2022年考研数学考试大纲--数学三.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆20XX 年全国硕士讨论生入学统一考试数学考试大纲-数学三考试科目：微积分线性代数概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150 分,考试时间为180 分钟二、答题方式答题方式为闭卷、笔试三、试卷内容结构微积分 56线性代数 22% 概率论与数理统计 22四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项挑选题选题 8 小题,每题 4 分,共 32 分填空题 6 小题,每题 4 分,共 24 分解答题（包括证明题）9 小题,共 94 分微 积 分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性 单

2、调性 周期性和奇偶性复合函数反函数分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四就运算极限存在的两个准就：单调有界准就和夹逼准就两个重要极限：lim x 0sinx1lim 1 x1xexx函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1懂得函数的概念,把握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系2明白函数的有界性单调性周期性和奇偶性3懂得复合函数及分段函数的概念,明白反函数及隐函数的概念4把握基本初等函数的性质及其图形,明白初

3、等函数的概念5明白数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念6明白极限的性质与极限存在的两个准就,把握极限的四就运算法就,把握利用两个名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆重要极限求极限的方法7懂得无穷小的概念和基本性质把握无穷小量的比较方法明白无穷大量的概念及 其与无穷小量的关系8懂得函数连续性的概念（含左连续与右连续）,会判别函数间断点的类型9明白连续函数的性质和初等函数的连续性,懂得闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理介值定理 ,并会应用这些性质二、一元函数微分学考试内容

4、导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线 导数和微分的四就运算 基本初等函数的导数 复合函数反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（LHospital）法就 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性拐点及渐近线 函数图形的描画 函数的最大值与最小值考试要求1懂得导数的概念及可导性与连续性之间的关系,明白导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念） ,会求平面曲线的切线方程和法线方程2把握基本初等函数的导数公式导数的四就运算法就及复合函数的求导法就,会求分段函数的导数 会求反函数与隐函数的导数3明

5、白高阶导数的概念,会求简洁函数的高阶导数4明白微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分5懂得罗尔（Rolle ）定理拉格朗日 Lagrange 中值定理明白泰勒定理 柯西（Cauchy中值定理,把握这四个定理的简洁应用6会用洛必达法就求极限7把握函数单调性的判别方法,明白函数极值的概念,把握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用f8会用导数判定函数图形的凹凸性（注：在区间 , a b 内,设函数f x 具有二阶导数 当 0时,f x 的图形是凹的；当f 0时,f x 的图形是凸的） ,会求函数图形的拐点和渐近线9会描述简洁函数的图形三、一元函数积分学考试内容原函

6、数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz ）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1懂得原函数与不定积分的概念,把握不定积分的基本性质和基本积分公式,把握不名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆定积分的换元积分法和分部积分法2明白定积分的概念和基本性质,明白定积分中值定理,懂得积分上限的函数并会求它的导数,把握牛顿一莱布尼茨公

7、式以及定积分的换元积分法和分部积分法3会利用定积分运算平面图形的面积旋转体的体积和函数的平均值,会利用定积分求解简洁的经济应用问题4明白反常积分的概念,会运算反常积分四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与运算 多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值最大值和最小值 二重积分的概念 基本性质和运算 无界区域上简洁的反常二重积分考试要求1明白多元函数的概念,明白二元函数的几何意义2明白二元函数的极限与连续的概念,明白有界闭区域上二元连续函数的性质3明白

8、多元函数偏导数与全微分的概念, 会求多元复合函数一阶、二阶偏导数, 会求全微分 , 会求多元隐函数的偏导数4明白多元函数极值和条件极值的概念,把握多元函数极值存在的必要条件,明白二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简洁多元函数的最大值和最小值,并会解决简洁的应用问题5明白二重积分的概念与基本性质,把握二重积分的运算方法（直角坐标 极坐标）了解无界区域上较简洁的反常二重积分并会运算五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与 p 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级数的肯定

9、收敛与条件收敛 交叉级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收敛半径收敛区间 （指开区间） 和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简洁幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数绽开式考试要求1明白级数的收敛与发散收敛级数的和的概念2明白级数的基本性质和级数收敛的必要条件,把握几何级数及 p 级数的收敛与发散的条件,把握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法3明白任意项级数肯定收敛与条件收敛的概念以及肯定收敛与收敛的关系,明白交叉级数的莱布尼茨判别法4会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域5明白幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分）,会求简洁幂级数在其收敛区间内

10、的和函数名师归纳总结 6明白x e sin x cosx ln1x 及 1x的麦克劳林（ Maclaurin ）绽开式第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念 变量可分别的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简洁的非齐次线性微分方程 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程微分方程的简洁应用考试要求1明白微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念2把握变量可分别的

11、微分方程齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法3会解二阶常系数齐次线性微分方程4明白线性微分方程解的性质及解的结构定理,会解自由项为多项式指数函数正弦函数余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程5明白差分与差分方程及其通解与特解等概念6明白一阶常系数线性差分方程的求解方法7会用微分方程求解简洁的经济应用问题线 性 代 数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）绽开定理考试要求1. 明白行列式的概念,把握行列式的性质2. 会应用行列式的性质和行列式按行（列）绽开定理运算行列式二、矩阵考试内容矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的

12、概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 相伴矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算考试要求1懂得矩阵的概念,明白单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质,明白对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质2把握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,明白方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质名师归纳总结 3. 懂得逆矩阵的概念,把握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件,懂得相伴矩阵第 4 页,共 8 页的概念,会用相伴矩阵求逆矩阵. 4. 明白矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念,懂得矩阵的秩的概念,把握用初- - - - - - -精选学习资料 -

13、- - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法5. 明白分块矩阵的概念,把握分块矩阵的运算法就三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1明白向量的概念,把握向量的加法和数乘运算法就2懂得向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念,把握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法3懂得向量组的极大线性无关组的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩4懂得向量组等价的概念,懂得矩阵的秩与其行（

14、列）向量组的秩之间的关系5明白内积的概念把握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt ）方法四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法就 线性方程组有解和无解的判定 齐次线性方程组 的基础解系和通解 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的 关系 非齐次线性方程组的通解考试要求1. 会用克莱姆法就解线性方程组2. 把握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法法3. 懂得齐次线性方程组的基础解系的概念,把握齐次线性方程组的基础解系和通解的求4. 懂得非齐次线性方程组解的结构及通解的概念5. 把握用初等行变换求解线性方程组的方法五、矩阵的特点值和特点向量考

15、试内容矩阵的特点值和特点向量的概念、性质相像矩阵的概念及性质矩阵可相像对角化的充分必要条件及相像对角矩阵 实对称矩阵的特点值和特点向量及相像对角矩阵考试要求1. 懂得矩阵的特点值、特点向量的概念,把握矩阵特点值的性质,把握求矩阵特点值和特点向量的方法2. 懂得矩阵相像的概念, 把握相像矩阵的性质, 明白矩阵可相像对角化的充分必要条件,把握将矩阵化为相像对角矩阵的方法3. 把握实对称矩阵的特点值和特点向量的性质六、二次型名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆考试内容二次型及其矩阵表示 合同变换与合

16、同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性考试要求1. 明白二次型的概念,会用矩阵形式表示二次型,明白合同变换与合同矩阵的概念2. 明白二次型的秩的概念,明白二次型的标准形、正交变换和配方法化二次型为标准形规范形等概念, 明白惯性定理, 会用3. 懂得正定二次型正定矩阵的概念,并把握其判别法概率论与数理统计一、随机大事和概率考试内容质随机大事与样本空间大事的关系与运算完备大事组概率的概念概率的基本性古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式大事的独立性独立重复试验考试要求1明白样本空间（基本领件空间）的概念,懂得随机大事的概

17、念,把握大事的关系及运算2懂得概率、条件概率的概念,把握概率的基本性质,会运算古典型概率和几何型概率,把握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等3懂得大事的独立性的概念,把握用大事独立性进行概率运算；懂得独立重复试验的概念,把握运算有关大事概率的方法二、随机变量及其分布考试内容随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布考试要求1懂得随机变量的概念,懂得分布函数F x P Xx x的概念及性质,会运算与随机变量相联系的大事的概率2懂得离散型随机变量及其概率分布的概念,

18、把握01 分布、二项分布B n p 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布P 及其应用3把握泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆4懂得连续型随机变量及其概率密度的概念,把握匀称分布U a b 、正态分布N ,2、指数分布及其应用,其中参数为x0 的指数分布E 的概率密度为f x 0e如x0如x05会求随机变量函数的分布三、多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维

19、连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布 考试要求两个及两个以上随机变量的函数的分布1懂得多维随机变量的分布函数的概念和基本性质2懂得二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、把握二维 随机变量的边缘分布和条件分布3懂得随机变量的独立性和不相关性的概念,把握随机变量相互独立的条件,懂得随 机变量的不相关性与独立性的关系4把握二维匀称分布和二维正态分布N u u2;2,2;,懂得其中参数的概率意义125会依据两个随机变量的联合分布求其函数的分布,会依据多个相互独立随机变量的 联合分布求其函数的分布四、随机变量的数字特点考

20、试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（ Chebyshev）不等式 考试要求矩、协方差、相关系数及其性质1懂得随机变量数字特点（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概 念,会运用数字特点的基本性质,并把握常用分布的数字特点2会求随机变量函数的数学期望3明白切比雪夫不等式五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（ Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine ）大数定律棣莫弗拉普拉斯（De Moivre Laplace ）定理列维林德伯格（LevyLindberg ）定理考试要求名师归纳总结 - - - - -

21、- -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆1明白切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律） 2明白棣莫弗拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）算有关随机大事的概率六、数理统计的基本概念考试内容,并会用相关定理近似计总体个体简洁随机样本统计量体会分布函数样本均值样本方差和样本矩2 分布t 分布F 分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求 1明白总体、简洁随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念,其中样 本方差定义为2明白产生S2n11inXiX22 分布、 t 分12 变量、 t 变量和 F 变量的典型模式；明白标准正态分布、布和 F 分布得上侧分位数,会查相应的数值表3把握正态总体的样本均值样本方差样本矩的抽样分布4. 明白体会分布函数的概念和性质七、参数估量考试内容点估量的概念估量量与估量值矩估量法最大似然估量法考试要求 1明白参数的点估量、估量量与估量值的概念2把握矩估量法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估量法名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页