如果知道直线上两点 P x 1 , y 1 , P x 2 , y ,就有斜率公式 k yx 22 y x. 特殊地是,当 x 1 x ,y 1 y 时,直线与 x 轴垂直,斜率 k 不存在；当 x

2、1 x ,y 1 y 时,直线与 y 轴垂直,斜率 k=0. 留意：直线的倾斜角 =90 时,斜率不存在, 即直线与 y 轴平行或者重合 . 当 =90 时,斜率 k=0；当 0 90 时,斜率 k 0,随着 的增大,斜率 k 也增大；当 90 180 时,斜率 k 0,随着 的增大,斜率 k 也增大 . 这样,可以求解倾斜角 的范畴与斜率 k 取值范畴的一些对应问题 . 两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l、2l,其斜率分别为1k、k ,有：（1）l1/l2k 1k ；（2）l1l2k1k 21. 2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时,都垂直于 x 轴； . 直线的点斜式

3、方程另一条斜率也不存在时, 就它们平行,1. 点斜式：直线 l 过点 P x 0 , y , 且斜率为 k,其方程为 y y 0 k x x 0 . 2. 斜截式：直线 l 的斜率为 k,在 y 轴上截距为 b,其方程为 y kx b . 3. 点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线 . 如直线 l 过点 P x 0 , y 且与 x 轴垂直 ,此时它的倾斜角为 90 ,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时的直线方程为 x x 0 0,或 x x . 4. 留意：y y 0 k 与 y y 0 k x x 是不同的方程,前者表示的直线上缺少一点x x 0P x 0 , y ,后者才是整条

4、直线 . 直线的两点式方程1. 两点式：直线 l 经过两点 P x 1 , y 1 , P x 2 , y 2 ,其方程为y y2 yy 11 x x2 xx,2. 截距式：直线 l 在 x、y 轴上的截距分别为 a、b,其方程为 x y 1 . a b3. 两点式不能表示垂直 x、y 轴直线；截距式不能表示垂直 x、y 轴及过原点的直线 . 4. 线段 P P 中点坐标公式 x 1 x 2, y 1 y 2 . 2 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 直线的一般式方程1. 一 般 式 ：Ax By C 0,

5、注 意 A、 B 不 同 时 为 0. 直 线 一 般 式 方 程Ax By C 0 B 0 化为斜截式方程 yB A x CB,表示斜率为 B,y 轴上截距为 A CB的直线 . 2. 与直线 l : Ax By C 0 平行的直线,可设所求方程为 Ax By C 1 0；与直线Ax By C 0 垂直的直线,可设所求方程为 Bx Ay C 1 0 . 3. 已 知 直 线 l l 的 方 程 分 别 是 ：l 1 : A x B y C 1 0（A B 不 同 时 为 0 ）,l 2 : A x B y C 2 0（A B 不同时为 0）,就两条直线的位置关系可以如下判别：（1）l 1 l

6、 2 A A 2 B B 2 0；（2） 1 / l 2 A B 2 A B 1 0, AC 2 A B 1 0；（3）1l与 2l重合 A B 2 A B 1 0, AC 2 A B 1 0； （4）1l与 2l相交 A B 2 A B 1 0 . 假如 A B C 2 0 时,就 l 1 / l 2A A 12 B B 12 CC；1l与 2l重合A A 12 B B 12 CC；1l与 2l相交A 1 BA 2 B. 两条直线的交点坐标1. 一般地,将两条直线的方程联立, 得到二元一次方程组A xB yC10. 如方A xB yC20程组有惟一解,就两条直线相交,此解就是交点的坐标；如方

7、程组无解,就两条直线无公共点,此时两条直线平行；如方程组有很多解,就两条直线有很多个公共点,此时两条直线重合. 20为直线系,全部的直线恒过一个定点, 其定2. 方程A xB yC 1A xB yCC2点就是AxB yC 10与A xB y0的交点 . 两点间的距离1. 平面内两点P x 1,y ,P x 2,y ,就两点间的距离为：|PP 2|x 1x 22 y 1y 22. 特殊地, 当P P 所在直线与 x 轴平行时,|PP2| |x 1x ；当P P 所在直线与 y 轴平行时,|PP2| |y 1y ；点到直线的距离及两平行线距离1. 点P x 0,y 到直线l:AxByC0的距离公式

8、为d|Ax 0By 02C|. AxByC 10,2 AB2. 利用点到直线的距离公式,可以推导出两条平行直线l 1:l2:AxByC 20之间的距离公式d|C1C 2|,推导过程为：在直线2l上任取一点2 AB2P x0,y ,就Ax 0By0C20,即Ax 0By 0C . 这时点P x 0,y 到直线l 1:AxByC 10的距离为d|Ax0By 02C 1|C 1C2|2 AB2 AB22 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对应练习一. 挑选题1. 安徽高考 过点1,0 且与直线 x-2y=0 平行的直线方

9、程是（）A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0 2. 过点P 1,3且垂直于直线x2y30的直线方程为（）2xy10 B. 2xy50A. C. x2 y50 D. x2y70的直线与直线2xy10平行,就m 的值为（3. 已知过点A 2,m 和B m ,40 B. 8 C. 2 D. 10A. 4. 安徽高考 直线过点（ -1 ,2）,且与直线（）2x-3y+4=0 垂直,就直线的方程是A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0 5. 设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为,且

10、 sincos0就 a,b 满意（）A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0 6. 假如直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,就系数 a= A、 -3 B、-6 C、3 D 2、2 37. 点 P（-1 ,2）到直线 8x-6y+15=0 的距离为（）A 2 B 1 C 1 D 2728. 直线 mx-y+2m+1=0经过肯定点,就该点的坐标是A（-2 ,1） B （2,1） C （1,-2 ） D （1,2）2y30,平行,9. （上海文, 15）已知直线l1: k3x4k y10,与l2: 2k3x就 k 得值是（）A. 1或 3 B.1或

11、 5 C.3或 5 D.1或 2 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10、如图中的直线 L1、L2、L3 的斜率分别为 K1、K2、K3就（） A、K1 K2 K3L 3 L 2 B 、K2 K1 K3 C、K3 K2 K1o x D、K1 K3 K2L 11 ” 是“ 直线 m+2x+3my+1=0与直线 m2 x+ m+2 y3=0211.（05 北京卷）“ m=相互垂直” 的 （A）充分必要条件（C）必要而不充分条件（B）充分而不必要条件（D）既不充分也不必要条件12、与直线 2x+3y-6=0 关于点

12、1,-1对称的直线是（）A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 13. 如直线 ax + by + c = 0 在第一、二、三象限,就A. ab0,bc0 C. ab0,bc0B. ab0,bc0 D. ab0,bc0 14. （2005 北京文）“ m= 1 ” 是“ 直线 m+2x+3my+1=0与直线 m2x+m+2y 23=0 相互垂直” 的 A. 充分必要条件 B. C. 必要而不充分条件 D.充分而不必要条件 既不充分也不必要条件15. 假如直线 l 经过两直线 2x - 3 y + 1 = 0 和 3x - y - 2

13、 = 0 的交点,且与直线 y = x 垂直,就原点到直线 l 的距离是 A. 2 B. 1 2 C. 2 24 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 16. 原点关于 x - 2 y + 1 = 0的对称点的坐标为 A. 4,-2 B. D. -2 5,4555C. 4,252,-4555二、填空题1. 点P1, 1到直线xy10的距离是 _. ）2. 已知 A-4,-6,B-3,-1,C5,a三点共线,就 a 的值为（3. 经过两直线 11x+3y7=0 和 12x+y19=0 的交点,且与 A（3,2）,B（1,

14、6）等距离的直线的方程是l1:xy10与l2:x；30所截得的线段y4. （全国文 16）如直线 m 被两平行线的长为22,就 m的倾斜角可以是 15 o 30o 45 o 60o 75 o其中正确答案的序号是 .（写出全部正确答案的序号）5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三. 解答题1. 已知两条直线l 1:x1m y2m l2: 2 mx4y016. m 为何值时 , l1 与l2:30（1）相交（2）平行（3）垂直32xy的交点且平行于直线2. 求经过直线l1:2x3y5,0l2:3x2y的直线方程 .

15、3. 求平行于直线xy20,且与它的距离为2 2 的直线方程；6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 已知直线 l1 : mx + 8y + n = 0 与 l 2 : 2x + my - 1 = 0 相互平行,求 l 1,l2 之间的距离为 5 时的直线 l1 的方程 . 5. 已知三角形 ABC的顶点坐标为 A（-1 ,5）、B（-2 ,-1 ）、C（4,3）,M是 BC边上的中点；（1）求 AB边所在的直线方程；（2）求中线 AM的长（ 3）求 AB边的高所在直线方程；6. 求与两坐标轴正向围成面积为2

16、平方单位的三角形,并且两截距之差为3 的直线的方程；7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、挑选题1设直线axbyc0的倾斜角为,且 sincos0,）就a b 满意（）Aab1Bab1Cab0Dab02过点P 1,3且垂直于直线x2y30的直线方程为（A2xy10 B2xy50Cx2y50 Dx2y703已知过点A 2,m 和B m ,4的直线与直线2xy10平行,就m 的值为（）A 0 B8 C 2 D 104已知ab0,bc0,就直线 axbyc 通过（）A第一、二、三象限 C第一、三、四象限B第一、二、四

17、象限 D其次、三、四象限（5直线x1的倾斜角和斜率分别是（）m 满意A0 45 ,1B0 135 , 1C90 ,不存在D180 ,不存在6如方程2 2 mm3 x2 mm y4 m10表示一条直线,就实数）Am0Bm32Cm1Dm1,m3,m02二、填空题1点 P 1, 1 到直线 x y 1 0 的距离是 _. 2已知直线 l 1 : y 2 x ,3 如 2l 与1l 关于 y 轴对称,就 2l 的方程为 _; 如 3l 与 1l 关于 x 轴对称,就 3l 的方程为 _; 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - -

18、- 如4l 与1l 关于yx对称,就4l 的方程为 _; 3如 原 点 在 直 线l 上 的 射 影 为2,1, 就l的 方 程 为_；4点 P x y 在直线 x y 4 0 上,就 x 2 y 的最小值是 _. 5直线 l 过原点且平分 Y ABCD 的面积,如平行四边形的两个顶点为B 1,4, D 5,0,就直线 l 的方程为 _；三、解答题1已知直线 AxByC0,（1）系数为什么值时,方程表示通过原点的直线；（2）系数满意什么关系时与坐标轴都相交；（3）系数满意什么条件时只与 x 轴相交；（4）系数满意什么条件时是 x 轴；（5）设 P x 0,y 0 为直线 Ax By C 0上一点,证明：这条直线的方程可以写成 A x x 0 B y y 0 09 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 求 经 过 直 线l1:2x3y50 ,l2:3 x2y30的 交 点 且 平 行 于 直 线2xy30的直线方程；3经过点A 1,2并且在两个坐标轴上的截距的肯定值相等的直线有几条？恳求出这些直线的方程；4过点A 5, 4作始终线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 510 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页