2022年第二十八章锐角三角函数.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载其次十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数一、锐角三角函数的定义式（1）如图 1,在 Rt BC 中,C=90 ,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦,A）记作 sinA ,即 sinA=A的对边=BC=a c斜边AB例 1 如图 2,在 Rt ABC 中, C=90 ,求 sinA 和 sinB 的值斜边cBBB13A 的 对边 a35AA的邻边 b 图 1CA4 C图 2C 解：如图（ 1）,在 Rt ABC 中,AB=AC2BC2=5因此 sinA=BC=3 ,sinB= 5AC=4 5ABAB如图（ 2）

2、,在 Rt ABC 中,BC sinA= AB= 13 5 ,AC=AB2BC2=12因此, sinB=AC=12 13AB练习一1如图 3,已知点P 的坐标是（ a, b）,就 sin 等于（AaBbCa2ab2D. a2bb2ba2如图 4,在ABC 中, AC=3 , BC=4 , AB=5 ,就 sinB 的值是（3 A 44 B 33 C 54 D 53如图 5,在 Rt ABC 中, C=90 , AB=10 ,sinB=2 ,BC 的长是 5（A221B.2 C.21A D.21A 50y P（ a,b）名师归纳总结 O 图 3 x B 图 4 C B 图 5 （C ）第 1 页

3、,共 22 页4在 Rt ABC 中, C=90 , a=1,c=4,就 sinA 的值是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A15B.学习好资料C.1欢迎下载151D.154435在 Rt ABC 中, C=90 , sinA= 13 5 ,就 sinB 等于（）BA12B13C5D513121213（2）如图 6,余弦： A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦,记作cosA,即 cosA=A的邻边=AC=b ；c斜边AB（3）如图 6,正切：把 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切,记作tanA ,即 tanA=A 的对边=BC=a bA 的邻边AC斜边c

4、BBCA 的 对边 a6AA 的邻边 b 图 6CA图 7CAD图 8例 2：如图 7,在 Rt ABC 中, C=90 , BC=6, sinA=解： sinA= BC , AB=AB sin BCA =6 5 3=10, 又 AC=cosA= AC= 4 ,tanB= AC= 4 AB 5 BC 3练习二3 ,求 cosA、tanB 的值5AB2BC2=8,1、在 Rt ABC 中, C 为直角, a=1, b=2 ,就 cosA=_ , tanA=_ 2、在 Rt ABC 中, C 为直角, AB=5 , BC=3 ,就 sinA=_ ,tanA=_ 3、在 Rt ABC 中, C 为直

5、角,A=300,b=4,就 a=_,c=_ 4、在 Rt ABC 中, C 为直角,如sinA=3 ,就 cosB=_55、如图 8,在 Rt ABC 中,C 为直角, CD AB 于 D,已知AC=3 ,AB=5 ,就 tanBCD 名师归纳总结 等于D4 第 2 页,共 22 页A3B4C34355 6、在 Rt ABC 中, C 为直角, sinA=2,就 cosB 的值是2A1 ；2B3 ；2C1；D2（）27、在 Rt ABC 中, C 为直角, AC=4 ,BC=3 ,就 tanA 等于- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A3学习好资料C欢迎

6、下载D4B4 334558、Rt ABC 中,C 为直角,AC=5 ,BC=12 ,那么以下 A 的四个三角函数中正确选项 A sinA= 13 5 ；BcosA= 12 ；13 C tanA= 13 ；12 DtanB =12 59、在直角三角形中,各边都扩大 2 倍,就锐角 A 的正弦值与余弦值都（） A、缩小 2 倍 B、扩大 2 倍 C、不变 D、不能确定10、在 Rt ABC中, C=90 0, BC=4,sinA= 4 ,就 AC等于（）5 A、3 B、4 C、5 D、 6 11、如图 9,梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A,关于 A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间,表达正确选

7、项（）AsinA 的值越大,梯子越陡 BcosA 的值越大,梯子越陡CtanA 的值越小,梯子越陡 D陡缓程度与A 的函数值无关12、如图 10, CD是一个平面镜,光线从 A 点射出经 CD上的 E 点反射后照耀到 B 点,设入射角为 入射角等于反射角 ,ACCD,BD CD,垂足分别为 C,D如 AC=3,BD=6,CD=12,就 tan 的值为（）A4 B. 3 C. 4 D. 33 4 5 5A A 图 9 图 10 13、在 ABC 中, C=90 , A, B, C 的对边分别是B C 图 11 a,b,c,就以下各项中正确的是（）A a=c.sinB Ba=c.cosB Ca=c

8、.tanB D以上均不正确14、如图 11,在正方形网格中,ABC的位置如图,就 cos B 的值为（）A1 B2 C3 D32 2 2 315、在 Rt ABC 中, C=90 ,如 tanA= 3 ,就 sinA 等于（）44 3 5 3A、B、C、D、3 4 3 516、在 Rt ABC中, C90 0, A、 B 的对边是 a、b,且满意 a 2abb 2=0,就 tanA等于（） A、1 B、1 5 C、1 5 D、1 52 2 2二、特殊角的三角函数值我们说的特殊角的三角函数是指“300、450、600的正弦值、余弦值和正切值,这些角的三角函数值如下表；名师归纳总结 - - - -

9、 - - -第 3 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载例 1：求以下各式的值（1）cos 260+sin260 （2）cos450tan450sina 3004506000sin45123 21 23解：（1）cos 260+sin2600=（1 ）22（3 ）22=1 22cosa 32（2）cos450tan450=2 22 1=0 2223sin450tana 1 3【注： sin260=（sin60）2】例 2：（1）在 Rt ABC 中, C=90,AB=6 ,BC=3 ,求 A 的度数（2）已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB

10、 的3 倍,求 a分析：要求一个直角三角形中一个锐角的度数,可以先求它的某一个三角函数的值,假如这个值是一个特殊角的三角函数值,那么我们就可以求出这个角的度数6B A B 3A 图 12 C O 解：（1）如图 12 中, A=450图 13 sinA=BC=3=2 ,2AB6a=60 AO=3BO=3 ,（2）如图 13 中,tana=BOBO注：当 A、B 为锐角时,如A B,就 sinA sinB, cosA cosB, tanA tanB 名师归纳总结 练习三：02cos60 0tan450 的结果是（）第 4 页,共 22 页1运算 2sin30A2 B3C2D1 ）2、在 ABC

11、中,A 、B 都是锐角, 且 sinA=1 ,cosB= 23 ,就 ABC 的外形是 （2A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D不能确定）3、在 ABC 中,三边之比为a：b：c=1：3 ：2,就 sinAtanA 等于（A323B.1 23C.323D.3162- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4以下各式中成立的是学习好资料欢迎下载（）5、如（A2sin300=tan4503 =0,就Bsin400=0. 5 sin800（）Csin450cos45 0=1D2tan300=tan600ABC 3 tan A 3）2 2cosBB是等边三角形A是直

12、角三角形C是含有 60 的任意三角形D是顶角为钝角的等腰三角形0 06、cos 45 sin 30 的值是 _0 1 0cos 60 tan 4527、已知,等腰 ABC. 的腰长为 4 3 ,.底角为 300,就底边上的高为 _,.周长为 _8、在 ABC 中, AD 是 BC 边上的高, B=30 , C=45 , BD=10 , AC= 9、求以下各式的值（1）sin30 0cos45 0cos60 0; （2）2sin60 02cos30 0sin45 00 0 0（3）2 cos 600 ; （4）sin 45 cos 300sin60 0（1 sin30 0）2 sin 30 2

13、3 2 cos 60（5）tan450sin6004sin300cos45 0+6 tan300（6）tansin450600cos45 0cos30 0300tan名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载10、如图, POQ=90 ,边长为2cm 的正方形 ABCD 的顶点 B 在 OP 上, C 为 CQ. 上,. 且 OBC=30 ,分别求点A,D 到 OP 的距离D Q A C 11、在 Rt ABC 中, 2sin +200=3 ,就锐角 的度数是P B 300 ）O （0 0 0A.60

14、B.80 C.40 D.以上结论都不对12、如关于 x 的方程 x 22 xcos =0 有两个相等的实数根,就锐角 为（）0 0 0 0A、 30 B、45 C、60 D、 013、在 ABC 中, A、B 都是锐角,且 sinA= 1 ,cosB= 2 ,就 ABC 三个角的大小2 2关系是（）A、 C A B B、 B C A C、 A B C D、 C B A 14、已知 23 是方程 x 25xsin 1=0 的一个根,其中 为锐角,就 sin = ,cos = 三、三角函数的范畴名师归纳总结 0sin 1 0cos 1 tanA 0 sinA+sinB 1 第 6 页,共 22 页

15、例 3：已知 sin 是方程 x25 x1=0 的根,求 2由于 0sin 1 解：方程 x25 x1=0 的根是 2x1= 1x 2=2 21 所以 sin = 2 =300练习四1、化简sin22 sin1sin = - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（）2、如 A 为锐角,且tan2A2tanA 3=0,就 tanA =_.3、在以下命题中, 正确命题的个数是对于任意锐角都有0sin 1； sina 1 =sina 1；D4 如 A、 B为锐角,且 A ：B = 1 ：2,就 sin A ：sinB = 1 ：2；在 ABC中,

16、 C=90 0, A=30 0,就 b =cA1 B2 C3 . 23 四、两角互余关系：两角互余,一个角的正弦等于另一个角的余弦,练习五：即 sin（90 0 ） = cos cos（90 0 ） = sin1、设 、 均为锐角,且 sin cos =0,就 =_2、已知 cosA= 3 ,且 B=90 0 A,就 sinB=_ 23、 A 为锐角,已知 sinA= 5 ,那么 cos 900-A=_ 134、如 0 0 sin45 2、sin272 sin218的值是（）A 1 B0 C1D3 223、已知 tan =2 就3 sin-cos= 4 sin3 sin A-2 cost an

17、AA =cos 2B2C；4、如 cosA=1 ,就 3= 4 sin A2 cos A5、sin272 sin 218= ；6、在 Rt ABC中, C=90 ,在以下表达中：sinA sinB 1 sinsin A=tanB ,其中正确的结论是_ _（填序号）sin B五、三角函数的增减性正弦、正切函数（sin 、 tan ）是增函数：即角越大函数值越大余弦函数（ cos ）是减函数：即角越大函数值越小名师归纳总结 例 4、比较大小（1）Sin15 0 Sin16（2）Sin15 0 与 cos15 00cos15 0 cos16 0tan150 tan160第 8 页,共 22 页 co

18、s15 0= Sin750又 Sin150Sin750Sin150 cos15 0例 5：如 A 是锐角,且sinA= 3 ,就40； B30 0 A450；C450 A 60 0；D 60 0A 0 0 A300 A90分析： sin30 0= 1sin450= 2sin600= 3又正弦函数是增函数2223 23600 A900选 D 4练习七A450 时, sinA 的值 1、当锐角A小于2 ；2B大于2 ；2C小于3 ；2D大于322、当 A 为锐角,且tanA 的值大于3 时, A 3 A 小于 300；B大于 300；C小于 600；D大于 60 03、以下各式成立的是 A cos

19、600sin450 tan450tan6 00；B sin450cos600tan450tan6 0 0；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载C sin45 0cos60 0tan60 0tan45 0；D cos30 0tan45 0 cos60 0tan6 0 04、已知 为锐角,且 1 cos2 ,就 的取值范畴是（）2 2A0 0 30 0；B 60 090 0；C45 060 0；D30 045 05、如 cosAcos60 0 ,就锐角 A 的取值范畴是 _. 6、如 A 是锐角 ,且 sinA= 3,就 . 4A. 0

20、0 A30 0; B. 30 0 A45 0; C. 45 0 A 60 0; D. 60 0 A90 0. 7、当 A 为锐角 ,且 tanA 的值大于 3 时, A . 3A. 小于 30 0B. 大于 30 0; C. 小于 60 0; D. 大于 60 08、观看以下各式：（1）sin59 0sin28 0；（2）0cos 1（ 是锐角）；（3）tan30 0+tan60 0=tan90 0；其中成立的有（）A 1 个 B2 个 C3 个 D0 个9、角 a 为锐角,且 cos = 1 ,那么 在（）；3A0 0 与 30 0 之间 B30 0 与 45 0 之间 C45 0 与 60

21、 0 之间 D60 0 与 90 0 之间10、已知 A 为锐角,且 cosA1 ,就（）2A、0 0A 60 0B、 60 0A 90 0C、0 0A 30 0D、30 0A90 0六：解直角三角形直角三角形有三条边三个角,我们称之为直角三角形的六个元素,这六个元素中直角不用考虑,这样仍有五个元素,在这五个元素中,已知其中任意两个元素（至少含有一条边）就能求其它的三个元素. B 所谓的解直角三角形就是求出全部末知的边和角已知两边,用勾股定理 a 2+b 2=c 2 求另一边,再用三角函数求角例 5：如图,在Rt ABC 中, C=900,AC=2 , BC=6 ,解这个直角三角形解： tan

22、A=BC=6 2=3 , A=60 2A ACB=900 A=900600=300AB=2AC=22 C 6已知一边一角,用三角函数求另一边或一角名师归纳总结 例 6：如图,在Rt ABC 中, C=90 , B=35 , b=20,解这个直角三角形 （精确到第 9 页,共 22 页0.1）解： A=90 B=90 35 =55 A tanB= a b 20=20 28.60 . 70B 350c a b=20 C a=bB=tantan0 35- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sinB=b ,c20=学习好资料欢迎下载c=bB=20 35.10 .

23、57注：我们平常所作的题中的角都是特殊角sinsin0 35练习八1、如图 1,Rt ABC 中, C=90 , D 为 BC 上一点, DAC=30 , BD=2 ,AB=23 ,就 AC. 的长是（）A 3B22C3 D3322、如图 2 在菱形 ABCD 中, ABC=60 , AC=4 ,就 BD 的长为（）A A 83B43C 23D D8 B D A A B O C D B B C C A C D ；图 1 图 2 图 3 图 4 3、如图 3,在 Rt ABC中, ACB=90 0,CDAB于 D,如 BDAD=13,就 tan BCD 4、已知,如图4, ABC=BCD=90

24、0,AC=15,sinA=4 ,BD=20,就 sinD 55、在 Rt ABC 中, C=90 , a、b、 c 分别是 A、 B、 C 的对边, .就以下等式成立的是（）Db=ccotA Ab=c cosA Bb=asinB Ca=btanB 6、已知在Rt ABC中, C=90 0,AC=5,AB=7,就 tanA= ；7、已知在Rt ABC中, C=90 0,cosA=7 ,就 tanA= 258、如图 5,在 Rt ABC 中, C 为直角, CD AB 于 D,已知 AC=3 ,AB=5 ,就 tanBCD等于 ；3 A 、 44 B、 33 C、 55 D、 3CD的3 ,就 s

25、inB= 29、如图 6,在 Rt ABC中, C90 , AC等于 AB边上的中线BADA名师归纳总结 ADCBA2B 图8C第 10 页,共 22 页CE图 5C图 6B图 710、如图 7, ABC的顶点都是正方形网格中的格点,就sin ABC等于（） A.5 B.255 C. 5 D. 53- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载3 ,就以下结论 511、如图 8,菱形 ABCD的周长为 40 , DEAB,垂足为 E,sinA=DE=6 BE=2 菱形 ABCD面积为 60 2 BD=4 10 正确的有（） 1 个 2 个 3 个

26、 4 个12、如图 9, AOB=30 , OP 平分 AOB ,PC OB ,PDDB ,假如 PC=6,那么 PD等于（）3 ,A 、4 B、3 C、 2 D、1 ADCACPOEO图 9DBA图10BCD图11B13、如图 10,在矩形ABCD 中, CE BD 于点 E,BE=2 ,DE=8 ,设 ACE= ,就tan 的值为（）A 、1B、4C、3D、2 23414、如图 11,在 ABC 中,C=90 ,B=30 ,AD 是 BAC 的平分线, 已知 AB=4那么 AD= ；15、如图 12 两条宽度都为1 的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为 ,就它们重叠部分（图中阴影部分）

27、的面积为（）A1 B1sin cos16、如图 13,在 ABC中,BC100,B60 Csin D10, C45 0,就点 A 到 BC边的距离 AD= . 17、一块四边形土地如图14 所示,其中 ADC=1200,AB AD ,BC CD ,测得 CD=30B3 m,C PAB=503 m. 就这块土地的面积是A AD O图 12 B D C A 图 14 B 图 15 图 13 18、如图 15 所示,已知 O 的半径为5cm,弦 AB 的长为 8cm,P.是 AB.延长线上一点,.BP=2cm,就 tan OPA等于2 C 32 D（） A3 B 212七：解直角三角形在实际中的应用

28、（一）求不行到达的两点间距离例 7：当飞船完成变轨后,就在离地球表面350km 的圆形轨道上运行如图,当飞船运行名师归纳总结 到地球表面上P点的正上方时,从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？这第 11 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载F样的最远点与P 点的距离是多少？ （地球半径约为 6400km ,结果精确到0.1km ）分析：从飞船上能直接看到的地球上最远的点,应是视线与地球相切时的切点如下列图,PQ O 表示地球, 点 F 是飞船的位置, FQ 是 O的切线,切点Q 是从飞船观看地球时的最远O点PQ

29、的长就是地面上P、Q 两点间的距离 为了运算 PQ 的长需先求出POQ （即 a）解：FQ 是 O 的切线, FCQ 是直角三角形cos =OQ=64000.95, 18 P.点约 2022.6km OF6400350PQ 的长为18 64001.34 640=2022.6 180由此可见,当飞船在P 点正上方时, 从飞船观测地球时的最远点距离例 8：热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为45 ,看这栋高楼底部的俯角为 60 ,热气球与高楼的水平距离为120m,问这栋高栋有多高？ （结果精确到0.1m）分析：我们知道,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的是仰角,视线在水平线

30、下方的是俯角因此,在如下列图中,AD 是与水平面平行的直线,就CAD=45 , BAD=60 ,我们可以把这道题分成 两个直角三角形来解在 Rt ABD 中, BAD=60 AD=120 ,所以可以利用解直角三角形的学问求出 BD；类似地在ACD 中可以求出 CD 进而求出 BC 解：如图, 依据题意 CAD=45 , BAD=60 ,AD=120 CAD = 45 CD= AD=120 3 ,tanBAD=BD ADBD=AD tan BAD =120 tan60 =120BC=BD+CD=12 01203 327.8答：这栋楼房约为327.8m注：把实际问题转化为数学问题是这类问题的重点；

31、在例 8 中重点把握“ 仰角”练习九“ 俯角” 这两个术语,在以后的学习中仍有这样的术语名师归纳总结 1、如图 1,用测角仪测得铁塔顶点A 的仰角为30 0,测角仪离铁塔中心线AB 的距离为 40第 12 页,共 22 页米,测角仪CD 高 1.5 米,就铁塔的高度. AAAC图1BCD 图 2B图3B图4CD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载2、如图 2,河对岸有铁塔 AB,在 C处测得塔顶 A 的仰角为 30 0,向塔前进 14 米到达 D,在D处测得 A的仰角为 45 0,就铁塔 AB的高 .3、如图 3,小明发觉在教学楼走廊

32、上有一拖把以 15 0 的倾斜角斜靠在栏杆上,严峻影响了同学们的行走安全；他自觉地将拖把移动位置,使其的倾斜角为 75 0,假如拖把的总长为 1.80 m,就小明拓宽了行路通道 _ m； 结果保留三个有效数字,参考数据：sin15 00.26 ,cos15 00.97 4、如图 4,某飞机于空中 A 处探测到地平面目标 B,此时从飞机上看目标 B 的俯角 =30 0,飞行高度 AC=1200 米,就飞机到目标 B 的距离 AB 为（）A、1200m B、2400m C、400 3 m D、1200 3 m 5、如图 5,河对岸有古塔 AB ,小敏在 C 处测得塔顶 A 的仰角为,向塔前进 s 米到达 D,在 D 处测得 A 的仰角为 ,就塔高是 米；（用、 和 s 表示）6、如图 6 身高 1.6m 的小亮用一个锐角为30 的直角三角尺测量树高,当他手托三角尺从点 E 后退 10m,到达点 B 时,他的视线刚好沿三角尺的斜边穿过树顶点 C,这棵树高大约是 m（眼睛到头顶的距离忽视不计,精确到 0.1；可能用到的数据：2 1.414,3 1.73；）CD图 5BAA图6CDBAE图7PA图8BCDFBEC7、如图 7,某一时刻太阳光从教室窗户射室内,与地面的夹角BPC 为 30 ,窗户的部分在教室地面所形成的影长PE 为 3.5 米,窗户的高度AF 为 2.5 米,求窗外遮