2022年中国大学生数学竞赛竞赛大纲-数学专业类.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果中国高校生数学竞赛竞赛大纲（数学专业类）为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高高校数学课程的教学水平,鼓励高校生学习数学的爱好, 发觉和选拔数学创新人才,更好地实现 “ 中国高校生数学竞赛”的目标,特制订本大纲；1. 竞赛的性质和参赛对象“ 中国高校生数学竞赛”的目的是： 鼓励高校生学习数学的爱好,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高高校数学课程的教学水平,发觉和选拔数学创新人才；“ 中国高校生数学竞赛” 的参赛对象为高校本科二年级及二年级以上的在校高校生；1. 竞赛的内容“ 中国高校生数学竞赛” 分为数

2、学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题；（一）中国高校生数学竞赛 （数学专业类） 竞赛内容为高校本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50% ,高等代数占35% ,解析几何占15% ,详细内容如下：、数学分析部分1. 集合与函数2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限掩盖定理 . 3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限掩盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在上的推广 . 4. 3.函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性名师归

3、纳总结 定理,初等函数以及与之相关的性质. 第 1 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果5. 极限与连续6. 1.数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯独性、有界性、保号性、不等式性质）. 7. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准就、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系）,极限及其应用 . 8. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯独性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性）,归结原就和Cauchy收敛准就,两个重要极限及其应用,运算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O

4、 与 o 的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系 . 9. 4. 函数连续与间断、一样连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性）,有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一样连续性）. 10. 一元函数微分学11. 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种运算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性 . 12. 2.微分学基本定理： Fermat 定理,Rolle 定理,Lagrange 定理,Cauchy 定理,Taylor 公式 Peano 余项与 Lagrange 余项 . 13. 3.

5、一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的争论、洛必达（LHospital）法就、近似运算. 14. 多元函数微分学15. 1. 偏导数、全微分及其几何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数与全微分, 一阶微分形式不变性,方向导数与梯度,关性,二元函数中值定理与Taylor公式 . 高阶偏导数, 混合偏导数与次序无名师归纳总结 16. 2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数 （组） 求导方法、 反函数组与坐标变换. 第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

6、 - - 多练出技巧 巧思出硕果17. 3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线） . 18. 4.极值问题（必要条件与充分条件）,条件极值与Lagrange乘数法 . 19. 一元函数积分学20. 1. 原函数与不定积分、 不定积分的基本运算方法 有理函数积分：型,型 . （直接积分法、 换元法、分部积分法） 、21. 2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类 . 22. 3. 定积分的性质 （关于区间可加性、 不等式性质、 肯定可积性、 定积分第一中值定理） 、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L 公式及定积分运算、定积

7、分其次中值定理 . 23. 4.无限区间上的广义积分、Canchy 收敛准就、肯定收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原就、柯西判别法）、Abel 判别法、 Dirichlet 判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法 . 24. 5. 微元法、 几何应用 （平面图形面积、 已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积）,其他应用 . 25. 多元函数积分学26. 1.二重积分及其几何意义、二重积分的运算 （化为累次积分、极坐标变换、 一般坐标变换） . 27. 2.三重积分、三重积分运算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）. .含参量广义积28. 3.重积分的应用（体积、曲

8、面面积、重心、转动惯量等）. 29. 4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性,运算次序的可交换性分的一样收敛性及其判别法,含参量广义积分的连续性、换性 . 可微性、 可积性,运算次序的可交名师归纳总结 30. 5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、运算. 第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧巧思出硕果. 31. 6.其次型曲线积分概念、性质、运算；Green 公式,平面曲线积分与路径无关的条件32. 7.曲面的侧、其次型曲面积分的概念、性质、运算,奥高公式、分、两类面积分之间的关系 . 33. 无穷级数 34

9、. 1. 数项级数Stoke 公式,两类线积级数及其敛散性,级数的和,Cauchy 准就,收敛的必要条件,收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件,比较原就、 比式判别法、 根式判别法以及它们的极限形式；交叉级数的 Leibniz 判别法；一般项级数的肯定收敛、条件收敛性、Abel 判别法、 Dirichlet 判别法. 1. 函数项级数函数列与函数项级数的一样收敛性、Cauchy 准就、一样收敛性判别法（M- 判别法、 Abel判别法、 Dirichlet 判别法）、一样收敛函数列、函数项级数的性质及其应用 . 1. 幂级数幂级数概念、 Abel 定理、收敛半径与区间,幂级数的一样收敛性

10、,幂级数的逐项可积性、可微性及其应用,幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数绽开、. Taylor级数、Maclaurin级数 . Beseel 不等式、1. Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2 及 2 周期函数的Fourier级数绽开、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理、高等代数部分1. 多项式2. 1. 数域与一元多项式的概念名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果3. 2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法4. 3

11、. 互素、不行约多项式、重因式与重根. Eisenstein判别法、 有理数5. 4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质. 6. 5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解. 7. 6. 本原多项式、 Gauss 引理、 有理系数多项式的因式分解、域上多项式的有理根. 8. 7. 多元多项式及对称多项式、韦达Vieta 定理 . 9. 行列式10. 1. n 级行列式的定义 . 11. 2. n 级行列式的性质 . 12. 3. 行列式的运算 . 13. 4. 行列式按一行（列）绽开 . 14. 5.拉普拉斯 Laplace 绽开定理 . 15. 6. 克拉默 Cramer 法就

12、. 16. 线性方程组17. 1.高斯 Gauss 消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解 . 18. 2. n 维向量的运算与向量组 . 19. 3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价 . 20. 4. 向量组的极大无关组、向量组的秩 . 21. 5.矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系 . 22. 6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构 . 23. 7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果24. 矩阵25.

13、 1. 矩阵的概念、矩阵的运算加法、数乘、乘法、转置等运算. 及其运算律 . 26. 2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系27. 3. 矩阵的逆、相伴矩阵、矩阵可逆的条件. 28. 4. 分块矩阵及其运算与性质. 29. 5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形. 30. 6. 分块初等矩阵、分块初等变换. 31. 双线性函数与二次型32. 1. 双线性函数、对偶空间33. 2. 二次型及其矩阵表示 . 34. 3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法 . 35. 4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯独性、惯性定理 . 36. 5.正定、半正

14、定、负定二次型及正定、半正定矩阵37. 线性空间38. 1.线性空间的定义与简洁性质 . 39. 2. 维数,基与坐标 . 40. 3. 基变换与坐标变换 . 41. 4. 线性子空间 . 42. 5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和 . 43. 线性变换名师归纳总结 44. 1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵. 第 6 页,共 8 页45. 2. 特点值与特点向量、可对角化的线性变换. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果46. 3.相像矩阵、相像不变量、哈密尔顿- 凯莱定理 . 47. 4. 线性变换的

15、值域与核、不变子空间 . 48. 如当标准形49. 1.矩阵 . 50. 2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相像的条件 . 51. 3. 如当标准形 . 52. 欧氏空间53. 1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵 . 54. 2. 标准正交基、正交矩阵、施密特 Schmidt 正交化方法 . 55. 3. 欧氏空间的同构 . 56. 4. 正交变换、子空间的正交补 . 57. 5. 对称变换、实对称矩阵的标准形 . 58. 6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形 . 59. 7. 酉空间 . 、解析几何部分1. 向量与坐标2. 1. 向量的定义、表示

16、、向量的线性运算、向量的分解、几何运算 . 3. 2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算 . 4. 3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角 . 5. 4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、运算方法及应用 . 6. 5. 应用向量求解一些几何、三角问题 . 7. 轨迹与方程名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧巧思出硕果及其关系 . 8. 1.曲面方程的定义：一般方程、参数方程向量式与坐标式之间的互化9. 2.空间曲线方程的一般形式和参数方程形式及其关系 . 10

17、. 3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简洁曲面、曲线的方程 . 11. 4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程 . 12. 平面与空间直线13. 1.平面方程、直线方程的各种形式,方程中各有关字母的意义 . 14. 2.从打算平面和直线的几何条件动身,选用适当方法建立平面、直线方程 . 15. 3.依据平面和直线的方程,判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系 . 16. 4. 依据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、运算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程 . 17. 二次曲面18. 1.柱面、锥面、旋转曲面

18、的定义,求柱面、锥面、旋转曲面的方程 . 19. 2.椭球面、 双曲面与抛物面的标准方程和主要性质,方程 . 依据不同条件建立二次曲面的标准20. 3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法. . 21. 4.依据给定直线族求出它表示的直纹面方程,求动直线和动曲线的轨迹问题22. 二次曲线的一般理论名师归纳总结 23. 1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线. . . 第 8 页,共 8 页24. 2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇特点25. 3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径. . 26. 4.二次曲线的主轴、主方向,特点方程、特点根27. 5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图- - - - - - -