2022年线性规划与基本不等式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x2y 10 上方 不含边界 1在已知五个点A1,1,B1,1,C1,1,D1, 1,O0,0中,位于直线的点的个数是 _2如正数 a, b 满意 abab3,就 ab 的取值范畴是 _3已知 x,yR,且满意 x 3y 41,就 xy 的最大值为 _4已知 x3y 20,就 3 x27 y1 的最小值为 _24x 55已知 x2,就 fxx 2x 4 的最小值为 _6yx1xx 0的值域为 _7函数 3x 2x 21的最小值是 _68已知 x1,y1,且 lg xlg y4,那么 lgxlgy 的最大值是 _9如对任意x0,x

2、x 23x1a 恒成立,就a 的取值范畴是 _10设 a0,b0,且 aba b10,就 ab 的取值范畴为 _11. 已知两个正变量 x, y 满意 x y 4,就使不等式 1 4 m 恒成立的实数 m 的取值范畴是 . x y12设 a0, b0,如 3是 3 a 和 3 b 的等比中项,就 a1 b的最小值为 _13已知 2 x3 y2x0,y0,就 x y 的最小值是 _14已知 0 x,就函数 ysinx 2 sinx的最小值为_15如点 1,3和4, 2在直线 2xym0 的两侧,就 x 0m 的取值范畴是 _16不等式组x 3y4所表示的平面区域的面积等于_3xy4xy4,17已

3、知点 Px,y的坐标满意条件yx,点 O 为坐标原点,那么|PO|的最小值等于 _,最大值等x1 于_1|x|2,18假如 x、y 满意不等式组y3,那么目标函数zx y 的最小值是 _xy5,19设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,an 与 Sn 满意 an+Sn =2（n N* ）；求数列 an 的通项公式；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2xy10,20画出不等式组x2y10,表示的平面区域xy 121已知 a,b 为正实数,且 ab 1,求1 a2 b的最小值22. 在数列an中 ,

4、已知a n,1a 1,1且an1anan12n1,nN. 记b n an12,nN. 求a2证：数列 b n 是等差数列；23为了爱护环境,造福人类,某县环保部门拟建一座底面积为 200 m 2 的长方体二级净水处理池 如下图 ,池深度肯定,池的外壁建造单价为每平方米 400 元,中间一条隔墙建造单价为每平方米 100 元,池底建造单价为每平方米 60 元1一般情形下,净水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低？2如受地势限制,净水处理池的长、宽都不能超过 价最低？241求函数 yx1 2xx3的最小值； 3求函数 yxa2xx0, a 为大于 2x 的常数 的最大值25在 ABC 中, 角

5、 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c , 向量 m 2 sin B , 2 cos B , n3cosB ,cosB , 且mn1.1 求角 B ;2 如a, b ,c成等差数列 , 且b, 2, 求ABC 的面积 . 26在ABC 中,a b c 分别是角A B C 的对边 , 且sinAcosCcosAsinC32如b7,ABC 的面积SABC33, 求 ac 的值 . 第 2 页,共 8 页4名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x2y 10 上方 不含边界 1在已知五个点A1,1,B1,1,C1,

6、1,D1, 1,O0,0中,位于直线的点的个数是 _解析： 位于直线x2y10 上方的点坐标满意不等式x2y10,将上述五个点的坐标分别代入式子x2y1 中知,点 B 坐标满意不等式x2y10. 答案： 1 2如正数 a, b 满意 abab3,就 ab 的取值范畴是 _解析： a0,b0,ab32 ab3,ab2 ab 3, ab3 ab 1 0. ab3, ab9. 答案： 9, 3已知 x,yR,且满意 x 3y 41,就 xy 的最大值为 _解析： x0,y0 且 1x 3y 42 12, xy3. xy当且仅当x 3 y 4即 x3 2,y2 时取等号答案： 3 4已知 x3y 20

7、,就 3 x27 y1 的最小值为 _解析： x3y20, x3y2,3 x27y13x33y1 1. 2 3 x3 3y12 3 x3y1 2 3217,当且仅当 x1,y1 3时等号成立答案： 7 5已知 x2,就 fxx24x 5 的最小值为 _2x 4解析： fxx 24x52x4x2212 x21 2x2 1 x21 22 x2 1 1,x 2当且仅当 x2x 2 1 且 x5 2,即 x3 时取得最小值答案： 1 6yx1 xx 0的值域为 _yx1 x2x1 x2,当且仅当x1 时,等号成立解析： 当 x0 时,由基本不等式,得当 x0, x12,x当且仅当 x1x,即 x 1

8、时,等号成立名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载y x12. x综上,函数 yx1 x的值域为 , 22, 答案： , 22, 7函数 3x 2x 21的最小值是 _6解析： 3x 26 3x 2 1636 23.当且仅当 3x 216时取 “ ” x 21 x 21 x 21答案： 6 23 8已知 x1,y1,且 lg xlg y4,那么 lgxlgy 的最大值是 _9如对任意 x0,x 23x1a 恒成立,就 x a 的取值范畴是 _解析： ax 23x1 xx1 1x3 对任意 x0 恒成立,

9、设 ux1 x 3,只需 a1 u恒成立刻可 x0,u5当且仅当 x1 时取等号 由 u5 知 01 u 1 5,a1 5. 1答案：5,10设 a0,b0,且 aba b10,就 ab 的取值范畴为 _解析： ab ab10,aba b1ab2 2. 2令 ab t,就 t1t 4,即 t 24t40,解得 t 22 2,或 t22 2,又 t ab0,故 t2 21答案： 2 22, 11. 已 知 两 个 正 变 量 x, y 满 足 x y 4, 就 使 不 等 式 1 4 m 恒 成 立 的 实 数 m 的 取 值 范 围 是x ym 9 . 412设 a0, b0,如 3是 3 a

10、 和 3 b 的等比中项,就 a1 b的最小值为 _解析： 由于 3 a3 b3,所以 ab1,a1 bab1 a1 b2aa b 22 bab4,当且仅当 b aa b即 a b1 2时“ ” 成立答案： 4 13已知 x3 y2x0,y0,就 xy 的最小值是 _解析： 22 x3 y2 xy,6xy1, 6 xy1,xy6,当且仅当2 x3 y即 x2,y3 时取等号答案： 6 14已知 0x,就函数ysinx2 sinx的最小值为 _0,1上是减函数所第 4 页,共 8 页解析： 令 tsinx,就 t0,1,函数 yt2 t,用函数的单调性定义不难证明此函数在名师归纳总结 - - -

11、 - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 以当 t1 时, yt2 t有最小值3. 学习必备欢迎下载答案： 3 15如点 1,3和4, 2在直线 2xym0 的两侧,就 答案： 5m10 x 0m 的取值范畴是 _16不等式组x 3y4所表示的平面区域的面积等于_3xy4解析：不等式组所表示的平面区域是一个三角形,三个顶点的坐标分别是积 S1 2 44 3 1答案：434 3. xy4,0,4 3,0,4,1,1,所以三角形的面17已知点 Px,y的坐标满意条件yx,点 O 为坐标原点,那么 |PO |的 最 小x1 值等于 _,最大值等于 _解析：如下列图,线性区域为

12、图中阴影部分,2|PO |指线性区域内的点到 原 点 的 距离, 最短为1 2 1 22,最长为12310. 答案：210 1 |x|2,18假如 x、y 满意不等式组y 3,那么目标函数zxy 的最小值是x y5,_答案： 9 19设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,an 与 Sn 满意 an+Sn =2（n N* ）；（）求数列 an 的通项公式；解：（1）令 n1,有 2 a1 2 得 a11,由 an+1+Sn +12,an+Sn2,得： 2an+1- an0（nN *）,a n11 2, an是以 1 为首项,1 2为公比的等比数列,an11；an2n2xy10,20画出不等式组

13、x2y10,表示的平面区域xy 1 解：作出不等式组表示的平面区域,如下列图21已知 a,b 为正实数,且 ab 1,求1 a2 b的最小值名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解：1 a2 baba2a2bb1b a2a b 2 3 2 2baab 32 2. 当且仅当b a2a b,即 a21,b22时取 “ ” 故1 a2 b的最小值是 32 2. 222. 在数列 a n 中, 已知 a n ,1 a 1 ,1 且 a n 1 a n , n N . a n 1 a n 1（1）记 b n a

14、n 1 2, n N . 求证：数列 b n 是等差数列；2解：（1）a n 1 a n 2 , n N , a n 1 2a n 2a n 1 a n 2 .a n 1 a n 1即 a n 1 1 2 a n 1 22 .2 2又 b n a n 1 2 , b n 1 b n 2 n N 2故数列 b n 是以 2 为公差的等差数列 . 23为了爱护环境,造福人类,某县环保部门拟建一座底面积为 200 m 2 的长方体二级净水处理池 如下图 ,池深度肯定,池的外壁建造单价为每平方米 400 元,中间一条隔墙建造单价为每平方米 100 元,池底建造单价为每平方米 60 元1一般情形下,净水

15、处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低？2如受地势限制,净水处理池的长、宽都不能超过 价最低？14.5 m,那么此时净水池的设计为多少米时,可使总造解： 1设净水池长为x m,高为 h m,就宽为200 xm,就总造价fx4002x2200 200x h 100xh故60 200800hx225 x 12000800h2 x225 x12000. 当且仅当 x225 x x0,即 x15 时上述不等式取到“ ” ,故当净水池的长设计为15 m 时总造价最低2由条件可得0x14.5,即 x400 29,29 2 . 0200 x 14.5,考察函数 tx225 x在区间400 29,29 2上

16、的单调性, 可得出 tx225 x在区间400 29,29 2上是单调递减函数,当 x 14.5 时, fx有最小值,即当净水池的长为1241求函数 yx2xx3的最小值；14.5 m 时,总造价最低3求函数 yxa2xx0,a 为大于 2x 的常数 的最大值解： 1 x3,x3 0,y1 xx3x3ymin5. 3x0,a2x, a2x 0,y xa2x 1 2 2xa2x1 2 2x a2x2 22a 8,当且仅当 2xa2x 即 xa 4时,取等号2ymaxa 8 . ,sin2B61, 第 7 页,共 8 页25在ABC 中, 角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b ,

17、c , 向量m2sinB ,2cosB ,n3cosB ,cosB , 且mn1.1 求角 B ; 2 如 a , b , c 成等差数列 , 且b2, 求ABC的面积 . 解:1mn1,2sinB3cosB2cos2 B1,3sin2Bcos2B2又0B,62B611,2B62,B3ac62b2,2 bac,ac4. 又b2a2c22accosB,4a2c22 accos3, 即4a2c2将ac4代入得a24 a40, 得a2, 从而c2, 三角形为等边三角形S1acsinB3226在ABC 中,a b c 分别是角A B C 的对边 , 且sinAcosCcosAsinC3, 如b7,ABC 的面积SABC33, 42求 ac的值 . 解: 由条件可知sinAC3, 即sinB3, 22SABC1acsinB33.ac3.24名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 由余弦定理b2ca2c22accosB, 得学习必备c 欢迎下载2accosB,第 8 页,共 8 页b2a22ac于是 ,7a22 311 2.ac4- - - - - - -