2022年等腰三角形和勾股定理.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一、学问结构 本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理等学问,这些学问点 之间的结构如下图所示：二、重点回忆 1等腰三角形的性质：等腰三角形两腰 _；等腰三角形两底角 _ 即等边对 _ ；等腰三角形 _合一；等腰 三角形是 _图形,它的对称轴是 _；2等腰三角形的判定：有_边相等的三角形是等腰三角形；有_相等的三角形是等腰三角形（即等角对_）；3等边三角形的性质：等边三角形各条边_,各内角 _,且都等于 _；等边三角形是_图形,它有 _条对称轴；4等边三角形的判定：有_边相等的三角形是等边三角形

2、；有两个角都是 5直角三角形的性质：_的三角形是等边三角形；直角三角形两锐角_；直角三角形斜边上的中线等于_；直角三角形两直角边的平方和等于_（即勾股定理） ；6直角三角形的判定：有一个角是 _的三角形是直角三角形；有两个角 于_的三角形是直角三角形；7直角三角形全等的判定：_的三角形是直角三角形；两边的平方和等斜边和 _ 对应相等的两个直角三角形全等；8角平分线的性质：在角内部到角两边 _在这个角的平分线上；三、重点解析（易错点）1学习 特别三角形,应重点分清性质与判定的区分,两者不能混淆；一般而言,依据边角关系判定一个图形外形通常用的是判定 ,而依据图形外形得到边角关系那就是性质 ；2等腰

3、三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情形下才给出的名称,即先有等腰三角形,后有腰,因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“ 有两腰相等的三角形是等腰三角形” ；3直角三角形 斜边上的中线 不仅可以用来证明线段之间的相等关系,而且它也是今后讨论直角三角形问题较为常用的帮助线,娴熟把握可以为解题带来不少便利；名师归纳总结 4勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系,解题时应留意分清哪条是斜边,哪条是直角边 ,不要一看到字母“c ” 就认定是斜边,一看到直角三角形两边长为3 和 4 就认为另一边肯定是5；第 1 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资

4、料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载勾股定理的证明已知：在2ABC中, C=90 , A、 B、 C的对边为 a、b、c；DC求证：ab2c2证明： 4S +S小正 = S 大正 = . AbcaB依据的等量关系：由此我们得出：勾股定理的内容是：5“ HL” 是 仅适用于判定直角三角形 方法才有效,当然,以前学过的“形全等的判定同样有效；四、典题例析全等的特别方法,只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下,此 SSS” 、“ SAS” 、“ ASA” 、“ AAS” 等判定一般三角形全等的方法对于直角三角例 1如图,在ABC 中, ADBC于 D. 请你再添加一个条件,

5、就可以确定ABC 是等腰三角形,你添加的条件是 _；例 2已知如图, Rt ABC中, AB=BC,在 Rt ADE中, AD=DE,连结 EC,取 EC中点 M,连结 DM和 BM,如点D在边 AC上,点 E在边 AB上且与点 B 不重合,试说明BM=DM成立的理由；BD 、AE,并延长例 3如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,A 、C、 D 三点在同始终线上,连结名师归纳总结 AE 交 BD 于 F试说明ACEBCD的理由；第 2 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4：已知：如图,学习必备欢迎下载ABCD的面积；B=D=90

6、 , A=60 , AB=4,CD=2；求：四边形AD例 5如图,等腰三角形ABC中, AB=AC,一腰上的中线BECBD.将这个等腰三角形周长分成15 和 6 两部分,求这个三角形的腰长及底边长例 6已知：在Rt ABC中, C=90 , CDBC于 D, A=60 , CD= 3,求线段 AB的长；CBDA例 7甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要查找水源为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15 千米早晨8：00 甲先动身,他以6 千米 / 时的速度向东行走,1 小时后乙动身,他以5 千米 / 时的速度向北行进,上午10：00,甲、乙二人相距多远？仍能保持

7、联系吗？B O A 例 8将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆从旗顶到地面的高度为320cm, 在无风的天气里,彩旗自然名师归纳总结 下垂,如右图 . 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h. 彩旗完全展平常的尺寸如左图的长方形（单位：cm）. 第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载120 90 例 9已知x6y8z10 20 , 就由此x ,y ,z为三边的三角形是三角形 . 例 10已知：如图,在ABC中, CD是 AB边上的高,且CD 2=ADBD；BCA求证：ABC是直角三角形；D例 11如图,在ABD 中,

8、 A 是直角, AB=3 , AD=4 , BC=12 ,DC=13 , DBC 是直角三角形吗？【巩固练习】A 组 基础训练1如图 1,在 ABC中, AB=AC, A=50 , BD为 ABC的平分线,就BDC=_ （1）2如图 2,在等腰直角ABC中, B=90 ,将ABC绕顶点 A 逆时针方向旋转60 后得到ABC ,就BAC 等于 _名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）学习必备欢迎下载（3）3. ABC 中,如A= 1 B= 1 C, AC=10 cm,就 A= 度, B= 度 , C= 2 3度,

9、BC= ,S ABC= ；4 ABC 中, C=90 , AB=4, BC= 2 3,CD AB 于 D,就 AC= , CD= , BD= ,AD= ,S ABC= ；5如图 3,沿 AC方向开山修渠,为了加快施工进度,.要在小山的另一边同时施工从 AC上的一点 B 取ABD=135 , BD=520米, D=45 ,假如要使 A、C、E 成始终线,那么开挖点 E 离 D的距离约为 _米（精确到 1 米）6等腰ABC的底边 BC=8cm,腰长 AB=5cm,一动点 P 在底边上从点 B 开头向点 C以 0.25cm/ 秒的速度运动,当点 P 运动到 PA与腰垂直的位置时,点 P.运动的时间应

10、为 _7如图 4,在 ABC中, AB=AC, BAD=20. ,且 AE=.AD,就 CDE=_（4）（5）（6）9如图 5,在等腰三角形 ABC中, AB=AC, A=44 , CD AB于 D,就 DCB等于（） A44 B68 C46 D2210如图 6,要在离地面 5m处引拉线固定电线杆,.使拉线和地面成 60角,如考虑既要符合设计要求,又要节约材料,就在库存的 L 1=5.2m,L2=6.2m,L 3=7.8m,L 4=10m 的四种备用拉线材料中,拉线 AC 最好选用（）AL 1 BL 2 C L3 D L4 11如图 7,在 ABC中, AB=AC,D为 AC边上一点,且 BD

11、=BC=AD.就 A 等于（）A30 B36 C45 D72（7）（8）名师归纳总结 12同学们都玩过跷跷板的嬉戏如图8 所示, .是一跷跷板的示意图,立柱OC与地面垂直, OA=OB当跷第 5 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 跷板的一头学习必备欢迎下载）A着地时, OAC=25 , .就当跷跷板的另一头B着地时, AOA 等于（A25 B50 C60 D13013. 一种盛饮料的圆柱形杯,测得内部底面半径为 4.6 ,问吸管要做 _？2.5 ,高为 12 ,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出14、已知直角三角形一个锐角60 ,斜边长为

12、1,那么此直角三角形的周长是S3_ 15、如下列图,以RtABC的三边向外作正方形,其面积分别A为S S 2,S , 且S 14,S 28,就S 3；S2BS1CB 组 才能提升1如图,已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和 15cm两部分,求它的底边长2已知如图ABC是等边三角形,BD是 AC边上的高,延长BC到 E 使 CE=CD.试判定 DB与 DE之间的大小关系,并说明理由3如图,ABC中, D、E 分别是 AC、AB上的点, BD与 CE交于点 O,.给出以下三个条件：EBO= DCO； BEO=CDO； BE=CD（1）上述三个条件中,哪两个条件可判定ABC是等腰三角

13、形（用序号写出全部情形）；（2）挑选第（ 1）小题中的一种情形,证明ABC是等腰三角形C组 应用与探究1如图,ABC是等边三角形,点D、 E、F 分别是线段AB、BC、.CA上的点（1）如 AD=BE=CF,问 DEF是等边三角形吗？试证明你的结论名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）如 DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论2.某地邻近有河流L1,大路 L2 和铁路 L3 ,分布如下列图,现要选一个工厂,使得到L1 ,L2 ,L3 的距离相等,请你运用数学学问帮忙挑选一个

14、厂址l 1 l 2l 3课后作业：（基础练习）1、有三枝木棒其中两枝的长分别是5cm,13cm,已知这三枝木棒首尾相连,能组成一个直角三角形,就第三枝木棒的长可以是（）cm. B的度数是（）A、3 B、8 C、12 D、 13 2、已知在ABC中, A=B C,就ABC为（） A、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、以上都有可能3、在 ABC中, A 的相邻外角是110 ,要使ABC为等腰三角形,就底角A、70 B、 55C、70 或 55D、604、以下判定正确选项（）A、 顶角相等的的两个等腰三角形全等 B、 腰相等的两个等腰三角形全等 C、 有一边及一锐角相等的两个直角

15、三角形全等 D、 顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等5、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（）ADA、中线上B、角平分线上 C、高线上 D 、不能确定6、已知如图,折叠长方形的一边AD,使点 D落在 BC边的点 F 处,名师归纳总结 已知 AB=8cm,BC=10cm,就 EC= D、6 BFEA、3 B、4 C、5 C7. 如图,有两个长度相同的滑梯（即BC=EF）,左边滑梯的高度AC.与右边滑梯水平方向的长度DF相等,就ABC+DFE 的度数为；第 7 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载8. 在

16、直线 l 上依次摆放着七个正方形 如下列图 ；已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1 、 2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、 S4,就 S1S2S3S4 等于 . S33S4lS11S229、在 ABC中, A120 , B30 , AB4cm,就 AC _；10、如图, 在 ABC 中,C 90 ,AD 平分 BAC ,BC=12cm ,BD=8 ,就 D 点到 AB 的距离为 _11、如图 , 已知在ABC中,BC3, ACB和 ABC的两条角平分线相交于点O,OE AB,OF AC,就 OEF的周长是 _12、等腰 ABC 中, ABAC 5,BC6,ADBC, C

17、EAB；就 EC=_ A E 13、在如下列图的网格中,每个小正方形的边长均为1 个单位；B D C （1）请你在图1 中画出两条平行线,要求每条直线至少经过两个格点（网格的交点）,但是又不与网格线重合；名师归纳总结 （2）请你在图2 中画一个以格点为顶点,面积为6 个平方单位的等腰三角形；第 8 页,共 11 页（3）请你在图3 中画一个以格点为顶点,三边都不与网格线重合的直角三角形（4）请你在图4 中画一条以格点为端点,长度为10 的线段；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图 1 学习必备欢迎下载图 3 图 4图 2 14、如下列图：已知BA=EA

18、 , BC=ED , B=E,A1）请判定 ACD是什么三角形,并说明理由？2）如点 F 是 CD 的中点,就AF 平分 CAD,请说明理由？BFDEC15、已知点 D 是等腰ABC 底边 BC 上的一点,它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE、DF,如 DE=DF ,就点 D 是 BC 的中点；请说明理由；16、如图, ADBC中, A=B=90 度, E 是 AB上一点,且AE=BC, 1=2 A1D不 是1）Rt ADE与 Rt BEC全等吗？请说明理由；2）ABAD BC 3） CDE是直角三角形？请说明理由；E2名师归纳总结 BC第 9 页,共 11 页- - - - - - -精选

19、学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载17、如图 1,D 是边长为 4 的等边ABC 的边 AB 上的一点, DQAB交边 BC于点 Q,RQBC交边 AC于点R,RPAC交边 AB于点 E,交 QD的延长线于点P；、请说明PQR是等边三角形的理由；AREPDARB图 1QC、如 BD=1.3 ,就 AE= （填空）、如图 2,当点 E 恰好与点 D 重合时,求出BD 的长度；E DBQC练习1、等边三角形的边长为 2,就它的面积是2、如下图, MNP 中, P=60,MN=NP ,MQ PN,垂足为 Q,延长 MN 至 G,取 NG=NQ ,如 MNP的周长为 12

20、,MQ=a ,就 MGQ 周长是（）D6+2a AB 的中点 E 处,就A= A8+2a B8+a C6+a 3、如图, CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高,将BCD 沿 CD 折叠, B 点恰好落在度名师归纳总结 P B A ACPQ PM N G P C 第 2 题图第 3 题图第 4 题图4、如图,ABC 是 Rt , BC 是斜边, P 是三角形内一点,将ABP 绕点 A 逆时针旋转后,能与重合,假如AP=3 ,那么 PP 的长等于；第 10 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载C 也是图中的格点,且5、如

21、下列图的正方形网格中,网格线的交点称为格点已知A 、 B 是两格点,假如使得ABC 为等腰三角形,就点C 的个数是（）A 6 B 7 C 8 D9 BA第 5 题图6、如图,将第一个图（图）所示的正三角形连结各边中点进行分割,得到其次个图（图）；再将其次个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割,得到第三个图（图）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割, ,就得到的第五个图中,共有 _个正三角形 图图图AC 沿直线 AD 折叠,使它落7、如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm ,BC=8cm ,现将直角边在斜边 AB 上,且与 AE 重合 ,就 CD 的长是cm；CD名师归纳总结 BEA第 11 页,共 11 页- - - - - - -