2022年二次函数与三角形的面积问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二次函数与三角形的面积问题【教学目标】 1. 能够依据二次函数中不同图形的特点挑选合适的方法解答图形的面积； 2. 通过观看、 分析、 概括、 总结等方法明白二次函数面积问题的基本类型,并把握二次函数中面积问 题的相关运算,从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用； 3. 把握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段的长度,利用割补方法求图形的面积；【教学重点和难点】 1. 2. 3.运用s水平宽2铅垂高；运用 y ；将不规章的图形分割成规章图形,从而便于求出图形的总面积；【教学过程】类型一：三角形的某一

2、条边在坐标轴上或者与坐标轴平行例 1. 已知：抛物线的顶点为D（1,-4 ）,并经过点E（4,5）,求 : （1）抛物线解析式；（2）抛物线与 x 轴的交点 A、B,与 y 轴交点 C；（3）求以下图形的面积ABD 、 ABC 、 ABE 、 OCD 、 OCE；解题思路：求出函数解析式 _；写出以下点的坐标：A_；B_； C_；求出以下线段的长：AO_；BO_；AB_；OC_；求出以下图形的面积ABD 、 ABC 、 ABE 、 OCD 、 OCE；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一般地,这类题目的做题步骤：精品

3、资料欢迎下载3. 求出相关线段的长；4. 挑选合适1. 求出二次函数的解析式；2. 求出相关点的坐标；方法求出图形的面积；Bx2,变 式 训 练1. 如 图 所 示 , 已 知 抛 物 线yax2bxca0与 x 轴 相 交 于 两 点A1x,0,0x 1x 2,与 y 轴负半轴相交于点C,如抛物线顶点P 的横坐标是1,A、 B 两点间的距离为4,且 ABC的面积为 6；（1）求点 A和 B 的坐标；A y O B x （2）求此抛物线的解析式；（3）求四边形ACPB的面积；C P 类型二： 三角形三边均不与坐标轴轴平行,做三角形的铅垂高；（歪歪三角形拦腰来一刀）水平宽 铅垂高关于 S 的学问

4、点：如图 1,过 ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的2三条直线,外侧两条直线之间的距离叫ABC的“ 水平宽” a ,中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“ 铅垂高 h ” . 我们可得出一种运算三角形面积的新方法：S ABC 1 ah,即三角形2面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 . 铅垂高C h 想一想：在直角坐标系中,水平宽如何求？铅垂高如何求？B 水平宽a 图 1 例 2如图 2,抛物线顶点坐标为点C 1, 4, 交 x 轴于点 A 3, 0 ,交 y 轴于点 B. 1 求抛物线和直线 AB 的解析式； 2点 P 是抛物线 在第一象限内 上的一个动点,连结PA,PB,当 P

5、点运动到顶点C时,求CAB 的铅垂高 CD 及SCAB；3 是否存在一点P,使 S PAB=9 S CAB,如存在,求出 8P 点的坐标；如不存在,请说明理由. y C 解题思路：求出直线yDAB的解析式是为了求出D点的纵坐标yD；ABB D A x 铅垂高CDy C,留意线段的长度非负性；分析P 点在直线1 1 O 的上方仍是下方. 图 - 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变式训练2. 如图,在直角坐标系中,点精品资料欢迎下载OA,将线段OA 绕原点 OA 的坐标为（ 2,0）,连结顺时针旋转 120 ,得到

6、线段 OB. （1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使 BOC 的周长最小？如存在,求出点 C 的坐标；如不存在,请说明理由 . （4）假如点 P 是（ 2）中的抛物线上的动点,且在 x 轴的下方,那么PAB是否有最大面积？如有,求出此时 P 点的坐标及PAB 的最大面积；如没有,请说明理由 . y y B B C D A O x A O x P 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变式训练 3. 如图,抛物线yx2精品资料欢迎下载3,

7、0 两点,（1）求该抛物线bxc与 x 轴交于 A1,0,B- 的解析式；（2）设（ 1）中的抛物线交 y 轴于 C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使得QAC的周长最小？如存在,求出 Q点的坐标；如不存在,请说明理由 . （3）在（ 1）中的抛物线上的其次象限上是否存在一点 P,使PBC的面积最大？,如存在,求出点 P 的坐标及PBC的面积最大值 . 如没有,请说明理由 . yP yCQ CB A B AO x E O x2 3一般地,所谓的铅垂高度,实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的肯定值,数学表达式为CD y C y D；为了保证这个差值是正数,同学们可以用在铅垂线上靠上点的

8、纵坐标减去靠下点的纵坐标 .因此,求出点 D的坐标,是求铅垂高度 CD的关键；所谓的水平宽,实际上就是,两个点的横坐标差的肯定值,数学表达式为 AB x A x B . 为了保证这个差值是正数,同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去靠左点的横坐标 . 因此,求出点 A、 B 的坐标,是求水平宽的关键 . 名师归纳总结 在解这类存在性问题时,通常先假设所要的点是存在的,然后利用给出的条件,仔细加以推理求解. 第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载【自主练习 】1已知如图,矩形 OABC的长 OA= 3 ,宽 OC=1,将

9、 AOC沿 AC翻折得APC；（1）填空： PCB=_度, P 点坐标为（, ）；（2）如 P,A 两点在抛物线 y=4 x 2+bx+c 上,求 b,c 的值,并说明点 C在此抛物线上；3（3）在（2）中的抛物线 CP段（不包括 C,P 点）上,是否存在一点 M,使得四边形 MCAP的面积最大？如存在,求出这个最大值及此时M点的坐标；如不存在,请说明理由；2如图,已知抛物线yax2bx3（a 0）与 x 轴交于点 A1,0和点 B 3,0,与 y 轴交于点 C 1 求抛物线的解析式；2 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P,使 CMP 为等腰三角形？如存在,请直接写出

10、全部符合条件的点P 的坐标；如不存在,请说明理由 3 如图,如点E 为其次象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE 面积的最大值,并求此时 E 点的坐标图 图名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数精品资料bx欢迎下载yx2c的图象与 x 轴交于 A、B两点,A 点在原点的左侧,B 点的坐标为（ 3,0）,与 y 轴交于 C（0,-3）点,点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点 .（1）求这个二次函数的表达式/（2）连结 PO、PC,并把 POC 沿 CO 翻折,得到

11、四边形 POP C, 那么是否存在点 P,使四边形/POP C 为菱形？如存在,恳求出此时点 P 的坐标；如不存在,请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时,四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积 .4如图,抛物线y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为A（ 4,0）、B（2,0）,与 y 轴交于点 C,顶点为 DE（ 1,2）为线段 BC 的中点, BC 的垂直平分线与x 轴、 y 轴分别交于F、G（1）求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标；（2）在直线 EF 上求一点 H,使 CDH 的周长最小,并求出最小周长；名师归纳总结 （3）如点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时,EFK 的面积最大？并求出最大x 第 6 页,共 6 页面积D y K D y C C G E G E A A N F O B x F O B - - - - - - -