2022年九江三中高中数学竞赛专题讲座立体几何.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思竞赛试题选讲之六：立体几何一、挑选题部分1. （ 2006 吉林预赛） 正方体 ABCD A1B1C1D1中,过顶点A1 作直线 l ,使 l 与直线 AC 和直AB 上一点,就 这 样 的 直线 BC1所成的角均为60,就这样的直线l 的条数为（ C ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于 3 2.（2006 陕西赛区预赛）如图 2,在正方体ABCDA B C D 中, P 为棱过点 P 在空间作直线l ,使 l 与平面 ABCD 和平面 ABC D 均成0 30 角,线 l 的条数为（ B）A. 1

2、 B .2 C. 3 D .4 ABC 的中心,过O 的动平面与PC 交于 S,与 PA、PB3集训试题 设 O 是正三棱锥P-ABC 底面是三角形的延长线分别交于Q、R,就和式111（）B有最小值而无PQPRPSA有最大值而无最小值最大值C既有最大值又有最小值,两者不等D是一个与面 QPS 无关的常数解：设正三棱锥 P-ABC 中,各侧棱两两夹角为 , PC 与面 PAB 所成角为 ,就 v S-PQR= 1S3PQR h= 1 1PQ PRsin PS sin ；另一方面, 记 O 到各面的距离为 d,就 vS-PQR=v O-PQR+vO-PRS+v O-PQS,3 21 1 1 1 d

3、 1 d 1 d 1SPQR d= PRS d+ SPRS d+ PQS d= PQ PRsin + PS PRsin + PQ PS sin3 3 3 3 3 2 3 2 3 21 1 1 sin ,故有： PQ PR PS sin =dPQ PR+PRPS+PQ PS,即 =常数；应选PQ PR PS dD；4（20XX 年江苏） 过空间肯定点P 的直线中,与长方体ABCDA B C D 的 12 条棱所在直线成等角的直线共有（ C）A0 条B1 条C4 条D很多多条P 究竟5.（2006 天津） 已知 P 为四周体SABC的侧面 SBC内的一个动点,且点P 与顶点 S 的距离等于点面 A

4、BC的距离,那么在侧面SBC内,动点 P 的轨迹是某曲线的一部分,就该曲线肯定是（ D ）名师归纳总结 A圆或椭圆B椭圆或双曲线,侧棱 PBC双曲线或抛物线D抛物线或椭圆6（20XX 年南昌市） 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是单位正方形 A B C D 按反时针方向排列垂直于底面 ,且 PB 3 ,记APD,就 sin（ C）A2B3C5D623564 正五7（20XX 年浙江） 正方体的截平面不行能 是：1 钝角三角形2 直角三角形3 菱形边形5 正六边形；下述选项正确选项（B）第 1 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之

5、法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思A125 B124 C234 D345 【解】正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,但不行能是钝角三角形,直角三角形（证明略） ；对四边形来讲,可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形,矩形、但不行能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲,可以是任意五边形,不行能是正五边形（证明略）；对六边形来讲,可以是六边形（正六边形） ；选 【 B 】82005 全国 如图,ABCDABCD为正方体；任作平面与对角线A C垂直,使得与与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为 l .就（）A S 为定值, l 不为定值BS 不为定值,

6、 l 为定值D B C为上、下CS 与 l 均为定值DS 与 l 均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥 AA BD与 CD B C后,得到一个以平行平面A BD底面的几何体V ,V 的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行, 将 V 的侧面沿棱AB剪开,展平在一张平面上,得到一个A B B 1A 1,而多边形 W 的周界绽开后便成为一条与 A A 1 平行的线段（如图中 E E 1）,明显E E 1 A A 1,故 l 为定值 . 当 E 位于 A B 中点时, 多边形 W 为正六边形, 而当 E 移至 A 处时, W 为正三角形, 易知周长为定值

7、 l的正六边形与正三角形面积分别为 3 l 2与 3 l 2,故 S 不为定值；选 B. 24 369.（2006 浙江省） 在正 2006 边形中,与全部边均不平行的对角线的条数为（C）2 2 2A2006 B1003 C1003 1003 D1003 1002 . 解：正 2n 边形 A 1 A 2 A 2 n,对角线共有 12 n 2 n 3 n 2 n 3 条. 2运算与一边 A 1A 2 平行的对角线条数,因 A 1 A 2 / A nA n 2,与 A 1A 2 平行的对角线的端点只能取自 2n-4 个点,平行线共 n-2 条；故与某一边平行的对角线共 nn-2条；由此可得与任何边

8、都不平行的对角线共有n2n-3-nn-2=nn-1 条；因此正确选项是 C. 10（ 2005 四川） 如图,一个立方体,它的每个角都截去一个三棱锥,变成一个新的立体图形；那么在新图形顶点之间的连线中,位于原立方体内部的有 120 条. 解：据题意新的立体图形中共有24 个顶点,每两点连一条线,2共 C 24 12 23 276,其中全部的棱都在原立方体的表面,有 36 条.原立方体的每个面上有 8 个点,除去棱以外,仍可以连 5 8 20 条, 6 个面共 120 条都在原立方体的表面,除此2之外的直线都在原立方体的内部 . 二、填空题部分名师归纳总结 1（20XX 年南昌市） 棱长为 1

9、的正四周体在水平面上的正投影面积为s ,就 s 的最大值为 _1 2_. 第 2 页,共 7 页2（2006 天津） 在一个棱长为5 的正方体封闭的盒内,有一个半径等于1 的小球,如小球在盒内任意地运动,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思就小球达不到的空间的体积的大小等于 44 3133（20XX 年上海） 在 ABC 中,已知 A 30 , B 105,过边 AC 上一点 D 作直线 DE,与边 AB 或者2BC 相交于点 E,使得 CDE 60,且 DE 将 ABC 的面积两等分,就 CD 3AC 64（20X

10、X 年上海） 在直三棱柱中,已知底面积为 s 平方米,三个侧面面积分别为 m 平方米, n 平方米, p 平方米,就它的体积为 s 4 m n p m n p p m n p m立方米25（2006 陕西赛区预赛）用 6 根等长的细铁棒焊接成一个正四周体形框架,铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为 R ,能包涵此框架的最小球的半径为 R ,就 R 1 等于 3. R 2 36（ 20XX 年江苏） 长方体 ABCD A B C D 中,已知 AB 1 4,AD 1 3,就对角线 AC 的取值范畴是4 , 572005 全国 如图,四周体 DABC 的体积为 1 ,且满意

11、ACB 45 , AD BC AC 3 , 就 CD 3 . 6 2解：1 AD 1 BC AC sin 45 V DABC 1 ,3 2 6即 AD BC AC 1 .2又 3 AD BC AC 3 AD BC AC ,3 第 7 题图2 2等号当且仅当 AD BC AC 1 时成立,这时 AB ,1 AD 面 ABC ,DC 3 . 28（2004 全国） 如图、正方体 ABCD A B C D 中,二面角 A BD 1 A 的度数是 _. 解：连结 D C 1, 作CE BD ,垂足为 E,延长 CE 交 A B 于 F,就 D1 C1A1 B1FE BD ,FE连结 AE ,由对称性知

12、AEBD1,FEA 是二面角DC名师归纳总结 ABD1A 的平面角 .连结 AC ,设 AB=1 ,就AB第 3 页,共 7 页ACAD 12,BD 13.在Rt ABD 1中,AEAB AD 12,BD 13- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思在AEC中,cosAECAE2CE2AC22AE2AC24421. 32AE CE2AE223AEC0 120 ,而FEA 是AEC的补角,FEA600. 【原创】 20XX 年高考立体几何问题争论综述直线、平面、简洁几何体是高考的必考内容；一般以客观题的形式考查基础学问,以

13、解答题的形式考查综合问题； 20XX年高考立体几何的考点主要包括：空间位置关系的判定与论证,空间角与距离的运算,直线、平面、简洁几何体与其它学问的交汇与运用等；试题设置形式和数量不一：有12 份试卷是“ 两小一大” 共三道题、 4 份试卷是“ 一小一大” 共两道题、全国和四川卷是“ 三小一大” 共四道题、江苏卷仅一道大题,分值由 1327 不等,平均分不足22,题目难度一般仍在中等左右；1、客观题的考查争论11、线面位置关系的判定问题例 1. （湖南 5）设有直线 m、n 和平面、. 以下四个命题中,正确选项 A. 如 m, n, 就 m n B. 如 m , n , m, n, 就C.如,m

14、 , 就 m D. 如,m,m , 就 m解析 对每个选支逐一分析判定,可得正确答案（D）；评注 此题综合考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,同类的仍有天津 5、安徽 4；线面位置关系的判定是立体几何的基本学问和基本技能,是高考的必考内容,多显现在填空、挑选题中；12、几何元素的计数问题例 2. （辽宁 11）在正方体 ABCD A1B1C1D1中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的中点, 就在空间中与三条直线 A1D1,EF,CD都相交的直线（）A不存在 B有且只有两条 1b a 1cC有且只有三条 D有很多条 b c 解析 方法 1：易知三条异面直线 A1D1,EF,CD平

15、行于同一平面,记它 lG F E 们依次为 a,b,c, 在直线 a 上任取一点 E,过 E 作直线 b 1 b c 1 c （如图 1）；设直线 b b 确定平面 ,直线 c c 确定平面 ,又两平面有公共点 E,故它 图 1 们必交于过 E 的一条直线 l ；在 内直线 l 与 1b 交于 E,就必与 1b 的平行线 b 相交,记交点为 F；同理记直线 l与 c 的交点为 G,就直线 l 与直线 a,b,c 分别交于点 E,F,G；由于点 E是任取的,故这样的直线有很多条；方法 2：过直线 a 的平面旋转扫过全空间时,除去与 b,c 都平行的平面外,其余位置上的平面都与 b,c 同时相交（

16、记交点为 M,N）,这些同时与 b,c 相交的平面中,除一个会显现 MN a 外,其余的直线 MN都与直线 a相交,因此这样的直线有很多条；方法 3：在直线 EF上任取一点 P,就 P 与直线 A1D1 确定一个平面 ,该平面与直线 CD必有交点,记为 Q,直线 PQ与直线 A1D1共面且不平行,故它们必有交点,这样直线 PQ与直线 A1D1, EF,CD都相交,又直线 PQ随P 的变化而变化,故这样的直线有很多条；名师归纳总结 评注此题以正方体为载体争论三条异面直线有公共交线的问题,有肯定的难度,极易错选为（C）（3第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - -

17、 - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思条直线为 DE,A C D F ）,同类的试题仍有四川；例 2 源于“1997 年全国高中联赛题：假如空间三条直线a,b,c 两两成异面直线,那么,与直线 a,b,c 都相交的直线有（D）（A）0 条,（B）1 条,（C）多于 1 的有限条,（D）无穷多条” ；此赛题中的直线 a,b,c 可以不共面,故可“ 不妨构造平行六面体” 求解,而例 2 不行用这种方法求解；几何元素的计数问题可较好地考查空间想象才能和思维的发散才能；13、组合体问题例 3. （1）（江西 16）如图 2,一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装

18、饰块,容器内盛有 a 升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点P；假如将容器倒置,水面也恰好过点P（图 3）；有以下四个命题：图 2 图 3 A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点PPPPC任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点D如往容器内再注入a 升水,就容器恰好能装满其中真命题的代号是：（写出全部真命题的代号）（2）（海南 15）一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面；已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9,底面周长为3,那么这个球的体积为 _ 图 4 8（3）（重庆 9 如图 4,体积为 V的大球内有4 个小球,每个小球的球面过大

19、球球心且与大球球面有且只有一个交点,4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4 个顶点 . V1 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积,）V2 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积,就以下关系中正确选项（A）V1= V B V2= V（C）V1 V2（ D）V1 V2 2 2解析（ 1）、图 2 中设底面积为 S,正四棱锥的高为有一半的水填在空白,而水的体积与上面空白体积相等,h,就 a= Sh 1Sh h 3 a,故 A 错；侧放时,3 2 S故 B对；任意摆放时, 如水面与正四棱锥的侧面平行时,水面不会恰好是侧面,因而水面不会恰好过点 P ；由两次操作可知 D正确,因此填 B,D；（2

20、）、设该六棱柱的高为 h；由底面正六边形的周长为 3,得底面边长为 1,过底面中心的对角线长为 1,2底面正六边形面积为 S 6 3 1 2 3 3,就有3 3 h 9h 3；过底面中心和球心的六棱柱的4 2 8 8 8截面矩形的对角线即球的直径为 2,故球的体积为 4；3（3）、设小球半径为 r ,就大球半径为 2r ,V 大球 V 2 4 V 小球 V 1,V 1 V 2 4 4 r 3 4 2 3 16 r 30,应选（ D）；3 3 3评注（ 1）是多面体与多面体的组合,其过程和结果都具有开放性；（ 2）是多面体与球的组合,关键是找准正确截面； （3）是球与球的组合,无需求出详细的 V

21、1与 V2；球的学问在 20XX 年的高考中考查相当多,理科 19 套数学卷中有 12 套考查了球的问题,主要考查求距离（如安徽 16、湖南 9 等考球面距离） 、面积（如四川、山东 6 等）和体积等；它们有的单独考查,有的以球为载体综合考查；组合体问题有利于考查同学的解名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思题目标意识、运动变化思想、问题或图形的分解与重组才能,以及综合解决问题的才能；14、交汇性问题高考命题以才能立意,留意在学问的交汇处命制试题； 因而交汇型试题在近年的高考中频繁显

22、现, 20XX年高考立体几何中的交汇型客观试题有如下特点；141、与简易规律交汇例 5 （天津 4）设 a, b 是两条直线, 是两个平面,就 a b 的一个充分条件是（）（A）a ,b / ,（B）a ,b , /（C）a ,b , /（D）a ,b / ,解析 题设条件比较零散,宜逐一检验： A 和 D中 a 与 b 的位置关系不确定； B 中 a 与 b 平行； C中 a b ,应选（ C）评注简易规律学问年年考,这是直接考查（仍如上海13）,但多是融入大题中隐性考查；142、与平面几何学问类比交汇例 6.（全国卷16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,

23、类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件；充要条件（写出你认为正确的两个充要条件）一组解析可对平行四边形的两个详细的充要条件进行类比推广,如答案可为： 两组相对侧面分别平行；相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形等评注此题是有限度的开放性问题,它将平面几何中平行四边形的判定定理类比推广到立体几何的四棱柱中；不过并非全部平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中,洞悉力；143、与函数交汇这需要考生具有较好的基础学问和敏捷的名师归纳总结 - - - - - - -例 7. （北京8）如图5,动点 P 在正方体ABCDA B C D 的对角线BD 上过点 P

24、 作垂直于平面BB D D 的直线,与正方体表面相交于M,N设 BPx , MNy ,就函数yf x 的图象大致是（）D1 C1 y y y y A1 B1 A D P N C O A x O Bx O Cx O Dx M B 解析设CC1,BD 的中点分别为E,F,连结 BE,EF,ED ,就点 N在折线 BE D 上,且当 N在 BE上时有BPNBFE , 故1y1MNPNEFsinEBD1, 所 以y2 si nE B Dx, 又 正 方 体22xBNBNBEABCDA B C D 中的sinEBD 为定值, 故y2sinEBD 1x 的轨迹为直线, 排除 C,D；又 y 的最大值只在

25、x=BF 时取得,应选（B）；评注此题将一次函数寓于正方体中,考查最基本的三角形相像、三角函数、直线方程等学问,将数与第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思形较好地结合在一起；20XX 年高考理科立几客观题中,仍有与三角函数（都是正弦或余弦）的交汇题5 道,如全国 16、全国 10、福建 6 等；144、与不等式交汇例 8 （海南 12）某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,就 a + b 的最大值为（）A

26、. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5解析 假设这条棱是长方体 ABCD-A B C D 的体对角线 A C ,如D 1 C 1图 6,设 AB=x,BC=y,C投影分别是 D C 、B C 与 AC,故有 C =z, 就其在正视图、侧视图与俯视图中的a 2b 26 y 2z 2 x 2y 2 A 1 B 1 x 2z 2 2 x 2y 2z 2,又 x 2z 26,y 7 2 6 21,代入整理得 a 2b 28,所以 a b 2 a 2 b 2 4,应选 C；D C 评注 此题以三视图为载体,将长方体的体对角线与三条互不相等 A B 图 6 的面对角线奇妙地联系在一起,考查三视图

27、学问以及运用不等式学问求线段和的最值问题,三视图试题仍有广东 5 和山东 6；145、与解析几何交汇例 9（浙江 10）如图 7, AB 是平面 的斜线段, A 为斜足,如点 P 在平面 内运动,使得ABP 的面积为定值,就动点 P的轨迹是（）A圆 B椭圆 C一条直线 D两条平行直线 B 解析 直接求点 P 的轨迹方程是不现实的；ABP 的面积为定值,把定线段 AB 看作底,就 P 到 AB 的距离为定值,故 P 点在一个圆柱A 上；又 P 点在平面 上,所以 P 点的轨迹是该平面斜截该圆柱的交线 P 椭圆,应选（B）；评注 此题由空间图形生成圆锥曲线,考查用交轨法求轨迹,以及数形结合、 空间

28、想象和问题转化的才能；图 7 146、与排列组合交汇例 10 （重庆 16）某人有 4 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）,要在图 8 的 6 个点 A、B、C、A1、B1、C1 上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,就每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有_种（用数字作答）. C 解析 方法 1：设 4 种颜色的灯泡为 a,b,c,d, 由于共顶点的 3 条线段的 4 个顶 A B 4点的灯泡不同色,故有 A 种；如设点 A、A1、B、C依次放灯泡 a,b,c,d,就 C1可放 a 或 b,如 C1放 a 就 B1放 c；如 C1 放 b 就 B1 放 a 或 c, 即此时B1

29、,C1 有 3 种按法；又图中有 6 个顶点,上述过程中都运算重复了一次,所 A 图 8 C B 以每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 16 3 A 4 4216 种；24 2方法 2：分 3 类求解, A B C 1 , A 四点装四种不同颜色的灯泡,有 A A =48； A B C 1 , A 四点装三1 2 1 1 1 2种不同颜色的灯泡,有 C C C 23 3 =144； A B C 1 , A 四点装 2 种不同颜色的灯泡,有 C C A =24；所以共有 48+144+24=216 种方法；名师归纳总结 评注图 8 就是一个三棱台,要留意条件 “ 同一条线段两端的灯泡不同色”的限制, 仍可以绘树状图求解；此题考查排列组合学问的综合运用、分类争论的思想方法、规律推理才能, 以及数学的应用性与思维的深刻性；第 7 页,共 7 页- - - - - - -