2022年人教版数学必修四三角函数复习讲义.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 学问要点 角的概念的推广 ：平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形；按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角 叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角；射线的起 始位置称为始边,终止位置称为终边；象限角的概念 ：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负 半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角；假如 角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限；终边相同的角的表示 ：终 边 与 终 边 相 同 的 终

2、边 在 终 边 所 在 射 线 上 2 k k Z ；留意：相等的角的终边肯定相同,终边相同的角不肯定相等 . 终边在x 轴上的角可表示为：k , k Z ；终边在 y 轴上的角可表示为：k , k Z ；2终边在坐标轴上的角可表示为：k , k Z . 2 1=0.01745 角 度 与 弧 度 的 互 换 关 系 ： 360=2 180= 1=57.30 =57 18留意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度 数为零 . 与 2 的终边关系 ：任意角的三角函数的定义: 的终边上的任意一点（异于原设是任意一个角,P , x y 是点）,它与原点的距离是rx22 y00,那么 s

3、inxy,cosx r,y0；rtany,x0, cotxy, secr x, cscr0xyy三角函数值 只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关；名师归纳总结 三角函数线的特点：正弦线 MP“ 站在 x 轴上起点在 x 轴上 ”、余弦线第 1 页,共 22 页OM“ 躺在 x 轴上起点是原点 ”、正切线 AT“ 站在点A1,0处起点是 A ”同角三角函数的基本关系式：1. 平方关系：sin2cos21,1tan22 sec,1cot2csc2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 倒数关系： sin精品资料欢迎下载=1, csc =1,cos

4、sec =1,tan cot3. 商数关系：tansin,cotcos sin3.熟识公式的变形cos留意： 1.角的任意性；2.同角才可使用；形式；三角函数诱导公式：“ （k）” 记忆口诀 : “奇变偶不变,符号看2象限”典型例题例 1求以下三角函数值：（1）cos210o；2sin5 4例 2求以下各式的值：（1）sin4；2cos60o3sin210o 例 3化简sin1440cos1080cos180sin180例 4 已 知 cos + = 1 ,23 a b B. a b c C. a c b D. b c a18. 如 是第四象限角,就 是（）A 第一象限 B.其次象限 C. 第

5、三象限期 D.第四象限19.如 sin 3 cos 0,就 cos2 cos20.sin 9 tan 7 = _4 32sin的值为. 4 的角终边,终边3sin21.如是其次象限的角,就2 是第象限的角；22.如角的终边与80,2上终边与5 角的终边相同,就在相同的角为；23.终边在x轴上的角的集合为在y轴上的角的集合为,终边在坐标轴上的角的集合为1x,如sin22,求；fcos的值；24. 已知fx1xfcos1,求cotcos的值. 25. 已知sin2名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 26. 已知：sinc

6、os1精品资料3欢迎下载sin4cos4的值；,求sincos3和227. 如 cos 2 3, 是第四象限角,求sin2sin3 cos3 的coscos cos4值其次讲 三角函数的图像与性质名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1函数yAsinx精品资料A欢迎下载0）B（其中0,函数ysinxycosxytanx图象定义域RRx x2k,kZ值域 1,1 1,1RZ奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正2； T22； T2； 周期对称轴x2k,kZxk,kZ无对称k,0,kZ2k,0,kZk,0,kZ中心2单调递22k,

7、22k,kZ2k,2k,kZ2k,2k,k增区间单调递22k,32k,kZ2k,2k,kZ无减区间2最大值是AB,最小值是BA,周期是T2,频率是f2,相 位 是x, 初 相 是； 其 图 象 的 对 称 轴 是 直 线xk2kZ,凡是该图象与直线yB的交点都是该图象的对称中心；2由 ysinx 的图象变换出ysin x的图象一般有两个途径,只有区分开这两个途径,才能敏捷进行图象变换；3由 yAsin x的图象求其函数式：4五点法作 y=Asin（ x+ ）的简图：典例解析名师归纳总结 例 1（2000 全国, 5）函数 yxcosx 的部分图象是（）第 7 页,共 22 页- - - - -

8、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载例 2试述如何由 y= 1 sin（2x+ 3 ）的图象得到 y=sinx 的图象；3例 3（2003 上海春, 15）把曲线 ycosx+2y1=0 先沿 x 轴向右平移2个单位,再沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到的曲线方程是（）A（1y）sinx+2y3=0 B（y1）sinx+2y3=0 C（y+1）sinx+2y+1=0 Dy+1sinx+2y+1=0 例 4（ 2003 上海春, 18）已知函数 f（x）=Asin（ x+）（ A0,0,xR）在一个周期内的图象如下列图,求直线 y= 3 与函数 f（x）

9、图象的所有交点的坐标；例 5（ 1）已知f（x）的定义域为 0,1,求f（cosx）的定义域；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（2）求函数 y=lgsin（cosx）的定义域；例 6求以下函数的单调区间：名师归纳总结 （1）y=1 sin（2 42x ）；（ 2）y=sin（x+ 3 ）；4第 9 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载例 7关于 x 的函数 f（x）=sin（x+）有以下命题：对任意的,f（x）都是非奇非偶

10、函数；124,；不存在,使 f（x）既是奇函数,又是偶函数；存在,使 f（x）是奇函数；对任意的,f（x）都不是偶函数；其中一个假命题的序号是. 例 8设fxasinxbcosx0 的周期 T,最大值f（1）求、 a 、 b 的值； 的值（2）如、为方程f x0 的两根,、终边不共线,求tan例 9函数 y2sin1cosx的最大值是（）xA 2 2 1 B2 1 2C122 D 1 22课后练习名师归纳总结 1 、y3sin2x4的 最 小 正 周 期 是、 对 称 轴第 10 页,共 22 页是、 单 调 递 增 区 间是、 单 调 递 减 区 间- - - - - - -精选学习资料 -

11、 - - - - - - - - 是精品资料欢迎下载、 相 位； 振 幅 是是、初相是；用五点法作出该函数的图象；并说明该函数怎样由 y sin x 变化而来；2、求 y 3sin2 x , x , 的单调递减区间；4 2 23、比较大小 cos8 ,sin 67 ,sin 6；tan1, tan2, tan34、求y3sin2x3,x6,6的最大值、最小值及对应的x 的取值范围；5、求y3 sin2x3,x6,6,a0的最值及对应的x 的取值；6、如y2 sin2x3b x0,2的最大值是 1,最小值是5,求 a, 的值；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 22 页精选

12、学习资料 - - - - - - - - - 7、为了得到y3 sin 26精品资料欢迎下载y3sin2x3的图象向的图象,只须将平移个单位；8、定义在 R 的函数 f x ,对任意 x R都有 f x 21 f f x 1；（1）证明 f x 是周期函数；（ 2）如 f 1 2,求 f 2022；9、如 y A sin x B A 0, 0, ,在其一个周期内的图象上有2一个最高点 ,3 和一个最低点 7, 5,求这个函数的解析式；12 1210、求f x 2cos2x2 sinxb1,x6,5的值域26第三讲 三角函数两角和公式两角和公式sinA+B = sinAcosB+cosAsinB

13、 sinA-B = sinAcosB-cosAsinB 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载cosA+B = cosAcosB-sinAsinB cosA-B = cosAcosB+sinAsinB tanA+B =tanAtanBtanA-B =tanAtanB1-tanAtanB1tanAtanBcotA+B =cotAcotB-1cotA-B =cotAcotB1cotBcotAcotBcotA倍角公式tan2A = 2tanA2 Sin2A=2SinA.CosA 1 tan Acos2A

14、= Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4sinA 3 cos3A = 4cosA 3-3cosA tan3a = tana tan 3+a tan 3-a 半角公式sinA = 21cosA10cosA = 21cosA11cosA22cotA = 2tan A =2tan A = 1 cos2 sin A1cosAA1cos A1cos AA=1sinAcostana2万能公式cosa= sina=2tana22 a2 a2tana=1tansin20;2sin75cos75.1tan222tana2 a2tan12例

15、1. 求值：（ 1）2cossin70sin75cos75名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载例 2. 已知 3sinsin（2）且 tan1,求 tan（）例 3. 已知方程x 24ax3a10（a1）的两根分别为tan,tan 且 ,（, ,求 sin 2（）sin（）cos（）2cos2（2 2的值. 例 4. 1 化简 sin 2 A B2 cos A B ;sin A4 12 已知、为锐角 , cos , tan , 求 cos 的值 .5 3名师归纳总结 - - - - - - -第

16、14 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5. （1）假如方程x2精品资料c0c欢迎下载bx1的两根为 tan 、tan ,求sin2bsincosccos2的值；（ 2 ） 在 非 直 角 ABC tanA tanB tanC中 , 求 证 ： tanA tanB tanC 例6.3tan10.1,化cos简1sin7cos 15sin8.insin7sin15s822sin50sin80112sin50cos50cos1,、 都是锐角,求 tan例 7.已知sinsin32（）的值名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 22 页精选学习资

17、料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载课后练习1挑选题D1sin7cos37sin83sin37的值为C1 223 D3233A23的值为B122221tan75CDtan75A23B2333如sin2xsin3xcos2xcos3 x,就x 的值是4A10B6C52填空题4如cos1 5,3, 2,就sin3_.253tan15_._.13tan156sinsincoscos3解答题7 化简tantan603tantan60.2,2,求cos的值.8已知cos1,cos11,且,07149如sinsinsincoscoscos0,求cos的值.名师归纳总结 - - - -

18、 - - -第 16 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第四讲 三角函数复习一、学问点整理与归纳 : 1、角的概念的推广、角的集合的表示、角的度量制与换算换 算 关 系 : ： 180 弧度 , 弧 长 公 式 : l r, 扇 形 面 积 公式: S 1lr 1r 22 22 、 三 角 函 数 的 定 义 熟 记 三 角 函 数 在 各 象 限 的 符 号 ：sin y ,cos x ,tan yr r x3、三角函数线及简洁应用（判定正负、比较大小,解方程或不等式等）4、正弦函数ysinx 、余弦函数ycosx、正切函数ytanx 的图像

19、和性质：5、函 数xyx2x0 232yAsinAsin x0 A 0 -A 0 的图像和性质：作图经常用两种方法：五点法：图象变换法：ysinx1ysinxysinxyAsinxf该函数2ysinxysixx6、结合函数yAsinxB（其中A0,0）的简图可知：T2,频率是2,的最大值是AB,最小值是BA,周期是相位是x,初相是；7、几组重要公式一）同角三角函数的基本关系式：名师归纳总结 1）平方关系：sin2cos21；1tan21cos2112第 17 页,共 22 页cos2tan2）商式关系：sintan；sin =tan coscos二）诱导公式： “奇变偶不变,符号看象限”；-

20、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载三）和角公式和差角公式：S ：sinsincoscossintantantanS ：sinsincoscossinC：coscoscossinsinC：coscoscossinsinT ：tantantan,T ：1tantan1tantan四 ） 二 倍 角 公 式 ： sin 22sincos,cos2cos2sin2,tan 212 tan2a2b2sin （ ） tan五 ） 合 一 变 形 公 式 ：asin bcosa2b2cos（）cos2,sin cos 2 六 ） 降 次 公 式 ：co

21、s21cos2,sin21221 sin2 七）正弦定理：aAbBcC2R及其变形公式有：）sinsinsin（1）a2RsinA ,b2RsinB ,c2RsinC；（2sinAa,sinBb,sinCc；2R2R2RA及其变形：cosAb2c2a2等；（3） sinA:sinB:sinCa b c等八）余弦定理：a2b2c22bccos2bc九）三角形面积公式：SABC1ah1bcsinA1absinC1acsinB 22228、利用正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下四 类解斜三角形问题：（1）已知两角和任一边,求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角,求另一边的对

22、角,从而进一步求其它的边和角,（3）已知三边求三内角；（4）已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个内角；9、解斜三角形的应用题的解题步骤：（1）分析属于哪种类型的问题（如：测量距离、高度、角度等）；（2）依题意画出示意图,并把已知量标在示意图中；（3）最终确定用哪个定理转化、哪个定理求解,并进行求解；（4）检验并作答 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载典型例题：例 1、定义在区间0,2上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 PP1x 轴于点 P

23、1,直线 PP1与 y=sinx 的图像交于点 P2,就线段 P1P2 的长为 _；例 2、已知43,04,cos43,sin35,求45413sin + 的值；例3 、 已 知 电 流I与 时 间t的 关 系 式 为I 300IAsint；A|2）在一-1 900o1t（）右图是IA sint（0, |180个周期内的图象,依据图中数据求Isint的-300解析式；（）假如 t 在任意一段1 150秒的时间内,电流IAsint都能取得最大值和最小值,那么 的最小正整数值是多少？例 5、已知函数f x =23sinxcosx2 2cosx1 xR ；名师归纳总结 - - - - - - -第

24、19 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1求函数精品资料欢迎下载2上的最大值和最小值：f x 的最小正周期及在区间0,2如f x06,x 04,2,求cos2x 的值；5课后作业1、设 是其次象限角, Px,为其终边上一点,且 cosx,就 sin的值 . 2 、 已 知 是 锐 角 , 且 10 与 的 终 边 相 同 , 就 角 的 大 小为 . 3、满意 sin ,且0, 的角 的集合是 _4 、 已 知 tan , 就 sin 2 2sin cos 4cos 2 的 值为 . 5、已知 cos,且 是第四象限角,就 cos3的值为 . 6、函数 ytan

25、xsinx|tanxsinx|在区间 ,内的图象大致是 7、已知 sin、cos 是方程 3x 22xa0 的两根,就实数 a 的值名师归纳总结 为. 第 20 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8、函数y2tan3精品资料欢迎下载3 x 的单调递减区间是49、如 sinsin 21,就 cos2cos4 的值为 . 10、已知 fx2sin x00,|2 的图象向左平移个单位长度,就得到偶函数图象,求满意题意的 的全部可能的值15、已知函数fx sinxcosx3cos 2 x3.33（1）将 fx写成AsinxB 的形式,（ 2）求其图象对称中心；名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载k 的取16、（1）已知关于 x 的方程 sink 在0, 上有两解,求实数 值范畴（2）设关于 x 的方程 sin在内有两个不同根 及 k 的取值范畴、,求 的值名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 22 页