2022年线性代数知识点集锦.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 课时学习必备欢迎下载计划授课课次序号： 8 一、课 题：矩阵的初等变换与初等矩阵 二、课 型：课堂讲授 三、目的要求：娴熟把握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；知道矩阵等价 的概念；知道初等矩阵,明白初等矩阵与初等变换的联系；把握用初等变换求可逆矩阵 的逆矩阵的方法；四、重点、难点：矩阵初等变换的方法；用初等变换求逆矩阵的方法；五、教学方法及手段：采纳课堂讲授的方法,并以多媒体课件帮助；六、参考资料：线性代数学习辅导与习题选解,同济高校应用数学系编,高等训练出版社线性代数学习与考试指导,赵树源编,中国人民高校出版社工程数学例题与习题,工

2、程数学课程教学指导委员会本科组编,高等训练出版社 七、作业： P79113,4 八、授课记录：授课日期 班 次九、授课成效分析：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载十、教学进程（教学内容、教学环节准时间安排等）1、复习回忆高中阶段用消元法解线性方程组所用到的几种运算；2、导入课题矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算,它在解线性方程组, 求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到重要的作用；为引进矩阵的初等变换,先来回忆一下以前所接触 的用消元法解线性方程组；在用消元法解线性方程组的时候,用到三种变换,即：

3、交换方程的次序；以不等于零的数乘某个方程；一个方程加上另一个方程的 变换前后的方程组是同解的；k 倍；由于这三种变换都是可逆的,所以在上述变换过程中, 实际上只对方程组的系数和常数进行运算,未知数并没有参加运算；因此把线性方程组的系数和常数放在一个数表里,构成方程组的增广矩阵,即BA ,b ,那么上述对方程组的变换完全可以转化为对增广矩阵的变换；把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上,就得到矩阵的三种初等变换； 3 、教学内容定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）对调两行（对调 ,i j 两行,记作 r i r ）（2）以数 k 0 乘某一行中的全部元素（第 i 行乘 k ,记作

4、ir k ）（3）把某一行中全部元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去（第 j 行的倍加到第 i 行上,记作 r i kr ）把定义中的行换成列, 即得矩阵初等列变换的定义；等变换；初等行变换与初等列变换统称初明显,三种初等变换都是可逆的,而且其逆变换是同一类型的初等变换；B ；假如矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵B ,就称矩阵 A和 B 是等价的, 记作 A矩阵之间的等价关系具有以下性质：名师归纳总结 （1）反身性AA ；第 2 页,共 5 页（2）对称性如AB 就 BA ；（3）传递性如AB BC 就 AC ；定义：矩阵 A 称为行阶梯形矩阵,其特点是：可画出一条阶梯线,线的下方全为0

5、；每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元；行阶梯形矩阵B 称为行最简形矩阵,其特点是：非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为0；对行最简形矩阵再进行初等列变换,可变成一种外形更简洁的矩阵,称为标准型FErOm n；OO021例 1：设A302 ,把 A E 化成行最简形；230- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 02110学习必备欢迎下载0解：A E30201002300013020103020102110002110009402300194630018912100

6、634020846010423001946001946上式最终一个矩阵即为矩阵A,E 的行最简形；矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算,绍一些有关学问；它有着广泛的应用； 下面我们进一步介定义 2 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵；三种初等变换对应着三种初等矩阵； 1. 对调两行或对调两列 把单位矩阵中第 ,i j 两行（列）对调,得初等矩阵 11 0 1 1 E i j , 1 1 0 11名师归纳总结 用 m 阶初等矩阵Em , i j 左乘矩阵Aaijm n,得第 3 页,共 5 页a 11a 12a 1naj1aj2ajnEm , i j Aa i1a i2a

7、ina m1am2a mn其结果相当于对矩阵A 施行第一种初等行变换：把A 的第 i 行与第 j 行对调；类似的,以 n 阶初等矩阵E n , i j 右乘矩阵 A ,其结果相当于对矩阵A 施行第一种初等列变换； 2.以数k0乘某行或某列- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 以数k0学习必备欢迎下载乘单位阵的第 i 行（或第列）1 1E i k k第 i 行1 1可以验知： 以Em 左乘矩阵 A ,其结果相当于以数 k 乘 A 的第 i 行；以En 右乘矩阵 A ,其结果相当于以数k 乘 A 的第 j 列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去以

8、 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上,得初等矩阵 1E ij k 1k1 1 可以验知：以 E m 左乘矩阵 A ,其结果相当于把 A 的第 j 行乘 k 加到第 i 行上,以 E n 右乘矩阵 A ,其结果相当于把 A 的第 i 列乘加到第 j 列上；综上所述,可得下述定理；A 的左边乘以 定理 1 设 A 是一个 m n 矩阵,对 A 施行一次初等行变换,相当于在 相应的 m 阶初等矩阵；对 A施行一次初等列变换,相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初 等矩阵；由于初等变换是可逆的,所以其对应的初等矩阵也是可逆的,并且E i j , 1

9、E i j , ,E i k 1E i , kP P 2,P ,使APP2P.E ij k 1E ij k定理 2 方阵 A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵（证明略）推论 1 方阵 A 可逆的充要条件是 A E；推论 2 m n 矩阵 A 与 B 等价的充要条件是存在Q ,使 PAQ B . m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵设有 n 阶矩阵 A 及 ns矩阵 B ,求矩阵 X 使 AXB ；假如 A可逆,就X 11 A B ；而1 1P P 1；当 A 可逆时, 依据定理 2,有初等矩阵P P 2,P ,使APP2P ,从而A于是名师归纳总结 P11 P AE,1 A B ,即第 4

10、 页,共 5 页P1l1 P B1 A B上式说明 A 经一系列初等行变换化为E , B 经同一系列初等行变换化成lP1P 11 , A BE A1B- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载022例 2：求解矩阵方程AXAX 其中A2130 0 3010解：把所给方程变形为AE XA12022012022AE A 1202200101202160011010432330012120321310011010010203001213可见AEE 因此 AE 可逆,且226XAE1A203. 2134、课堂总结矩阵的初等变换与初等矩阵是线性代数里最基本的运算,在后面几章中都需要用到这种运算；5、布置作业 P79113,4 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页