2022年全国高考试卷解析几何部分汇编.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 全国高考试卷解析几何部分汇编（上）1.（2022 安徽理 10）0,点 Q 满意uuur OQR2r ar b曲在平面直角坐标系xOy 中,已知向量 a b, ,ab=1,a b线Cuuur P OPr acosr bsin,2,区域P| 0ruuur PQR,r如 C为两段分别的曲线,就（）A 1rR3B 1r3RCr1R3D1r3R【解析】 A依据题意不妨设 a 1 0, ,b 0 1OQ 2 a b 2,2,OP a cos b sin cos,sin ,PQ 2 cos,2 sin 2 cos 2 2 sin 25 4sin 0241P

2、Q3易知曲线 C 为单位圆,又 区域 | P | 0 rPQR,r R |,且 C为两段分别的曲线,结合图形可知,r,R 1 3 且端点不重合,1 r R 3应选 A2.（2022 安徽理 14）2设 F 1,F 2 分别是椭圆 E ：x 2 y2 10 b 1 的左、右焦点,过点 F 的直线交椭圆 E 于 A,Bb两点如 AF 1 3 F B,AF 2x 轴,就椭圆 E 的方程为 _【解析】x 2 3 y 212不妨设点 A 在第一象限,AF 2x 轴, A c,b 2（其中 c 21 b 2,0 b 1,c 0）又2 2 2 4AF 1 3 F B , 由 AF 1 3 F B 得 B 5

3、3 c,b3,代入 x 2b y2 1 得 259 c9 bb 2 1,又c 21 b ,2b 2 23故椭圆 E 的方程为 x 2 3 y 212yA3.（2022 安徽理 19）BFOF2x名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如图,已知两条抛物线E ：y22p x p 10,和E ：y22p x p 20,过原点 O 的两条直线1l和2l ,1l 与E 1,E2分别交于A 1,A 2两点,2l 与E 1,E2分别交于B 1,B 2两点的面积证明：A B 1A B 2；E 1,E 2分别交于C1,C 2两点记A B

4、 C 1与A B C 2过 O 作直线 l （异于l1,l2）与分别为S 与S ,求S 1的值S 2 yl 2A2B1E2E1OA1xl1B2【解析】 证明：设直线l1,l2的方程分别为第19 题图 y k x,yk x k 1,k20,就2由yk x,得2 p x,A 12p 1,2 p 1k 12 y2 k 1由y2k x,得2 p x,A 22p2,2 pk 12y2 k 1同理可得B 12p 1,2 p 1k 2,B 22p2,2 pk 222 k 22 k 2所以AB 12p 12p 1,2 p 1k 22p 12p 111,1k 21,2 k 22 k 1k 12 k 22 k 1

5、k 1A B 22p 22p 2,2 p 2k 22p 22p211,1k 21,2 k 22 k 1k 12 k 22 k 1k 1故A B 1p 1A B 2,所以A B 1A B2p2 由知A B 1A B 2,同理可得B C 1B C2,C A 1C A 2所以A B C1A B C22因此S 1A B 1S 2A B 2又由 中的A B 1p 1A B 2知A B 1p 1p2A B 2p2故S 12 p 1S 22 p 24.（2022 安徽文 3）抛物线y12 x 的准线方程是（）4Ay1By2Cx1Dx【解析】 A名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 26 页

6、精选学习资料 - - - - - - - - - 由y12 x 得x24y ,焦点在 y 轴正半轴上, 且 2p4,即p2,因此准线方程为yp1425.（2022 安徽文 6）的直线 l 与圆2 xy21有公共点, 就直线 l 的倾斜角的取值范畴是（）过点P3,1A0,6B0,3C0,6D0,3【解析】 DPA、PB,连结 OP ,如下列图过 P 点作圆的切线y1B名师归纳总结 31O1x,第 3 页,共 26 页PA1明显,直线 PA的倾斜角为0 ,又OF32122,PA3,OA1,因此OPA6由对称性知,直线PB的倾斜角为如直线 l 与圆有公共点,由图形知其倾斜角的取值范畴3是0,3应选

7、D6.（2022 安徽文 21）E ：x22 y1 ab0的左、 右焦点, 过点F 的直线交椭圆E 于设F ,F 分别是椭圆a22 bA B, 两点,|AF 1| 3|BF 1|如|AB|4,ABF 2的周长为 16,求|AF 2|；如cosAF B3,求椭圆 E 的离心率5【解析】 由AF 13F B,AB4,得AF 13,F B1由于ABF2的周长为 16,所以由椭圆定义可得4a16,AF 1AF22a8故AF22 aAF 1835 设F Bk ,就k 且AF 13 k ,AB4 k 由椭圆定义可得AF22a3 k ,BF 22 ak 在ABF2中,由余弦定理可得AB2AF 22BF 22

8、2AF2BF 2cosAF B ,即4 k22a3 k22ak262a3 k2 ak 5化简可得aka3k0,而ak0,故a3k 于是有AF 23 kAF ,BF 25k 因此BF 22F A2AB2,可得F AF A ,AF F 2为等腰直角三角形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 从而c2a ,所以椭圆E 的离心率ec22a2评析 此题考查椭圆的定义,余弦定懂得三角形等学问,同时考查方程的思想,解题时利用条件列出方程是关键,解方程是难点7.（2022 北京理 11）C 的方程为 _；渐近线设双曲线 C 经过点 2,2,且与y2x21具有相同渐近线,就

9、4方程为 _【解析】2 xy2y21；y12xy2x ,故 C 的渐近线为y2x312双曲线x2的渐近线为4设 C ：y2x2m并将点 2,2代入 C 的方程,解得m34故 C 的方程为2 y2 x3,即x2y2143128.（2022 北京理 19）已知椭圆C:2 x2y24, 求椭圆 C 的离心率 . 设 O 为原点, 如点 A在椭圆 C 上,点 B 在直线y2上,且 OAOB ,试判定直线AB 与圆x2y22的位置关系,并证明你的结论. 【解析】 椭圆的标准方程为：2 xy21,42；a2,b2就c2,离心率ec2a2 直线 AB 与圆x2y22相切证明如下：法一：名师归纳总结 设点 A

10、B 的坐标分别为x0y0t2,其中x 002y0第 4 页,共 26 页由于 OAOB,所以OA OB0,即tx02y 00,解得tx 0当0xt 时,y 0t2,代入椭圆C 的方程,得t2,22故直线 AB 的方程为x2圆心 O 到直线 AB 的距离d此时直线 AB 与圆x2y22相切当0xt 时,直线 AB 的方程为y2y 02xt,tx 0即y 02xx 0t y2 x0ty00圆心 O 到直线 AB 的距离dy 02x 02ty0t22x 0又2 x 022 y 04,t2y0,故x0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - d2 x 02x 022

11、y 044 x 042 x 0162x0x 0y2 042 y 082 x 02 x 022 x 0此时直线 AB 与圆x2y22相切法二：由题意知,直线OA 的斜率存在,设为k ,就直线 OA 的方程为 ykx , OAOB,2,原当k0时,A20,易知B02,此时直线 AB 的方程为xy2或xy点到直线AB的距离为2 ,此时直线AB与圆x2y22相切；当k0时,直线 OB 的方程为y1x,k联立y2kx24得点 A 的坐标12k212 kk2或12k212 k2x2y2222 k联立y1x得点 B 的坐标2k2,ky2由点 A 的坐标的对称性知,无妨取点A12k212kk2进行运算,22于

12、是直线AB的方程为：y212k2x2kkk12k2x2k,2k2122 k112k22 k2即k12k2x1k12 k2y2 k220,原点到直线AB 的距离dk12 k2k22k12k222,221此时直线AB与圆x2y22相切综上知,直线AB 肯定与圆x2y22相切法三：名师归纳总结 当k0时,A20,易知B0 2,此时OA2OB2,2,；第 5 页,共 26 页22AB222 22 2,原点到直线AB 的距离dOAOBAB22此时直线 AB 与圆x2y22相切；2 1k2当k0时,直线 OB 的方程为y1x,k2y2k设A x 1y 1B x2y2,就OA1k2x 1,OB122 k联立

13、ykxy24得点 A 的坐标12k212 kk2或x222212k212k2于是OA1k2xA2 12k2,OB2 1k2,1k2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AB4 12k24 1k22 2 1k2,1k212k29.所以dOAOB2 12k22 1k22,直线 AB 与圆x2y22相切；P ,使得1k2ABk222 112k2综上知,直线AB肯定与圆x2y22相切（2022 北京文 7）已知圆C：x32y421和两点A m, ,m,0m0如圆C上存在点APB90,就 m 的最大值为（）A7 B6 C5 D4 【解析】 B10.（2022 北京文

14、 10）42 0, ,2, ,一个顶点是1 0, ,就 C 的方程为 _设双曲线 C 的两个焦点为【解析】2 xy2111.（2022 北京文 19）已知椭圆 C ：x22y2求椭圆 C 的离心率；设 O 为原点如点A 在直线y2上,点 B 在椭圆 C 上,且 OAOB ,求线段 AB 长度的最小值名师归纳总结 【解析】 由题意,椭圆C 的标准方程为x22 y128第 6 页,共 26 页42所以a24,b22,从而c2a22 b2因此a2,c故椭圆 C 的离心率ec2a2 设点 A , B 的坐标分别为t ,2,x 0,y 0,其中x 0由于 OAOB ,所以OA OB0,即tx02y00,

15、解得t2 y 0x 0又2 x 022 y 04,所以AB2x 0t2y 022x 02y 02y 022x 02 x 0y24y2 042 x 042 x 02 42 x 0402 x 022 x 0AB22 x 084 0x242x2 00由于x2 084 0x24,且当2 x 04时等号成立,所以22 x 00故线段 AB 长度的最小值为22 12.（2022 大纲理 6）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 已知椭圆 C ：x22 y1ab0的左、右焦点为F 、F ,离心率为3过F 的直线 l 交a2b23C 于 A 、 B 两点,如AF B的周长

16、为 4 3 ,就 C 的方程为（）2 xy21A2 xy21B2 xy21C2 xy21D323128124【解析】 A13.（2022 大纲理 9）2,焦点为F 、F ,点 A 在C上,如|F A|2 |F A ,就cosAF F 1已知双曲线C 的离心率为（）C2 4D2 3A1 4B1 3【解析】 A14.（2022 大纲理 15 文 16）22的两条切线, 如1l 与2l 的交点为1 3, ,就1l 与2l 的夹角的正切值等直线1l 和2l 是圆x2y于_【解析】4 3px p0的焦点为 F ,直线y4与 y轴的交点为P ,与C的交点为 Q ,15.（2022 大纲理 21 文 22）

17、已知抛物线C ：y22且|QF|5|PQ|4求 C 的方程；过 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、B 两点,如 AB 的垂直平分线M 、 B 、 N 四点在同一圆上,求l 的方程P2【解析】 设Q x , 代入y22px 得x088 pp所以|PQ|8,QF|px 0pp22由题设得p858,解得p1（舍）或2p4p所以 C 的方程为y24x l 与 C 相交于 M 、N 两点,且 A 、名师归纳总结 依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设l 的方程为xmy1m0第 7 页,共 26 页代入y24x 得y24 my4021设A x 1,y1,B x2,y2,就y 1y24m,y y24故 A

18、B 的中点为D22 m1.2 m |AB|m21 |y 1y2|4m又 l 的斜率为m,所以l 的方程为x1y2 m33m将上式代入y24x ,并整理得y24y4 2 m230m设Mx 3,y 3,Nx 4,y 4,就y 3y44,y y 3 42 4 2 mm故 MN 的中点为E22 2 m3,2,m2m- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |MN|11|y3y4|4m2122 m21m3m16.由于 MN 垂直平分 AB ,故 A 、M 、B 、N 四点在同一圆上的等价于|AE| |BE|1|MN|,2从而1|AB|2|DE|21|MN|244即4m2

19、122 m2222242 m1242 m21m2m3过F 的直线l交m化简得m210,解得m1或m1所求直线 l 的方程为xy10或xy10（2022 大纲文 9）已知椭圆 C ：x22 y1ab0的左、右焦点为F 、F ,离心率为a2b23C 于 A 、 B 两点,如AF B的周长为 4 3 ,就C的方程为（）y21A2 xy21B2 xy21C2 xy21D2 x323128124【解析】 A17.（2022 大纲文 11）a0,b0的离心率为2,焦点到渐近线的距离为3 ,就 C 的焦距双曲线 C ：2 x2 y1a22 b等于（）C 4D 4 2A2 B 2 2【解析】 C18.（202

20、2 福建理 6）Ox2y21相交于A,B两点,就 “k1” 是“OAB的面积为1” 的直线lykx1 与圆2（）B必要而不充分条件A充分而不必要条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【解析】 A19.（2022 福建理 9）x2y622和椭圆2 x2 y1上的点,就 P,Q两点间的最大距离是 （）设 P,Q分别为10A 52B462C 72D 6 2【解析】 D名师归纳总结 20.（2022 福建理 19）yBll1x第 8 页,共 26 页已知双曲线E:2 xy21 a0,b0的两条渐近线分别为a2b2OAl1y2x, 2y2x求双曲线E 的离心率；如图, O 为坐标原点, 动直线 l 分

21、别交直线l 1,l2于 A,B两点（ A,B分别在第一,四象限） ,且OAB的面积恒为8,试l 2探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？如存在,求出双曲线E 的方程；如不存在,说明理由【解析】 解法一：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于双曲线E的渐近线分别为y2x,y2x,所以b2所以c2a2 a2,ll1xa从而双曲线E的离心率ec5a 由知,双曲线E 的方程为2 x2 y1a24a2设直线 l 与 x 轴相交于点C y当 lx轴时,如直线l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,就OCa AB4a,ABl 2又由于OAB的面积为

22、 8,所以1 2OCAB8,OC因此1 2a4a8,解得a2,此时双曲线E的方程为2 xy21416如存在满意条件的双曲线E ,就 E 的方程只能为x22 y1416以下证明：当直线l 不与 x 轴垂直时,双曲线E ：2 xy21也满意条件416设直线 l 的方程为 ykxm ,依题意,得k2或k2,就Cm,0记A x 1,y 1,B x 2,y 2k由ykxm,得y 12m,同理得y22 my2x2k2k由SOAB1OCy 1y 2得,21m2m2m8,即2 m4 4k24k242k2k2k1由ykxm得y 12m,同理得y22my2 x2k2k由于4k20,所以42 k m44k2m216

23、164k2m216,又由于m24k24,所以0 ,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ,且 E 的方程为2 x2 y416解法二： 同解法一名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由知,双曲线E 的方程为2 x2 y1a24a2设直线 l 的方程为 xmyt ,A x 1,y 1,B x2,y2a240,依题意得1m1,22由xmyt,得y 112tm,同理得y212 ty2 x22m设直线 l 与 x 轴相交于点C ,就C t,0由SOAB1OCy 1y 28,得1

24、2t12 t12tm8,22 m2所以t24 14 m2414m2xmyt,由x2y21得,4m21y28 mty44t2a20a242 a由于42 m10,直线l与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当642 m t2164m21 t22 a0,即42 m a2t2a20,即42 m a2414m2a20,即14 m2所以a242 x2 y1因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为416解法三： 同解法一名师归纳总结 当直线 l 不与 x轴垂直时,设直线l 的方程为ykxm,A x 1,y 1,B x 2,y2第 10 页,共 26 页依题意得k2或k2,由y2kx2m,

25、得,4k2x22 kmxm20,4xy04,由于4k20,0,所以x x 242 m,k2又由于OAB的面积为 8,所以1 2OAOBsinAOB8,又易知sinAOB5所以22 x 12 y 12 x 2y28,化简x x 2452所以42 m24,即m24k24k由得双曲线 E 的方程为2 xy21,2 a4a2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xkxm,21.由x2y21得,4k2x22kmxm24 a20,1）a242 a由于4k20,直线l与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当2 4 k m44k2m24a20,即 k24a240,所以a2

26、4,所以双曲线E的方程为2 xy21416当 lx轴时,由OAB的面积等于8 可得 l ：x2,又易知 l ：x2与双曲线 E ：x22 y1有且只有一个公共点416综上所述,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为x2y2416（2022 福建文 6）x2y324的圆心,且与直线xy10垂直,就 l 的方程是（已知直线 l 过圆Axy20Bxy20Cxy30Dxy30【解析】 D22.（2022 福建文 21）已知曲线 上的点到点F0 1, 的距离比它到直线y3的距离小 2. 求曲线 的方程；曲线 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A ,直线 y 3 分别与直线 l 及

27、 y 轴交于点 M , N ,以 MN 为直径作圆 C ,过点 A 作圆 C 的切线, 切点为 B ,摸索究： 当点 P 在曲线 上运动（点 P 与原点不重合）时,线段 AB 的长度是否发生变化？证明你的结论 . 【解析】 本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,考查运算求解才能、推理论证才能,考查数形结合思想、函数与方程思想、特别与一般思想、化归与转化思想,满分 12 分解法一： 设S x,y为曲线 上任意一点,yy11的距离相等,依题意,点S 到F0 1, 的距离与它到直线所以曲线 是以点F0 1, 为焦点、直线为准线的抛物线,所以曲线 的方程为x24y 解法二： 设S x,y为曲线上任意一点,3的上方,所以y3,就y 3x02y122依题意,点S x,y只能在直线y所以x02y2 1y1化简得,曲线的方程为x24y 当点