2022年中考压轴题因动点产生的直角三角形问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一解答题（共 7 小题）1如下列图,矩形 ABCD 中, AB=6 ,BC=4 ,点 F 在 DC 上, DF=2 动点 M 、 N 分别从点 D、B 同时动身,沿射线 DA 、线段 BA 向点 A 的方向运动（点M 可运动到 DA 的延长线上） ,当动点 N 运动到点 A 时, M 、N 两点同时停止运动连接FM、MN 、FN,过 FMN 三边的中点作 PQW设动点 M 、N 的速度都是1 个单位 /秒, M 、N运动的时间为x 秒试解答以下问题：（1）说明 FMN QWP；（2）设 0x4试问 x 为何值时, PQW 为直

2、角三角形？MN2的（3）试用含的代数式表示MN2,并求当 x 为何值时, MN2最小？求此时值2已知, ABC 是边长 3cm 的等边三角形动点 P 以 1cm/s 的速度从点 A 动身,沿线段 AB 向点 B 运动（1）如图 1,设点 P 的运动时间为 t（s）,那么 t= _（s）时, PBC 是直角三角形；（2）如图 2,如另一动点 Q 从点 B 动身,沿线段 BC 向点 C 运动,假如动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时动身设运动时间为 t（s）,那么 t 为何值时, PBQ 是直角三角形？（3）如图 3,如另一动点 Q 从点 C 动身,沿射线 BC 方向运动连接 PQ 交 AC

3、 于 D假如动点 P、Q 都以 1cm/s的速度同时动身设运动时间为 t（s）,那么 t 为何值时, DCQ 是等腰三角形？（4）如图 4,如另一动点 Q 从点 C 动身,沿射线 BC 方向运动连接 PQ 交 AC 于 D,连接 PC假如动点 P、Q都以 1cm/s 的速度同时动身请你猜想：在点 由P、Q 的运动过程中, PCD 和 QCD 的面积有什么关系？并说明理3将一个直角三角形纸片 OAB 放置在平面直角坐标系中（如图）,如斜边所在的直线为 y= 2x+4 点 B是 OA 上的动点,折叠直角三角形纸片 OAB ,使折叠后点 B 与点 B重合,折痕与边 OB 交于点 C,与边 AB 交于

4、点 D（1）如 B与点 O 重合,直接写出点 C、D 的坐标；（2）如 B与点 A 重合,求点 C、D 的坐标；（3）如 BD OB,求点 C、D 的坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4如图,在平面直角坐标系中,学习必备欢迎下载BC x 轴,且 BC=5 ,AB 交 y 轴于点 D,A（ 3,0）,点 C 在 y 轴的正半轴上,（1）求出 C 的坐标（2）过 A ,C, B 三点的抛物线与 x 轴交于点 E,连接 BE,如动点 M 从点 A 动身沿 x 轴正方向运动,同时动点 N从点 E 动身,在直线 EB 上

5、作匀速运动,运动速度为每秒 1 个单位长度,当运动时间 t 为多少时, MON 为直角三角形5（2022.衡阳）如图, AB 是 O 的直径,弦（1）求 O 的直径；BC=2cm , ABC=60 度（2）如 D 是 AB 延长线上一点,连接 CD,当 BD 长为多少时, CD 与 O 相切；（3）如动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点动身沿着 AB 方向运动,同时动点 F 以 1cm/s 的速度从 B 点动身沿 BC 方向运动,设运动时间为 t（s）（ 0t2）,连接 EF,当 t 为何值时, BEF 为直角三角形6如图,在平面直角坐标系 xOy 中, O 交 x 轴于 A、B 两点,

6、直线 FAx 轴于点 A,点 D 在 FA 上,且 DO 平行于 O 的弦 MB ,连 DM 并延长交 x 轴于点 C（1）判定直线 DC 与 O 的位置关系,并给出证明；（2）设点 D 的坐标为（2, 4）, 求 MC 的长； 如动点 P从点 A 动身向点 D 匀速运动,速度是每秒 1 个单位长；同时点 Q 从点 D 动身向点 C 匀速运动,速度是每秒 2 个单位长；其中一个点到达终点时运动即终止连接PQ 交 OD 于点 H,当 PDH 为直角三角形时,求点 P 的坐标名师归纳总结 第 2 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备

7、欢迎下载7已知点 M ,N 的坐标分别为 （0,1）,（0, 1）,点 P 是抛物线 y= 上的一个动点（1）求证：以点P 为圆心, PM 为半径的圆与直线y= 1 的相切；（2）设直线 PM 与抛物线的另一个交点为点Q,连接 NP,NQ ,求证： PNM= QNM ；（3）是否存在这样的点P,使得 PMN 为等腰直角三角形？如存在,恳求出P 点的坐标；如不存在,请说明理由名师归纳总结 第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载答案与评分标准一解答题（共 7 小题）1如下列图,矩形 ABCD 中, AB=6 ,BC=4

8、 ,点 F 在 DC 上, DF=2 动点 M 、 N 分别从点 D、B 同时动身,沿射线 DA 、线段 BA 向点 A 的方向运动（点M 可运动到 DA 的延长线上） ,当动点 N 运动到点 A 时, M 、N 两点同时停止运动连接FM、MN 、FN,过 FMN 三边的中点作 PQW设动点 M 、N 的速度都是1 个单位 /秒, M 、N运动的时间为x 秒试解答以下问题：（1）说明 FMN QWP；（2）设 0x4试问 x 为何值时, PQW 为直角三角形？MN2的（3）试用含的代数式表示MN2,并求当 x 为何值时, MN2最小？求此时值考点 ：相像三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股

9、定理的逆定理；三角形中位线定理；专题 ：运算题；证明题；分析：（1）由依据题意可知P、W、Q 分别是 FMN 三边的中点,可得PW 是 FMN 的中位线,然后即可证明 FMN QWP；（2）由（ 1）得, FMN QWP,当 QWP 为直角三角形时, FMN 为直角三角形,依据DM=BN=x ,AN=622 x,AM=4 x,利用勾股定理求得 FM =4+x时, 当 FN2=FM 2+MN 2 时, FM 2=MN2,MN 2 =（4 x）2 +（6 x）2,FN2+FN 2 时三种情形争论即可22 =（4 x）+16,然后分 当 MN2 =FM2 +FN（3）依据 当 0x4,即 M 从 D

10、 到 A 运动时, MN AN ,AN=6 x,故只有当x=4 时, MN 的值最小即可求得答案, 当 4x6 时, MN2=AM2+AN2=（x 4）2+（6 x）2,解得 x 即可解答： 解：（1）由题意可知P、W、Q 分别是 FMN 三边的中点,PW 是 FMN 的中位线,即PW MN ,=, FMN QWP；（2）由（ 1）得, FMN QWP,当 QWP 为直角三角形时, FMN 为直角三角形,反之亦然2+16,由题意可得DM=BN=x ,AN=6 x, AM=4 x,由勾股定理分别得 FM2=4+x 2,MN 2=（4 x）2+（6 x）2,FN2=（4 x） 当 MN 2 =FM

11、 2 +FN 2 时,（4 x）2 +（6 x）2 =4+x 2 +（4 x）2 +16,解得, 当 FN2 =FM2 +MN2 时,（4 x）2+16=4+x2+（4 x）2 +（6 x）2此方程无实数根,2 时, 4+x 2=（4 x）2+（6 x）2+（4 x）2+16, FM2=MN2+FN解得 x1=10（不合题意,舍去） ,x2=4,综上,当或 x=4 时, PQW 为直角三角形第 4 页,共 13 页（3） 当 0x4,即 M 从 D 到 A 运动时, MN AN ,AN=6 x,故只有当 x=4 时, MN 的值最小, MN2的值也最小,此时MN=2 ,MN2=4,（10 分）

12、2, 当 4x6 时, MN 2=AM2=2（x 5）+2,当 x=5 时, MN2取得最小值2+AN2=（x 4）2+（6 x）2,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 x=5 时, MN2 的值最小,此时MN2 =2学习必备欢迎下载点评： 此题涉及到相像三角形的判定与性质,二次函数的最值,勾股定理的逆定理,三角形中位线定理等学问点的懂得和把握,难度较大,综合性较强,利于同学系统地把握所学学问2已知, ABC 是边长 3cm 的等边三角形动点 P 以 1cm/s 的速度从点 A 动身,沿线段 AB 向点 B 运动（1）如图 1,设点 P

13、 的运动时间为 t（s）,那么 t=（s）时, PBC 是直角三角形；（2）如图 2,如另一动点 Q 从点 B 动身,沿线段 BC 向点 C 运动,假如动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时动身设运动时间为 t（s）,那么 t 为何值时, PBQ 是直角三角形？（3）如图 3,如另一动点 Q 从点 C 动身,沿射线 BC 方向运动连接 PQ 交 AC 于 D假如动点 P、Q 都以 1cm/s的速度同时动身设运动时间为 t（s）,那么 t 为何值时, DCQ 是等腰三角形？（4）如图 4,如另一动点 Q 从点 C 动身,沿射线 BC 方向运动连接 PQ 交 AC 于 D,连接 PC假如动点

14、P、Q都以 1cm/s 的速度同时动身请你猜想：在点 由P、Q 的运动过程中, PCD 和 QCD 的面积有什么关系？并说明理考点 ：勾股定理的应用；三角形的面积；等腰三角形的判定；专题 ：动点型；分析：（1）当 PBC 是直角三角形时,B=60 ,所以 BP=1.5cm ,即可算出t 的值；t 的大小；（2）由于 B=60,可选取 BPQ=90 或 BQP=90,然后依据勾股定理运算出BP 长,即可算出（3）由于 DCQ=120 ,当 DCQ 是等腰三角形时,出 t 的值；（4）面积相等可通过同底等高验证CD=CQ ,然后可证明 APD 是直角三角形,即可依据题意求解答： 解：（1）当 PB

15、C 是直角三角形时,B=60,BPC=90 ,所以 BP=1.5cm,所以 t=（2 分）（2）当 BPQ=90 时, BP=0.5BQ ,3 t=0.5t ,所以 t=2；当 BQP=90时, BP=2BQ ,3 t=2t ,所以 t=1；所以 t=1 或 2（s）（4 分）（3）由于 DCQ=120 ,当 DCQ 是等腰三角形时,CD=CQ ,所以 PDA= CDQ= CQD=30 ,又由于 A=60 ,所以 AD=2AP , 2t+t=3 ,解得 t=1（s）；（2 分）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习

16、必备 欢迎下载（4）相等,如下列图：作 PE 垂直 AD ,QF 垂直 AD 延长线,由于 AP=CQ ,F=AEP, QCF=APE ,所以 EAP FCQ,所以 PE=QF,所以, PCD 和 QCD 同底等高,所以面积相等点评： 此题主要考查对于勾股定理的应用和等腰三角形的判定,仍要留意三角形面积的求法3将一个直角三角形纸片 OAB 放置在平面直角坐标系中（如图）,如斜边所在的直线为 y= 2x+4 点 B是 OA 上的动点,折叠直角三角形纸片 OAB ,使折叠后点 B 与点 B重合,折痕与边 OB 交于点 C,与边 AB 交于点 D（1）如 B与点 O 重合,直接写出点 C、D 的坐标

17、；（2）如 B与点 A 重合,求点 C、D 的坐标；（3）如 BD OB,求点 C、D 的坐标考点 ：一次函数综合题；分析：（1）B与点 O 重合,就 CD 是 AOB 的中位线,依据中点定义进行解答写出；（2）B与点 A 重合,就 CD 是 AB 的垂直平分线,点D 坐标可以依据（ 1）求解,再依据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可得 BC=AC ,然后设点 C 坐标为（ 0,m）,分别用 m 表示出 OC、AC 的长度,再利用勾股定理列式求解即可求出 m 的值,从而点 C 的坐标便可求出；（3）如 BD OB,依据两直线平行,内错角相等以及折叠前后两个图形能够完全重合的性质可以

18、得到OCB= CBD ,再依据同位角相等两直线平行得到CB BA ,从而证明 COB BOA ,依据相像三角形对应边成比例,设OB=x 0,然后表示出OC,在 Rt BOC 中,利用勾股定理列式运算即可求出x0 的值,再求出OC 得到点 C 的坐标,利用直线AB 的解析式求出点D 的坐标解答： 解：（1）C（0,2）,D（1,2）；（2）由 y= 2x+4 求得 B（0,4）,A（0,2）如图 ,折叠后点 B 与点 A 重合,就 ACD BCD ,BD=DA 由（ 1）得 D 的坐标为（ 1,2）设点 C 的坐标为（ 0,m）（m0）就 BC=OB OC=4 m于是 AC=BC=4 mAC2

19、=OC2 +OA2,第 6 页,共 13 页在 Rt AOC 中,由勾股定理,得即（ 4 m）2=m2+22,解得点 C 的坐标为, D 的坐标为（ 1,2）（3）如图 ,折叠后点B 落在 OA 边上的点为B,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载且 BD OB就 BCD BCD , OCB= CBD 又 CBD= CBD , OCB= CBD ,有 CB BA Rt COBRt BOA 有,得 OC=2OB 在 Rt BOC 中,设 OB=x 0（x0）,就 OC=2x 0就 BC=BC=OB OC=4 2x0,BC2=O

20、C2+OB2在 Rt BOC 中,由勾股定理,得（ 4 2x0）2=（2x 0）2+x0 2,2得 x 0+16x 0 16=0,解得x00,点 C 的坐标为BD OB 就可得点 D 的横坐标为设点 D 的纵坐标为 n点 D 在直线 y= 2x+4 上,点 D 的坐标为点评： 此题综合考查了一次函数的学问,翻折对称的性质,勾股定理的应用,相像三角形的判定与相像三角形对应边成比例的性质,综合性较强,并且运算量较大,期望通过学们在解答是要认真分析,当心运算,以防止出错4如图,在平面直角坐标系中,A（ 3,0）,点 C 在 y 轴的正半轴上,BC x 轴,且 BC=5 ,AB 交 y 轴于点 D,（

21、1）求出 C 的坐标（2）过 A ,C, B 三点的抛物线与 x 轴交于点 E,连接 BE,如动点 M 从点 A 动身沿 x 轴正方向运动,同时动点 N从点 E 动身,在直线 EB 上作匀速运动,运动速度为每秒 1 个单位长度,当运动时间 t 为多少时, MON 为直角三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载考点 ：二次函数综合题；专题 ：数形结合；分类争论；分析：（1）依据题意第一判定出 BCD AOD ,依据相像比求出 CD 的长,进而确定 C 点的坐标（2）第一作 BF x 轴于点 F,就

22、BF=4 依据抛物线的对称性及 A 、C、O 点的坐标和勾股定理得到 BE、OE、AE的值再分两类情形进行争论： 点 N 在射线 EB 上：如 NMO=90 ,如 NOM=90 , ONM=90 ； 点 N 在射线 EB 的方向延长线上：如NMO=90 ,如 NOM=90 , ONM=90 最终得到结论解答： 解：（1） BC x 轴, BCD AOD ,CD=,CO=C 点的坐标为（ 0,4）（2）如图 1,作 BF x 轴于点 F,就 BF=4 ,由抛物线的对称性知 EF=3,BE=5,OE=8,AE=11 ,依据点 N 运动方向,分以下两种情形争论： 点 N 在射线 EB 上,如 NMO

23、=90 ,如图 1,就 cosBEF=,解得 t=如 NOM=90 ,如图 2,就点 N 和 G 重合,cosBEF=,第 8 页,共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,解得 t=,学习必备欢迎下载ONM=90 的情形不存在 点 N 在射线 EB 的方向延长线上,如 NMO=90 ,如图 3,就 cosNEM=cos BEF,解得 t=,而 NOM=90 和 ONM=90 的情形不存在综上,当 t=、t=或 t=时, MON 为直角三角形点评： 此题考查了抛物线解析式的图象性质、勾股定理等重要学问点,其中（想,难点在于考虑问题要

24、全面,做到不重不漏5（2022.衡阳）如图, AB 是 O 的直径,弦 BC=2cm , ABC=60 度（1）求 O 的直径；2）小题中用到了分类争论的数学思（2）如 D 是 AB 延长线上一点,连接 CD,当 BD 长为多少时, CD 与 O 相切；（3）如动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点动身沿着 AB 方向运动,同时动点 F 以 1cm/s 的速度从 B 点动身沿 BC 方向运动,设运动时间为 t（s）（ 0t2）,连接 EF,当 t 为何值时, BEF 为直角三角形名师归纳总结 第 9 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

25、 学习必备 欢迎下载考点 ：切线的性质；含 30 度角的直角三角形；圆周角定理；相像三角形的判定与性质；专题 ：代数几何综合题；分析：（1）依据已知条件知：BAC=30 ,已知 AB 的长,依据直角三角形中,30锐角所对的直角边等于斜边的一半可得 AB 的长,即 O 的直径；（2）依据切线的性质知：OCCD ,依据 OC 的长和 COD 的度数可将 OD 的长求出,进而可将 BD 的长求出；（3）应分两种情形进行争论,当 EFBC 时, BEF 为直角三角形,依据 BEF BAC ,可将时间 t 求出；当 EFBA 时, BEF 为直角三角形,依据 BEF BCA ,可将时间 t 求出解答：

26、解：（1） AB 是 O 的直径, ACB=90 ； ABC=60 , BAC=180 ACB ABC=30 ；AB=2BC=4cm ,即 O 的直径为 4cm（2）如图（ 1）CD 切 O 于点 C,连接 OC,就 OC=OB=AB=2cm CDCO； OCD=90 ； BAC=30 , COD=2 BAC=60 ； D=180 COD OCD=30 ；OD=2OC=4cm ；BD=OD OB=4 2=2（cm）；当 BD 长为 2cm, CD 与 O 相切（3）依据题意得：BE= （4 2t）cm,BF=tcm ；如图（ 2）当 EFBC 时, BEF 为直角三角形,此时 BEF BAC

27、；BE：BA=BF ：BC；即：（4 2t）： 4=t：2；解得： t=1；如图（ 3）当 EFBA 时, BEF 为直角三角形,此时 BEF BCA ；BE：BC=BF ：BA ；即：（4 2t）： 2=t：4；解得： t=1.6；当 t=1s 或 t=1.6s 时, BEF 为直角三角形点评： 此题考查圆周角定理、切线的性质、相像三角形的性质、直角三角形的性质等学问的综合应用才能在求时间 t 时应分情形进行争论,防止漏解6如图,在平面直角坐标系xOy 中, O 交 x 轴于 A、B 两点,直线FAx 轴于点 A,点 D 在 FA 上,且 DO 平行于 O 的弦 MB ,连 DM 并延长交

28、x 轴于点 C（1）判定直线 DC 与 O 的位置关系,并给出证明；（2）设点 D 的坐标为（2, 4）, 求 MC 的长； 如动点 P从点 A 动身向点 D 匀速运动,速度是每秒 1 个单位长；同时点 Q 从点 D 动身向点 C 匀速运动,速度是每秒 2 个单位长；其中一个点到达终点时运动即终止连接PQ 交 OD 于点 H,当 PDH 为直角三角形时,求点 P 的坐标名师归纳总结 第 10 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载考点 ：切线的判定；全等三角形的判定与性质；切割线定理；相像三角形的判定与性质；专题 ：动点型

29、；探究型；分析：（1）连 OM,依据全等三角形的判定方法得到 DAO DMO ,依据全等三角形的性质可得到 OM DC,依据切线的判定定理就可以判定 DC 切 O 于 M ； OMC DAC ,依据相像比即可求得 MC 的长；（2） 依据已知条件简单证明 分两种情形：当PHD=90 时；当 DPH=90 时；解答： 证明：（1）连 OM ,DO MB , 1=2, 3=4OB=OM , 1=3 2=4在 DAO 与 DMO 中, DAO DMO OMD= OAD FAx 轴于点 A, OAD=90 OMD=90 即 OM DCDC 切 O 于 M （4 分）解：（2） D（ 2,4）,OA=2

30、 （即 O 的半径）,AD=4 由（ 1）知 DM=AD=4 , OMC DAC ,=AC=2MC 在 Rt ACD 中, CD=MC+4 ,2 2 2（ 2MC ）+4 =（MC+4 ）MC= 或 MC=0 （不合,舍去） ,MC 的长为（ 8 分）（3）由（ 2）知 CD=当 PHD=90 时,由切线长性质定理知PO 平分 PDQ ,第 11 页,共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载PD=QD 4 t=2t ,（符合题意）P（2,）（10 分）当 DPH=90 时, PQ AC , DPQ DAC 即,（符

31、合题意） P（2,）（12 分）点评： 此题把全等三角形,相像三角形, 平行线等学问和圆结合起来,综合性比较强, 要求同学有较高的分析问题、解决问题的才能7已知点 M ,N 的坐标分别为 （0,1）,（0, 1）,点 P 是抛物线 y= 上的一个动点（1）求证：以点P 为圆心, PM 为半径的圆与直线y= 1 的相切；（2）设直线 PM 与抛物线的另一个交点为点Q,连接 NP,NQ ,求证： PNM= QNM ；（3）是否存在这样的点P,使得 PMN 为等腰直角三角形？如存在,恳求出P 点的坐标；如不存在,请说明理由考点 ：二次函数综合题；专题 ：代数几何综合题；分析：（1）设出点 P 的坐标

32、,分别表示出PM 、P 到直线 y= 1 的距离,然后判定它们是否相等即可；（2）分别过 P、Q 作直线 y= 1 的垂线,设垂足为 H、R,那么 PH MN QR,依据平行线分线段成比例定理,可得： PM：HN=QM ：RN ,而 PM=PH ,QM=QR ,等量代换后即可证得 进而可证得所求的结论； PNH QNR ,由此可得 QNR= PNH ,（3）明显 PNM 、 NPM 都不行能是直角,当PMN=90 时,如 PMN 是等腰直角三角形,那么PM=MN=2 ,PH=NH ,可第 12 页,共 13 页由此可求出点P 的坐标（另一种解法：如 PNM 是等腰 Rt ,那么 PNM= PN

33、H=45 ,由此可得列方程求出点P 的坐标）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解答： 解：（1）设点 P 的坐标为（ x0,x0 2）,就PM=；（2 分）又由于点 P 到直线 y= 1 的距离为,所以,以点 P 为圆心, PM 为半径的圆与直线 y= 1 相切；（ 2 分）（2）如图,分别过点 P,Q 作直线 y= 1 的垂线,垂足分别为 H,R；由（ 1）知, PH=PM ,同理可得, QM=QR （2 分）由于 PH, MN , QR 都垂直于直线 y= 1,所以 PH MN QR,（1 分）于是,所以,因此, Rt PHN Rt QRN ,（2 分）于是 HNP= RNQ,从而 PNM= QNM ；（ 1 分）（3）明显, MNP 90, NPM 90,所以,只能 PMN=90 ,（2 分）要使 PMN 为等腰直角三角形,就有：PMMN 且 PM=MN ,（ 1 分）所以, P（2,1）（1 分）点评： 此题是二次函数的综合题,考查了切线的判定、平行线分线段成比例定理、相像三角形的判定和性质、等腰 直角三角形的判定等学问,难度适中名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页