2022年二阶非齐次线性微分方程的解法..docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载目 录待定系数法 常数变异法 幂级数法 特点根法 升阶法 降阶法 关键词：微分方程,特解,通解,二阶齐次线性微分方程常系数微分方程待定系数法a 1dxa x0, 1解决常系数齐次线性微分方程L x2 d xdt2dt这里a a2 是常数. 1.1特点方程F 2a 1a 201 特点根是单根的情形设1,2,n 是特点方程的 1.1 的 2 个彼此不相等的根, 就相应的方程 1 有如下2 个解：e1t,e2t1,2 1.2假如ii均为实数,就 1.2 是方程 1 的 2 个线性无关的实值解,而方程 1 的通解可表示为1 t 2 t

2、 x c e c e假如方程有复根, 就因方程的系数是实系数, 复根将成对共轭显现； 设 i是一特点根, 就 i 也是特点根, 因而与这对共轭复根对应, 方程 1 有两个复值解名师归纳总结 eitetcostisint,第 1 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ei tetcostisint.精品资料欢迎下载它们的实部和虚部也是方程的解；这样一来,对应于特点方程的一对共轭复根etcosi,我们可求得方程 1 的两个实值解t etsint.（2）特点根有重跟的情形如 1 0特点方程的 k 重零根,对应于方程 1 的 k 个线性无关的解 1

3、,t, t , 2 kt 1；如 这 个 k 重 零 根 1 0, 设 特 征 根 为 1 , 2 , , m , 其 重 数 为k k 2 , ,k k 1 k 2 k m 2；方程 1的解为e 1 t, t e 1 t, t k 1 1e 1 t; e 2 t, t e 2 t, t k 2 1e 2 t; ; e m t,t e m t, t k m 1e m t;对于特点方程有复重根的情形,譬如假设 i 是k 重特点根,就 i也是k 重特点根,可以得到方程 1 的 2k 个实值解t t 2 t k 1 te cos t te cos t t e cos t , , t e cos t

4、,t t 2 t k 1 te sin t te sin t t e sin t , , t e sin t .2d x2 x 0例 1 求方程 dt 的通解；2解 特点方程 1 0 的根为 1 1, 2 1有两个实根,均是单根,故方程的通解为xt c ec et,2i 有两个复根, 均是单根,故方程的通解这里c c 是任意常数；例 2 求解方程2 d xx0的通解；dt2解 特点方程210 的根为1,i为名师归纳总结 xc 1sintc 2cos ,第 2 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 这里c c 是任意常数；精品资料欢迎下载某些

5、变系数线性齐次微分方程的解法（一）化为常系数 1. 在自变量变换下,可化为常系数的方程 一类典型的方程是欧拉方程x22 d ya xdya y020=y）的系数是 x的kdx2dx这里a 1,a 2为常数,它的特点是y 的k阶导数（ k=0,1,2, 规定 y次方乘以常数.我们想找一个变换,使方程2 的线性及齐次性保持不变,且把变系数化为常系数；依据方程x 本身的特点,我们选取自变量的变换xt,并取tet,即变换xt e tlnx2.1x0,当x0时,取xt e ,以后为确定起见,就可以达到上述目的（这里设认为x0）；事实上,由于名师归纳总结 dydy dtetdy2.1 ,第 3 页,共 1

6、8 页dxdt dxdt2 d ydetdydte2t2 d ydydx2dtdtdxdx2dt代入方程2 ,就原方程变为2 d ya 11dya yo2.2dt2dt方程2.2常系数二阶线性微分方程,由上可求得方程的通解；再变换代回原先的变量,就得到原方程2 的通解；例求方程x22 d y5xdy4y0的通解dx2dx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 此方程为欧拉方程,令x精品资料欢迎下载t e,就由2.2知,原方程化为2 d y4dy4yo2.3dt2dt其特点方程为2440t22 ,故方程 2.3 的通解为特点根为12yc 1c te换回原自

7、变量x ,就原方程的通解为yc 1c lnx x22. 在未知函数的线性齐次变换下,可化为常系数的方程现在考虑二阶变异系数线性方程2d y dy2 P x P 2 x y 0 2.4dx dx的系数函数 P x , P x 满意什么条件时,可经适当的线性齐次变换y a x z 2.5化为常系数方程；这里 a x 是待定函数；为此,把2.5代入方程2.4,可得到a x z2 a xP x a x za P x a x P x a x z02.6欲使 2.6 为常系数线性齐次方程,必需选取a x 使得z、z及z的系数均为常数；特殊地,令z 的系数为零,即2 aP x a0可求得a x e1P x

8、1 dx2再代入2.6,整理之,得到名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - zP 1P 12 1 P x z精品资料欢迎下载02.742由此可见,方程 2.4 可经线性齐次变换1 p 1 dx y e 2 z 2.8化为关于z 的不含一阶导数项的线性齐次方程I x P 12 P 1 1 P x 42为常数时,方程2.7 为常系数方程；2.7 ,且当 z 的系数因方程2.4在形如2.8的变换下,函数I x 的值不会转变,故称I x 为方程2.4 的不变式；因此,当不变式 系数线性齐次方程；I x 为常数时,方程 2.4 可

9、经变换 2.8 化为常例求方程2 x yxyx21y0的通解4解 这里P x 1,P x 11x42 x ,因I x 1121 1 4 x21114 x2x2故令zye11dxz2xx就可把原方程化为常系数方程 zz0可求得其通解为zc 1cosxc2sinx代回原变量y,就得原先方程的通解为名师归纳总结 yc 1cosxc 2sinx第 5 页,共 18 页xx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（二）降阶的方法 处理一般高阶微分方程的基本原就是降阶,即利用适当的变换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程的求解问题；具体参考常微分方程的

10、思想与方法,这里只争论二阶的；已知2 d xptdxqtx0的一个特解x 10,试求该方程的通解dt2dt解作变换xx 1ydt ,就原方程可化为一阶线性微分方程x 1dy2x 1p tx 1y0,dx求解,得yc 11eptdt,x 12所以原方程的通解为xx 1c 2c 11eptdtdt.2 x 1法二设 2x是方程的任一解,就有刘维尔公式得x 1 x 2 p t dt cex 1 x 2c 0,亦即其中常数 p t dtx x 2 x x 2 ce .1以积分因子 x 1 2乘上式两端,就可推出d x 2 c e 2 p tdt,dt x 1 x 1积分上式可得到名师归纳总结 xx 1

11、c 2c 11eptdtdt.第 6 页,共 18 页2 x 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料xy欢迎下载的通解例 求方程xyy0解 由观看知方程有一特解 y x 1 x ,令y xz 就 y z xz y 2 z xz ,代入方程,得2 2 x z 2 x x z 0再令 z u ,得一阶线性齐次方程2 x u 2 x xu 0从而可得取c 1uc 1ex,zc 1exdxc 2x2x21,c 20,便得原方程的另一解明显,解y 2xx edxx2y y 线性无关,故方程的通解为yc xc xexdxx2幂级数法名师归纳总结 考 虑 二

12、阶 线 性 微 分 方 程2 d ypxdyqx yt0 1及 初 值yx y0及第 7 页,共 18 页dx2dx yx y 0的情形xx ,经此变换,方程的可设一般性,可设x 00,否就,我们引进新变量- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 形式不变,但这时对应于x精品资料t0欢迎下载x 00. x 的就是0了. 因此总认为定理 如方程1中的系数p x 和q x 都能展成 x 的幂级数, 且收敛区间为 xR ,就方程1有形如yn0a x nn的特解,也以 x R 为级数的收敛区间 .定理 如方程1中的系数 p x 和 q x 都能展成 x 的幂级数, 且

13、收敛区间为 x R ,就方程1有形如ya xnn0xp x 和x q x 都能展 2 的特解,也以xR 为级数的收敛区间 .定理 如方程1中的系数p x 和q x 具有这样的性质,即成x 的幂级数,且收敛区间为xR, 如a 00,就方程1有形如yxn a x 1.1n0的特解,是一个待定的常数 . 级数 1.1也以 x R 为级数的收敛区间 .例 求方程 y 2 xy 4 y 0 的满意初值条件 y 0 0 及 y 0 1 的解解 设名师归纳总结 ya0a x2 a xa xn1.2第 8 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢

14、迎下载为方程的解 . 利用初值条件,可以得到a 00,a 11,因而将yxa x2a xny12a x3a x2na xn1y2 a23 2 a xn n1 a xn2 y y y 的表达式代入原方程, 合并 x的同次幂的项, 并令各项系数等于零, 得到a 2 0, a 3 1, a 4 0, a n 2 a n 2 ,n 1因而a 5 1 , a 6 0, a 7 1 1 , a 8 0, a 9 1 ,2. 6 3. 4.最终得a 2 k 1 1 1 1 , a 2 k 0,k k 1. k .k 成立. 对一切正整数将 ia i 0,1,2, 的值代回1.2 就得到、5 2 k 13 x

15、 xy x x2. k .4 2 k2 x xx 1 x 2. k .x 2 = e ,这就是方程满意所给初值条件的解 . 例用幂级数解法求解方程 y xy y 0名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解 由于p 0 1,p x p2精品资料欢迎下载的邻域内有形如y 0n0a x nn的 1,所以在x 002幂级数解 . 将y 0,y 0, y 代入原方程,得0.a2a 0nn1 a nn1an2xn2n3比较x 的同次幂的系数,得2a2a00,6a32a 10,nn 1a nn n1 an20 n4.解得a 2a 0

16、,a 3a 1,a 2n 1n1a 0,23n 2n .a 2n11 3n 1a 11.2n所以,原方程的通解为方程组的消元法ya0n01x2na 1n01 3n 1x2n1,n.22 n 1即ya ex2a 1n01 3n 12 x1n1 .22n在某些情形下,类似于代数方程组的消元,我们可以把多个未知函数的线性方程组化为某一个未知函数的高阶微分方程来求解例 dx dt dy dx求解线性微分方程组x5 ,2xy .解 从第一个方程可得名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - y1 5xdy,1.2精品资料欢迎下载dx

17、把它代入其次个方程,就得到关于x的二阶方程式2 d x9x0.dt2不难求出它的一个基本解组为x 1 cos3 , t x 2 sin3 ,把 1x和 x 分别代入 1.2 式,得出 y 的两个相应的解为y 1 1 cos3 t 3sin 3 , y 2 1 sin 3 t 3cos3 .5 5由此得到原先微分方程组的通解为x 5cos3 t 5sin 3 tc 1 c 2 ,y cos3 t 3sin3 t sin3 t 3cos3 t1c和 2c为任意常数其中二阶非齐次线性微分方程待定系数法常用于解决常系数非齐次线性微分方程L x2 d xa 1dxa xft,2dt2dt这里a a 2

18、是常数,f t为连续函数类型一设ftb tmb tm1tkb m1 tb me1t,其中及b iie0,1,m为实常数,那么方程1有形如B0tmB tmB m1 tB mtx名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的特解,其中k 为特点方程F精品资料的根欢迎下载k1；当不是=0的重数 单根相当于特点根时,取k0, 而B 0,B 1,B 是待定常数, 可以通过比较系数来确定.类型二设 f t A t cos t B t sin t e 其中 at, 是常数 , 而A t ,B t 是带实系数的 t的多项式,其中一个的次数

19、为 m,而另一个的次数不超过 m , 那么我们有如下结论：方程 2 有形如x t kP t cos t Q t sin t e at的特解,其中k 为特点方程 的带实系数的次数不高于求方程F=0的根ai的重数,而P t,Q t 均为待定m 的 t 的多项式,可以通过比较系数来确定.2 d x2dx3 x3 t1的通解dt2dt解 先求对应的齐次线性微分方程2d x dx2 2 3 x 0dt dt2的通解 . 这里特点方程 2 3 0有两个根 1 3, 2 1. 3 t t因此,通解为 x c e 1 c e ,其中 c c 为任意常数 . 再求非齐次线性微分方程的一个特解 . 这里 f t

20、3 t 1, 0, 又由于 0不是特点根,故可取特解形如x A Bt ,其中 A B 待定常数 . 为了确定 A,B, 将 x A Bt 代入原方程,得到2 B 3 A 3 Bt 3 t 1,比较系数得名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料B3,欢迎下载3由此得2B3A1,B1,A1,从而x1t,因此,原方程的通解为33x3 c etc 2ett1.3求方程的2 d x4dx4xcos 2t通解 . 解 特点方程2 4dt2dt4 0有重根122,因此,对应的齐次线性微分方程的通解为2 tx c 1 c te

21、 ,其中 c c 为任意常数 . 现求非齐次线性微分方程的一个特解 . 由于 2i 不是特点根,我们求形如 x A cos2t Bsin 2 t 的特解,将它代入原方程并化简得到8 B cos2 t 8 A sin 2 t cos2 ,比较同类项系数得 A 0, B 18 ,从而 x 1 sin 2 ,8 因此原方程的通解为2 t 1x c 1 c te sin 2 .8方法二由方法一知对应的齐次线性的通解为名师归纳总结 xc 1c te 22 t.为 求 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 一 个 特 解 , 我 们 先 求 方 程第 13 页,共 18 页2 d x4dx4x2 eit

22、的 特 解 .这 是 属 于 类 型 一 , 而2i 不 是 特 征 根 , 故 可 设 特 解 为dt2dtxi2 eiticos2 t1sin 2t,分出它的实部Rex1sin 2t,于是原方程的通解为8888xc1c te2t1sin 2 t8- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载注：对于2d xdt 22 a 1 dxdt a x f t g t, 可分解为 d xd x dtdt 2 22 aa 11 dxdx dtdt a xa x g t f t 4 3, 并且 f t ,g t 均满意类型一或者类型二 . 如3,4 的特解

23、分别为 x x 1 2 , 就原方程的特解为x x 1 x 2 .2 2d x 1 dx 1 d x 2 dx 22 a 1 a x 1 f t 2 a 1 a x 2 g t这 是 因 为 dt dt,dt dt,2 2d x2 a 1 d x a x d x 12 x 2 a 1 d x 1 x 2 a 2 x 1 x 2 dt dt dt dt2 2 =（d x2 1 a 1 d x 1 a x 1）（d x2 2 a 1 d x 2 a x 2）dt dt dt dt = t g t, t 2 t求 x 4 x 4 x e e 1 的通解 . 对应的齐次方程的特点方程为名师归纳总结 2

24、440,14x22.第 14 页,共 18 页即得特点根为1对应方程x4xt e ,设其特解为xt A e 代入方程就的A1,4xt e 的一个特解为xt e.即方程x4x2 对应方程x4x4x2 te ,设其特解为xBt e 2 2 ,代入方程就的即方程x4x4xB1 , 22 te 有一个特解为x12 2t et.2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 对应方程x4 x4x1精品资料x欢迎下载,设其特解为C 代入方程就的C1, 4x1 . 4即方程x4x4x2 te 有一个特解为所以原方程的通解为x2 tec 1c tt e12 2 tt e1,2

25、4这里c1,c 是任意常数 . 升阶的方法升阶是常微分方程很少提到的一种方法,这是由于随着阶数的上升, 一般会使得求解更为繁琐,但适当运用这种方法, 在有些情形下也可以受到事半功倍的成效.升阶法往往用于求常系数非齐次线性微分方程,详细分析见参考文献【9】例 用升阶法求方程x2x3x3 t1的一个特解解 两边同时逐次求导,直到右边为常数,得x2x3x3,1,解之,有xt1,该令x1,就x x0代回原方程,得23 x3 t表达式几位方程的一个特解. 例 用升阶法求方程x2x5xt esin 2 t 的一个特解名师归纳总结 解 先求解方程y2y5ye1 2it,1,第 15 页,共 18 页令yu1

26、 2i t t e,代入方程,得u4 iu取u11i,进一步取u1it,就4i44y1ite1 2it1itetcos 2tisin 2 t441t tesin 2 t1itetcos2 ,44- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载其虚部函数为原方程的一个特解,即可求得原方程的一个特解为x1tetcos 2 .4常数变易法定理 假如a 1t,a2t,ant,ft是区间atb上的连续函数,x 1t,x 2t,xnt是区间atb上齐次线性微分方程xna 1txn1a ntx0的基本解组,那么,非齐次线性微分方程xna 1txn1a ntxft

27、的满意初值条件t00,t00,n 1t00, t0a, b的解有下面公式给出名师归纳总结 tn1xkttW kx 1s,x2s,x nsfsds,第 16 页,共 18 页kt0W x 1s,x2s,x ns这 里W x 1s,x2s,x ns是x 1s,x 2s,xns的 朗 斯 基 行 列 式 ,W kx 1s,x2s,xns是在W x 1s,x 2s,xns中的第k 列代以 0, 0,T , 0,1后得到的行列式,而且非齐次方程的任一解ut都具有形式utc 1x 1tc2x 2tcnx ntt,这里c c2,c 是适当选取的常数 . 特殊地,当n2时xa 1txantx0的特解为tx 1

28、tttW x 1s,x 2sfsdsx2tttW 2x 1s,x2sfsds.0W x 1s,x 2s0W x 1s,x 2s其中W x 1s,x 2s0x 2 x s ,1 x 2 W x 1s,x 2sx s 0x s , x s 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 因此,当n2精品资料欢迎下载时,常数变易公式变为ttx 2tx s x 1tx 2sfsds.t0W x s x 2s而通解就是xc x 1tc x 2tt.法二n n 1设 x 1 t, x 2 t, , x n t 是方程 x a 1t x a n t x 0 的基本解组,当满意以

29、下 条 件 时,x c 1 t x 1 t c 2 t x 2 t c n t x n t 是 方 程n n 1x a 1 x t a n x f 的通解 t t x 1 tc t x 2 tc 2 t x n tc n t 0 x 1 tc 1 t x 2 tc 2 t x n tc n t 0n 2 n 2 n 2 x 1 tc t x 2 tc 2 t x n tc n t 0n 1 n 1 n 1 x 1 tc t x 2 tc 2 t x n tc n t f t x 1 tc t 1 x 2 tc t 2 0特殊地,当 n 2,满意条件 x 1 tc t x 2 tc t f t的

30、 c 1 t,c t, 就 x c t x t c x 为 二 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 x a 1 t x a 2 t x f t 的通解例 试求方程 x x tan t 的一个解解 易 知 对 应 的 齐 次 线 性 微 分 方 程 x x 0 的 基 本 解 组 为tx 1 t cos t, x 2 t sin t. 我们直接利用公式 tt 0 x 2 tW x s x x s 1 x 12 ts x 2 sf sds.来求方程的一个的一个解；这时Wx t, x tcos tsint1sintcos tt00取名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载ttsin t cosscos t sin stan s ds0t t =sin t sin s ds cos t sin s tans ds0 0 =sin t1-cos t+cos tsin t-lnsec t tan =sin t-cos t lnsec t tan t留意,由于 sin t 是 对 应 的 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 一 个 解 , 所 以 函 数