2022年第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第十六届北京市数学竞赛试卷答案（甲、乙组）一、 填空（ 20 分）1 yx1yx2yex,y0 1, 且l i m x 0 y xx 2xa, 就a_. y02,得解由lim x 0y xxa,得y00,利用方程,得x2a1. 为可去间断2fxxexbb,xe为无穷间断点,x1ax点,就b_.e解fx xexbb 1 x92k22 k,3.zfx,y,2zxy ,fx0,x2,f,0yy,就xyfx,y_. 解fx ,y_x2y2xy2x2y. 4.dux22yz dxy22xz dyz22xy dz ,就ux,y,z _. 解ux,y,z _

2、x3y3z32xyzC35.fx3x1x21f2xdx ,就f x_. 0解fx 3xk1x2,其中k13xk1x2 2dx,得0k13xk1x22dx1 9k2x26kx1x2dxk2003得9k92k2,得k981729433 ,3. 421 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6.lim r 01x2y2ex 2y2cos xy dxdy_ .r2r2解 . 7. x lim0 2 x 11 ln 11 fcos x x 4 , 就 limx 0 fx 3 x _ .解 2 ln 28. f x f x

3、, f 1 a , 就 f 2 _ .x解 f x / f x 1 , f x cx , f 1 a , f x ax , f 2 2 a .x29. L : xy 21 ,周长为 l ,就 x 2 y 2ds _ .4 L解 l410.设 x 0 , 或 x 1 , 就级数 ln 1 n 1 x 1 2 nx 的和为 _. n 1 1 nx 1 2 n 1 x 解 ln 1 n 1 x 1 2 nx = n 1 1 nx 1 2 n 1 x n 1 ln 1 12 nn 11 xx ln1 12 nxnx lim n 1 12 nxnx ln 2 . . 二、f x 存在,且 x 3f x

4、dx x 2 cos x 4 x sin x 6 cos x C , 求 f x . 解 x 3 f x 2 x cos x x 2 sin x 4 x cos x 4 sin x 6 sin x问题：可能是设 f x 连续,积分才有意义；f x sin2 x cos x C .x x三、y 1 1,作图形并指出去单调区间,最值,极1 x 1 x 2值,拐点 . 解x0,y11x31x,y1123120,y 单调增加；xx2 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - x0 ,y1233230,y1233230 ,xx

5、xx0 x 2 , y 1 1, y 12 12 0 , x 1,1 x 3 x 1 x 3 x2 20 x 2 , y 3 3 0 ,1 x 3 xy 0 0 , y 2 0 0,微小值 = y 1 . 1x 2 , y 1 1, y 12 12 0 , y 单调削减；1 x x 1 1 x x 12 2x 2 , y 3 3 01 x x 1没有拐点 . y 2 4, y 0 4 为极大值,并且 4 为最大值；3 3 3四、0 f x c R , f x 0 xf x t dt sin 4 x,求 10 f x dx . 解 f x 0 xf x t dt sin 4x ,f x 0 xf

6、 x dx sin 4x , 0 xf x dx 20 xsin 4xdx 34 x sin2 2 x sin16 4 x , 得 0 f x dx 32 . 10 f x dx =2 3 . x x注 意 : 上 面 0 f x dx 20 sin 4 x d x 表 示 必 须 x 0 . 所 以 题 设0 f x c R 有一点问题 . 五、求常数 a , b , c 的值,使函数 f x , y , z axy 2byz cx 3z 2 在点 ,1 2 , 1 处在 z 轴正向的方向导数有最大值 64. 解 即在 ,1 2 , 1,有 f 0 0, 1, .得 a 6 , b 24 ,

7、 c 8 . f2 2 2六、是原点到 : x2 y2 z2 1 上点 x , y , z 处的切平面 的距a b c离,运算 dS . 3 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 七、fx在0 1,上连续且单调增加,证明不等式1fxdx21xfxdx. 11,上作变量变00证方法 1 自变量变换（利用定积分定义或在2换x1t.）x fxcdx等价 ,方法 2 函数变换12x fxf 1/2 0. 方法 3 1fxdx21xfx dx与1fxcdx210000不仿设f10,得12xfx0. x0. 2方法 4 设f

8、c1, 1fxdx21xfxdx1fxdxx21xx2df0000当fc1,可以用靠近或用定积分定义证明1fxdxx21xx2dfx0. 00方法 5 xyfx fy dxdy0 ,D:0x ,y1 .D八、证明方程 2 xx 2 1 有且仅有三个实根 . 证 记 y 2 x x 21 , y 2 xln 22 2 , y 0 0 , y , y . y 2 xln 2 2 x 0 , y 0 0 , 所 以 存 在 至 少 三 个 零 点 ,y 2 xln 32 0,不行能有三个以上零点；九、（ 1）举例说明存在通项趋于零但发散的交叉级数2. 举例说明存在收敛的正项级数n0a ,但ano 1

9、 n. 解 （1）n11 n1nn4 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 1: n41nn4n1 nnn=n41nn1 nnn, n1n1nnn1n1nn1n2n2,得n,13122:12122292101012112122992100102丙组题目多数一样或接近；不一样的题目有一、7f x x 1 5e x, f 100 10 . e 1.58dx d 22 0 xdt 0 sin t1 u 2du 1 sin 4x cos x .七、设生产某产品必需投入三种要素,x , y , z 分别是三种要素的投入

10、量,Q 为产量,Q x y z . , , 为正数,. 1 . 三种要素的价格分别是 P 1 , P 2 , P 3,当产量肯定时,三种要素的适当投入可使总费用 P 最小；证明最小投入总费用 P 与产量 Q 比为常数,并且求此常数 . 解 利用 Lagrange 方法,求PP 1xP 2yP 3z在条件Qxyz下的最小值；得PP 1P 1P 1. n1 an1, 证 明当x1Q八 、a0,1a 11/,2当n2,有nan12时,级数anxn收敛,并求和函数 . n收敛；n1留意:a 11/2可去掉 . 解lim na n1,1当x1时,级数n1anxan5 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - nanxn11n1 an1xn1,21anxn1 2n0anxnxn1anxn1.记yn0anxn,得nyy0,1得x y,y21y,y0,1得xy2y1x. 16 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页