2022年二次函数存在性专题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一、直角三角形存在性 如图,已知直线 y=kx-6 与抛物线 y=ax2+bx+c 相交 于 A ,B 两点,且点 A （1,-4）为抛物线的顶点,点 B 在 x 轴上（1）求抛物线的解析式；（2）在（ 1）中抛物线的其次象限图象上是否存在一点 P,使 POB 与 POC 全等？如存在, 求出点P 的坐标；如不存在,请说明理由；（3）如点 Q 是 y 轴上一点,且ABQ 为直角三角 形,求点 Q 的坐标此时 PO平分第三象限,即 PO的解析式为y=-x设 P（m,- m）,就 - m=m 2-2 m-3 ,解得 m=（m=0,

2、舍）,P（,）（ 3）如图,当 Q1AB=90 时,DAQ 1 DOB,解：（1）把 A（ 1,-4 ）代入 y=kx-6 ,得 k=2, y=2x-6,B（3, 0）A为顶点,设抛物线的解析为y=a x-12-4 ,解得 a=1,即, DQ 1=,y=x-12-4= x 2-2 x-3 OQ 1=,即 Q1（0,）；BOQ 2 DOB,（ 2）存在 OB=OC =3,OP=OP,当 POB= POC时,如图,当 Q2BA=90 时, POB POC,即,OQ 2=,即 Q2（0,）；名师归纳总结 如图,当 AQ 3B=90 时,作 AEy 轴于 E,第 1 页,共 7 页- - - - -

3、- -精选学习资料 - - - - - - - - - 就 BOQ 3 Q3EA,学习必备欢迎下载,即OQ 2-4 OQ 3+3=0, OQ 3=1或 3,即 Q3（0,-1 ）,Q4（ 0,-3 ）令 x=0 得 y=4,OC=4 综上, Q点坐标为（ 0,）或（ 0,）或（ 0, -1 ）或OC=OB OBC（ 0,-3 ）二、相像三角形存在性 CFP=COB=90,FC=PF 时,以 P,C,F 为顶点的三角形与规律一、依据两边夹角对应成比例判定相像相像1（2022.郴州）如图1,抛物线 y= x2+bx+c 经过设点 P 的坐标为（ a, a 2+3a+4）（ a0）A（1,0）,B（

4、4,0）两点,与 y 轴相交于点C,就 CF=a,PF=| a 2+3a+4 4| =| a 2 3a| 连结 BC ,点 P 为抛物线上一动点,过点P 作 x 轴| a 2 3a| =a的垂线 l,交直线 BC 于点 G,交 x 轴于点 E解得： a=2,a=4（1）求抛物线的表达式；点 P 的坐标为（ 2,6）或（ 4,0）（2）当 P 位于 y 轴右边的抛物线上运动时,过点 C（2022.潍坊）如图,已知抛物线y=x 2+bx+c 经过作 CF直线 l ,F 为垂足,当点P 运动到何处时, ABC 的三个顶点, 其中点 A（0,1）,点 B（ 9,以 P,C,F 为顶点的三角形与OBC

5、相像？并求出此时点 P 的坐标；【解答】 解：（1）将点 A（ 1,0）,B（4,0）的10）,AC x 轴,点 P 是直线 AC 下方抛物线上的 动点（1）求抛物线的解析式；（2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB 、AC 分别交于点 E、F,当四边形 AECP 的面积最大时,求点 P 的坐标；（3）当点 P 为抛物线的顶点时,在直线 AC 上是 否存在点 Q,使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与坐标代入函数的表达式得：,ABC 相像,如存在,求出点Q 的坐标,如不存在,请说明理由解得： b=3,c=4抛物线的解析式为y= x2+3x+4（2）如图 1 所示：名师归纳总结 -

6、 - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2+m2 3m）= 6 （,= m2 9m = （ m+） 6m0 【解答】 解：（1）点A （0,1）B（9, 10）当 m=时,四边形AECP 的面积的最大值是,在抛物线上,此时点 P（,）；,（3） y=x2+2x+1=（x+3）2 2,抛物线的解析式为y=x2+2x+1,P（ 3, 2）,PF=y F yP=3,CF=x F xC=3,PF=CF,（2） AC x 轴, A（ 0,1）m2 3m, PCF=45x2+2x+1=1,同理可得： EAF=45 ,x1= 6,x 2

7、=0, PCF=EAF ,在直线 AC 上存在满意条件的Q,点 C 的坐标（6,1）,点 A（0,1）B（ 9,10）,设 Q（ t,1）且 AB=9,AC=6 ,CP=3直线 AB 的解析式为y= x+1,以 C、 P、Q 为顶点的三角形与ABC 相像,设点 P（m,m2+2m+1）当 CPQ ABC 时,E（m, m+1）,PE= m+1 （m2+2m+1）=,AC EP,AC=6 ,t= 4 或 t= 8（不符合题意,舍）S 四边形 AECPQ（ 4,1）=SAEC+SAPC 当 CQP ABC 时,= AC EF+ AC PF ,= AC （ EF+PF）,= AC PE t=3 或

8、t= 15（不符合题意,舍）Q（3,1）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4（2022.南宁）如图,已知抛物线经过原点学习必备欢迎下载O,顶点为 A（1,1）,且与直线 y=x 2 交于 B,C 两点（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；就 AD=OD=BD=1 ,BE=OB +OE=2+1=3, EC=3,（2）求证：ABC 是直角三角形；（3）如点 N 为 x 轴上的一个动点,过点N 作 MNx 轴与抛物线交于点M ,就是否存在以O, M ,N 为顶点的三角形与ABC 相像？如存在, 恳求出 ABO= CBO=4

9、5,即 ABC=90,点 N 的坐标；如不存在,请说明理由 ABC 是直角三角形；（3）假设存在满意条件的点 N,设 N（x,0）,就M （x, x 2+2x）,ON= | x| ,MN= | x 2+2x| ,由（ 2）在 Rt ABD 和 Rt CEB 中,可分别求得AB=,BC=3,MN x 轴于点 N 【解答】 解：,解得 ABC= MNO=90,=或（1）顶点坐标为（1,1）, 当 ABC和 MNO相 似 时 有设抛物线解析式为y=a（x 1）2+1,又抛物线过原点,=,即 | x|0=a（0 1）2+1,解得 a= 1,当=时,就有=抛物线解析式为y= （ x 1）2+1,即 y=

10、 x2+2x, x+2| =| x| ,联立抛物线和直线解析式可得当 x=0 时 M 、O、N 不能构成三角形,x 0,或,1, 3）；x| x+2| =,即x+2=,解得 x=或 x=,B（2,0）,C（此时 N 点坐标为（,0）或（,0）；（2）如图,分别过A、C 两点作 x 轴的垂线,交当=时,就有=,即 | x|轴于点 D、E 两点, x+2| =3| x| ,名师归纳总结 | x+2| =3,即x+2= 3,解得 x=5 或 x= 1,此时 N 点坐标为（1,0）或（ 5,0）,第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备

11、 欢迎下载综上可知存在满意条件的 N 点,其坐标为（,0） AEC AFP,依据两边成比例, 便可求出 PF的长度,从而求出 P 点坐标或（,0）或（1,0）或（ 5,0）解：（1）y=-x+3 与 y 轴交于点 C,故 C（0,3）规律二、依据两角判定三角形相像（2）抛物线 y=x2+bx+c 过点 B,C,1/已知抛物线 y=x2+bx+c 对称轴为 x=-1, 与 x 轴交于 A、B 两点,其中 A 点的,坐标为（ -3, 0）（1）求抛物线的解析式（2）在直线 AC 上有一点 P,使 ACO 与 ABP 相像,解得,y=x2-4x+3=（x-1 ） （ x-3 ）,求出点 P 的坐标；

12、抛物线的解析式为对称轴为x=2 ,点 A（1,0）（3）由 y=x2-4x+3,可得 D（2,-1）,A（1, 0）,OB=3 ,OC=3 ,OA=1 ,AB=2 ,可得 OBC 是等腰直角三角形,1y=x2+2x-3 OBC=45 ,如图,设抛物线对称轴与 x 轴交于点 F,21,-4 ,（-2,-1） 2 、如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c 与 y 轴交于点C,与 x 轴交于 A, B 两点,点 B 的坐标为（ 3,0）,直线 y=-x+3 恰好经过B, C 两点（1）写出点 C 的坐标；（2）求出抛物线 y=x2+bx+c 的解析式,并写出抛物线的对称轴和点 A

13、的坐标；（3）点 P 在抛物线的对称轴上,抛物线顶点为 D且 APD= ACB ,求点 P 的坐标AF= AB=1 过点 A 作 AEBC 于点 E AEB=90 度可得,在 AEC 与 AFP 中, AEC=AFP=90 ,ACE= APF, AEC AFP解析分析 ：（1）由直线 y=-x+3可求出 C 点坐标；,第 5 页,共 7 页解得 PF=2 ABC ADP 得出 PD=3 ,（2）由 B,C 两点坐标便可求出抛物线方程,从而求出或者直接证明抛物线的对称轴和A 点坐标；再得 PF=2 （3）作出帮助线OE,由三角形的两个角相等,证明名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资

14、料 - - - - - - - - - 点 P 在抛物线的对称轴上,学习必备欢迎下载ACPD=2（ x2 +5x ）= 2x2 +10x ,点 P 的坐标为（ 2,2）或（ 2,-2 ）S 四边形 APCD=三、平行四边形存在性（泰安 2022）28如图,在平面直角坐标系中,抛物当 x=,=时,线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为（2,9）,与 y 轴交于点S 四边形 APCD 最大=A（ 0,5）,与 x 轴交于点E、B（1）求二次函数y=ax2+bx+c 的表达式；（3）如图,（2）过点 A 作 AC 平行于 x 轴,交抛物线于点C,点 P 为抛物线上的一点（点P 在 AC 上方）,作P

15、D平行与 y 轴交 AB 于点 D,问当点P 在何位置时,四边形 APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）如点 M 在抛物线上,点 N 在其对称轴上,使得以 A 、E、N、 M 为顶点的四边形是平行四边形,且AE 为其一边,求点M 、N 的坐标过 M 作 MH 垂直于对称轴,垂足为H,MN AE ,MN=AE , HMN AOE ,HM=OE=1 ,【答案】 解：（1）设抛物线解析式为y=a（ x 2）2+9,M 点的横坐标为x=3 或 x=1,当 x=1 时, M 点纵坐标为8,当 x=3 时, M 点纵坐标为8,M 点的坐标为M 1（1,8）或 M 2（3,8）,抛物线与y 轴交于点A

16、 （0,5）,A （0,5）, E（ 1,0）, 4a+9=5,直线 AE 解析式为y=5x+5 , a= 1,MN AE ,y= （ x 2）2+9= x 2+4x+5 ,（2）当 y=0 时,x2+4x+5=0 ,MN 的解析式为 y=5x+b ,点 N 在抛物线对称轴 x=2 上, x1= 1,x2=5,N（2,10+b ）,2=1+（ b+2）2AE2=OA2+0E2=26 E（1,0）, B（5,0）,设直线 AB 的解析式为y=mx+n ,MN=AE A（0,5）, B（5,0）,MN 2=AE 2,MN2=（2 1）2+8 （ 10+b） m= 1,n=5,直线 AB 的解析式为

17、 y= x+5；2设 P（x, x +4x+5 ）,M 点的坐标为 M 1（1,8）或 M 2（3,8）,点 M 1,M 2 关于抛物线对称轴 x=2 对称, D（x, x+5）,2+5x,点 N 在抛物线对称轴上, PD= x2+4x+5+x 5= xM 1N=M 2N,1+（b+2 ）2=26, AC=4 ,b=3 ,或 b= 7,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10+b=13 或 10+b=3 学习必备欢迎下载7 或 5,点 E 的横坐标为当 M 点的坐标为 （1,8）时,N 点坐标为 （2,13）,当 M

18、点的坐标为（3,8）时, N 点坐标为（ 2,3）,点 E 坐标（7,）或（ 5,）,此时点F四、等腰三角形存在性（ 1,）,（2022.滨州）如图,已知抛物线y=x2x+2 与以 A,B ,E,F 为顶点的平行四边形的面积x 轴交于 A 、B 两点,与y 轴交于点C =6=（1）求点 A,B, C 的坐标；（3）如下列图, 当 C 为顶点时, CM 1=CA ,（2）点 E 是此抛物线上的点,点F 是其对称轴上的CM 2=CA ,作 M 1N OC 于 N,点,求以A ,B,E,F 为顶点的平行四边形的面积；在 RT CM 1N 中, CN=,（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M ,使得 A

19、CM是等腰三角形？如存在,恳求出点M 的坐标； 如不存点 M 1 坐标（1,2+）,点 M 2 坐标（1,2在,请说明理由） 当 M 3为顶点时,直线AC 解析式为y= x+1,线段 AC 的垂直平分线为y=x ,点 M 3 坐标为（1, 1） 当点 A 为顶点的等腰三角形不存在【分析】（ 1）分别令y=0,x=0 ,即可解决问题综上所述点M 坐标为（1, 1）或（1,2+）或（1.2）（2）由图象可知AB 只能为平行四边形的边,易知点E 坐标（7,）或（ 5,）,由此不难解决问题（3）分 A、 C、M 为顶点三种情形争论,分别求解即可解决问题【解答】解：（1）令 y=0 得x2x+2=0 , x2+2x 8=0 ,x= 4 或 2,点 A 坐标（ 2,0）,点 B 坐标（4,0）,令 x=0 ,得 y=2 ,点 C 坐标（ 0,2）名师归纳总结 （2）由图象可知AB 只能为平行四边形的边,第 7 页,共 7 页 AB=EF=6 ,对称轴x= 1,- - - - - - -