2022年二次函数-因动点产生的相似三角形问题典型例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数 - 因动点产生的相像三角形问题【例 1】如图 1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线yax2bx（a0）经过点A和 x 轴正半轴上的点 B,AO BO2, AOB 120 （1）求这条抛物线的表达式；（2）连结 OM,求 AOM的大小；（3）假如点 C在 x 轴上,且ABC与 AOM相像,求点C的坐标图 1 思路点拨1第（ 2）题把求 AOM的大小,转化为求BOM的大小2由于 BOM ABO30 ,因此点 C在点 B的右侧时,恰好有ABC AOM3依据夹角相等对应边成比例,分两种情形争论ABC与 AOM相像满

2、分解答（1）如图 2,过点 A 作 AHy 轴,垂足为 H在 Rt AOH中, AO2, AOH30 ,所以 AH 1,OH3 所以 A 1, 3 由于抛物线与 x 轴交于 O、B2,0 两点,设 yax x2 ,代入点 A 1, 3 ,可得名师归纳总结 a3 323yx3x x23x22 3x 图 2 第 1 页,共 14 页所以抛物线的表达式为333（2）由y3x233x2 13 3,33- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 得抛物线的顶点M的坐标为1,3所以学习必备欢迎下载tanBOM333所以 BOM30 所以 AOM150 得（3）由 A 1,

3、3 、B2,0 、M 1,3,3tanABO3,AB23,OM2 3 33所以 ABO30 ,OA3OM因此当点 C在点 B 右侧时, ABC AOM150 ABC与 AOM相像,存在两种情形：如图 3,当BAOA3时,BCBA2 32此时 C4,0 BCOM33如图 4,当BCOA3时,BC3BA32 36此时 C8,0BAOM图 3 图 4 考点舒展在此题情境下,假如ABC与 BOM相像,求点C的坐标30 的等腰三角如图 5,由于BOM是 30 底角的等腰三角形,ABO30 ,因此 ABC也是底角为形, ABAC,依据对称性,点C的坐标为 4,0 图 5 名师归纳总结 - - - - -

4、- -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 2】如图 1,已知抛物线y1x21 b4学习必备欢迎下载A、B1xb（b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点44（点 A 位于点 B 是左侧）,与y 轴的正半轴交于点C（1）点 B 的坐标为 _,点 C的坐标为 _（用含 b 的代数式表示）；（2）请你探究在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且 PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？假如存在,求出点P 的坐标；假如不存在,请说明理由；（3）请你进一步探究在第一象限内是否存在点 Q,使得 QCO、 QOA和 QAB中的任

5、意两个三角形均相像（全等可看作相像的特别情形）？假如存在,求出点Q的坐标；假如不存在,请说明理由图 1 思路点拨1第（ 2）题中,等腰直角三角形PBC示意了点 P 到两坐标轴的距离相等2联结 OP,把四边形 PCOB重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含 b 的式子表示3第（ 3）题要探究三个三角形两两相像,第始终觉这三个三角形是直角三角形,点 Q最大的可能在经过点 A与 x 轴垂直的直线上满分解答（1）B 的坐标为 b, 0,点 C的坐标为 0, b 4D、E,那么PDB PEC（2）如图 2,过点 P 作 PDx 轴, PEy 轴,垂足分别为因此 PDPE设点 P 的坐标为 x, x如图

6、 3,联结 OP名师归纳总结 所以 S四边形 PCOBS PCOS PBO1 2b x 41b x5bx2b第 3 页,共 14 页28解得x16所以点 P的坐标为 16 16 ,5 5 5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图 2 学习必备欢迎下载图 3 （3）由 y 1 x 2 1 b 1 x b 1 x 1 x b,得 A1, 0,OA 14 4 4 4如图 4,以 OA、OC为邻边构造矩形 OAQC,那么OQC QOA当BA QA,即 QA 2 BA OA时, BQA QOAQA OA所以 b 2b 1解得 b 8 4 3所以符合题意的点 Q为

7、1,2 3 4如图 5,以 OC为直径的圆与直线 因此 OCQ QOAx1 交于点 Q,那么 OQC90 ；当BA QAQA时, BQA QOA此时 OQB 90 解得QA4此时 Q1,4 OA所以 C、Q、B 三点共线因此BOQA,即bQACOOAb14图 4 图 5 考点舒展第（ 3）题的思路是,A、C、O三点是确定的,B 是 x 轴正半轴上待定的点,而QOA与 QOC是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情形这样,先依据QOA与 QOC相像把点Q的位置确定下来,再依据两直角边对应成比例确定点B 的位置名师归纳总结 如图中,圆与直线x1 的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？

8、第 4 页,共 14 页假如符合题意的话,那么点B 的位置距离点A很近,这与OB4OC冲突- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 3】如图 1,已知抛物线的方程C1：y学习必备欢迎下载 m 0 与 x 轴交于点B、 C,与 y 轴交于点1 mx2xm E,且点 B在点 C的左侧（1）如抛物线 C1 过点 M2, 2,求实数 m的值；（2）在（ 1）的条件下,求BCE的面积；（3）在（ 1）的条件下,在抛物线的对称轴上找一点 H,使得 BHEH最小,求出点 H的坐标；（4）在第四象限内,抛物线 C1 上是否存在点 F,使得以点 B、C、 F 为顶点的三角

9、形与BCE相像？如存在,求 m的值；如不存在,请说明理由图 1 思路点拨1第（ 3）题是典型的“ 牛喝水” 问题,当H落在线段 EC上时, BHEH最小2第（ 4）题的解题策略是：先分两种情形画直线 BF,作 CBF EBC45 ,或者作 BF/ EC再用含 m的式子表示点 F 的坐标然后依据夹角相等,两边对应成比例列关于 m的方程满分解答（1）将 M2, 2代入y11 mx2xm ,得2x142m 解得 m4m（2）当 m4 时,yx2x41x212所以 C4, 0,E0, 2442所以 S BCE1 2BC OE16262（3）如图 2,抛物线的对称轴是直线x 1,当 H落在线段 EC上时

10、, BH EH最小设对称轴与x 轴的交点为P,那么HP CPEO1, 32CO因此HP 32解得HP3 2所以点 H的坐标为4（4）如图 3,过点 B作 EC的平行线交抛物线于F,过点 F作 FF x 轴于 F 名师归纳总结 由于 BCE FBC,所以当CE CBBC,即BC2CE BF 时, BCE FBC第 5 页,共 14 页BF设点 F的坐标为 ,1x2xm ,由FFEO,得1 mx2xm 2mBFCOx2m- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得 xm2所以 F m2, 0 学习必备欢迎下载由COBF,得m42m4所以BFm4m24CEBFm2

11、BFm由BC2CE BF ,得m22 m4m42 m4m整理,得 0 16此方程无解图 2 图 3 图 4 如图 4,作 CBF 45 交抛物线于F,过点 F 作 FF x 轴于 F ,由于 EBC CBF,所以BE BCBC,即BC2BE BF 时,BCE BFCBF在 Rt BFF 中,由 FF BF ,得1 mx2xm x2m2解得 x2m所以 F2m ,0所以 BF 2m2,BF22由BC2BE BF ,得m222 222m2解得m22 2综合、,符合题意的m为 22 2 考点舒展名师归纳总结 第（ 4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F 、 F的坐标后,依据两点间的距离公式求BF的

12、长第 6 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【例 4】如图 1,已知梯形 OABC,抛物线分别过点 O（ 0,0）、 A（2,0）、 B（6,3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1,得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积为 S,A1、 B1的坐标分别为 x1,y1、 x2,y2 用含 S 的代数式表示 x2x1,并求出当 S=36 时点 A1的

13、坐标；（3）在图 1 中,设点 D的坐标为 1 ,3 ,动点 P 从点 B 动身,以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点 Q从点 D动身,以与点 P相同的速度沿着线段 DM运动 P、Q两点同时动身,当点 Q到达点M时, P、 Q两点同时停止运动设 P、Q两点的运动时间为 t ,是否存在某一时刻 t ,使得直线 PQ、直线AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相像？如存在,恳求出 t 的值；如不存在,请说明理由图 1 图 2 思路点拨1第（ 2）题用含S 的代数式表示x2x1,我们反其道而行之,用x1,x2 表示 S再留意平移过程中梯形的高保持不

14、变,即y2y13通过代数变形就可以了2第（ 3）题最大的障碍在于画示意图,在没有运算结果的情形下,无法画出精确的位置关系,因此此题的策略是先假设,再说理运算,后验证3第（ 3）题的示意图,不变的关系是：直线 AB与 x 轴的夹角不变,直线 AB与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ的斜率,因此假设直线 PQ与 AB的交点 G在 x 轴的下方,或者假设交点 G在 x 轴的上方满分解答名师归纳总结 （1）抛物线的对称轴为直线Sx1,解析式为y12 x1x ,顶点为 M（1,1 8）s2由于84（2） 梯形 O1A1B1C1 的面积2x 11x 213x 1x 26,由此得到x 1x 223第

15、7 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 2y 13,所以y 2y 112 x 21x 212 x 1学习必备欢迎下载x2x 11x2x 113因此1 4x 13整理,得84884得到x 2x 172x 114,解得x 16,此时点 A1的坐标为（ 6, 3）S当 S=36 时,x 2x 2x 12.x 28.（3）设直线 AB与 PQ交于点 G,直线 AB与抛物线的对称轴交于点要探求相像的GAF与 GQE,有一个公共角G在 GEQ中, GEQ是直线 AB与抛物线对称轴的夹角,为定值E,直线 PQ与 x 轴交于点 F,那么在 GAF中,

16、 GAF是直线 AB与 x 轴的夹角,也为定值,而且GEQ GAF因此只存在 GQE GAF的可能,GQE GAF这时 GAF GQE PQD由于tanGAF3 4, tanPQDDQ5tt,所以3 45tt解得t20QP7图 3 图 4 考点舒展名师归纳总结 第（ 3）题是否存在点G在 x 轴上方的情形？如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t 的值也是相第 8 页,共 14 页同的事实上,图3 和图 4 都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【例 5】如图 1,抛物线经过点 A4 ,0 、B（

17、1,0 、C（0, 2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点,过 P 作 PMx 轴,垂足为 M,是否存在点 P,使得以 A、P、M为顶点的三角形与OAC相像？如存在,恳求出符合条件的 点 P 的坐标；如不存在,请说明理由；（3）在直线 AC上方的抛物线是有一点 D,使得DCA的面积最大,求出点 D的坐标,图 1 思路点拨1已知抛物线与 x 轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便2数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长3依据两条直角边对应成比例,分两种情形列方程4把 DCA可以分割为共底的两个三角形,高的和等于 OA满分解答（1）由于

18、抛物线与x 轴交于 A4 ,0 、B（1,0 两点,设抛物线的解析式为yax1 x4 ,代入点 C的 坐标（0,2）,解得a1所以抛物线的解析式为y1x1 x21x25 2x4 222x（2）设点 P 的坐标为x ,1x1 x4 24如图 2,当点 P 在 x 轴上方时, 1 x4,PM1x1 x4 ,AM2假如AMAO2,那么1x1 x4 2解得x5不合题意2PMCO4x假如AMAO1,那么1x1 x4 1解得x22PMCO24x2此时点 P 的坐标为（ 2,1）名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载

19、4 ,AMx4如图 3,当点 P 在点 A的右侧时, x4,PM1x1 x2解方程1x1 x4 2,得x5此时点 P 的坐标为5 ,2 2x4解方程1x1 x4 1,得x2不合题意4x2x42如图 4,当点 P 在点 B的左侧时, x1,PM1x1 x4 ,AM2解方程1x1 x4 2,得x3此时点 P 的坐标为,31424x解方程1x1 x4 1,得x0此时点 P 与点 O重合,不合题意24x2综上所述,符合条件的点 P 的坐标为（ 2,1）或3 ,14或5 ,2图 2 图 3 图 4 名师归纳总结 m ,（3）如图 5,过点 D作 x 轴的垂线交AC于 E直线 AC的解析式为y1 x 22

20、,点E 的坐标为第 10 页,共 14 页设点D 的横坐标为m 1m4,那么点D 的坐标为 m ,1m25m2 221m2 所以DE12 m5m2 1m2 1m22m22222因此S DAC11m22 m 4m24mm2 2422当m2时,DCA的面积最大,此时点D的坐标为（ 2,1）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图 5 学习必备欢迎下载图 6 考点舒展第（ 3）题也可以这样解：如图 6,过 D点构造矩形OAMN,那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和 ADM的面积名师归纳总结 设点 D的横坐标为（ m,n）1m4,那么2 1n 4

21、m m2 n4第 11 页,共 14 页S1 2 n2 41m n222由于n1m25m2,所以Smm2422- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【例 6】如图,抛物线 yax 1x 5 与 x 轴的交点为 M、N直线 ykx b 与 x 轴交于 P2,0 ,与 y 轴交于 C如 A、B 两点在直线y kxb 上,且 AO=BO=,AOBOD为线段 MN的中点, OH为 RtOPC斜边上的高小题 1:OH 的长度等于 _；k_,b_；小题 2: 是否存在实数a,使得抛物线yax 1x 5 上有一点 E,满意以 D、N、E 为顶点的三角形

22、与AOB相像 .如不存在,说明理由；如存在,求全部符合条件的抛物线的解析式,同时探究所求得的抛物线上是否仍有符合条件的E点 简要说明理由 ；并进一步探究对符合条件的每一个E点,直线 NE与直线 AB的交点 G是否总满意PBPG102,写出探究过程图 1 思路点拨1求等腰直角三角形 OAB斜边上的高 OH,解直角三角形 POH求 k、b 的值2以 DN为边画正方形及对角线,可以体验到,正方形的顶点和对角线的交点中,有符合题意的点 E,写出点 E 的坐标,代入抛物线的解析式就可以求出 a3当 E 在 x 轴上方时, GNP45 ,POB PGN,把 PB PG 转化为 PO PN 144当 E 在

23、 x 轴下方时,通过估算得到 PB PG 大于 10 2 满分解答名师归纳总结 （1）OH1,k3,b2 3 35,得第 12 页,共 14 页3（2）由抛物线的解析式ya x1x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点 M的坐标为 1,0 ,点 N的坐标为 5,0 因此 MN的中点 D的坐标为（ 2,0）, DN3由于 AOB是等腰直角三角形,假如 DNE与 AOB相像,那么DNE也是等腰直角三角形如图 2,假如 DN为直角边,那么点E 的坐标为 E1（ 2,3）或 E2（2, 3）将 E1（2,3）代入ya x1x5,求得a1x53此

24、时抛物线的解析式为yya x1xx1 x51x2433331将 E2（2, 3）代入15,求得a5 33此时抛物线的解析式为y1x1 x5 1x24x333假如 DN为斜边,那么点E 的坐标为 E331,1 12或 E431,11222将 E331,1 12代入ya x1x5,求得a229x10此时抛物线的解析式为yya x2xx1 x5a2x2899992将 E431,11代入5,求得122910 9此时抛物线的解析式为y2x1 x5 2x28x999图 2 图 3 名师归纳总结 对于点 E 为 E1（2,3）和 E331,1 12,直线 NE是相同的, ENP 45 第 13 页,共 14 页2又 OBP45 , P P,所以POB PGN因此PBPGPOPN2714102对于点 E 为 E2（2, 3）和 E431,1 1 214,直线 NE是相同的2此时点 G在直线x5的右侧,PG33- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又PB43,所以PBPG143学习必备欢迎下载1024 33144 333考点舒展名师归纳总结 PA在此题情形下,怎样运算PB的长？3,PF223,第 14 页,共 14 页如图 3,作 AFAB交 OP于 F,那么OBC OAF,OFOC2 333PF322331,所以PB31223- - - - - - -