2022年初中数学抛物线与几何专题训练及答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载全国各地中考试题压轴题精选讲座抛物线与几何问题【学问纵横】抛物线的解析式有以下三种形式：1、一般式：y ax 2bx c a 0；2、顶点式： y =ax h 2-k；3、交点式： y=ax x 1xx 2 ,这里 x 1、x 2 是方程 ax 2 +bx+c=0 的两个实根；解函数与几何的综合题,善于求点的坐标,进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素,数形互动,把证明与运算相结合是解题的关键；【典型例题】【例 1】 浙江杭州 在直角坐标系xOy 中,设点 A （0,t）,点 Q（ t,b）；平移二次函数ytx2的

2、图象,得到的抛物线F 满意两个条件： 顶 点 为Q ； 与x轴 相 交 于B , C两 点（ OB OC ）,连结 A,B；（1）是否存在这样的抛物线F,F OA2OBOC？请你作出判定,并说明理由；（2）假如 AQ BC,且 tan ABO=3 ,求抛物线 2对应的二次函数的解析式；2【 思路点拨 】（1）由关系式 OA OB OC 来构建关于 t、b 的方程； 2 争论t 的取值范畴,来求抛物线 F 对应的二次函数的解析式；2【例 2】 江苏常州 如图 , 抛物线 y x 4 x 与 x 轴分别相交于点 B、O,它的顶点为名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页精选

3、学习资料 - - - - - - - - - A, 连接 AB,把 AB所的直线沿学习必备欢迎下载O,得到直线 l, 设 P是直线 l 上一y 轴向上平移 , 使它经过原点动点 .（1）求点 A 的坐标 ; （2）以点 A、B、O、 P为顶点的四边形中 , 有菱形、等 腰梯形、直角梯形 , 请分别直接写出这些特别四边形的顶点 P的坐标 ; S, （3）设以点 A、B、O、P为顶点的四边形的面积为 点 P的横坐标为 x, 当 4 6 2 S 6 8 2 时, 求 x 的取值 范畴 . 【思路点拨 】（3）可求得直线 l 的函数关系式是 y=-2x ,所以应争论当点 P 在其次象限时,x0 这二种

4、情形；【例 3】（浙江丽水） 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A坐标为（2,4）,直线x2与 x 轴相交于点 B ,连结 OA ,抛物线yx2从点 O 沿 OA方向平移,与直线xx2交于x点 P ,顶点 M 到 A 点时停止移动（1）求线段 OA所在直线的函数解析式；yM A （2）设抛物线顶点M 的横坐标为 m , 用 m 的代数式表示点P 的坐标；P 当 m 为何值时,线段PB 最短；（3）当线段 PB 最短时,相应的抛物线上是否存在点Q ,使B QMA 的面积与PMA的面积相等,如存在,恳求出点Q 的坐标；如不存在,请说明理由O 2【思路点拨 】（ 2）构建关于PB的二次函数,求此函数

5、的最小值；（3）分当点 Q 落在直线 OA 的下方时、当点Q 落在直线 OA的上方时争论；【 例4 】（ 广 东 省 深 圳 市 ） 如 图1 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 二 次 函 数名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - yax2bxca学习必备欢迎下载0 的图象的顶点为 D 点,与 y 轴交于 C 点,与 x 轴交于 A、B 两点,B 点的坐标为（ 3,0）,OBOC ,tanACO 1 3A 点在原点的左侧,（1）求这个二次函数的表达式（2）经过 C、D 两点的直线,与 x 轴交于点 E,在该抛物

6、线上是否存在这样的点 F,使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？如存在,恳求出点 F 的坐标；如不存在,请说明理由（3）如平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点,且以MN 为直径的圆与x 轴相切,求该圆半径的长度（4）如图 2,如点 G（2,y）是该抛物线上一点,点P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点,当点P 运动到什么位置时,APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和APG的最大面积 . EAOyBxAOyBxC C GD D图 9 图 10【思路点拨 】（2）可先以 A 、C、 E、F 为顶点的四边形为平行四边形时,求 F 点的坐标,再代入抛物线的表达式检验；（3）

7、争论当直线 MN 在 x 轴上方时、当直线 MN在 x 轴下方时二种情形； （4）构建 S 关于 x 的二次函数,求它的最大值；【例 5】（山东济南） 已知：抛物线yax2bxc a 0,顶点 C 1,3 ,与 x 轴交名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 于 A、B 两点,A 10, 学习必备欢迎下载（1）求这条抛物线的解析式（2）如图,以 AB 为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A、D、B、E,点 P 为线段 AB 上一个动点 P 与 A、B 两点不重合 ,过点 P 作 PMAE 于 M

8、,PNDB 于 N,请判定PM BEPN是否为定值 . 如是,恳求出此定值；如不是,请说明理由x AD（3）在 2的条件下,如点 S 是线段 EP 上一点,过点 S 作 FG EP ,FG 分别与边AE、BE 相交于点 F、GF 与 A、E 不重合, G 与 E、B 不重合 ,请判定 PA EF 是否成PB EG立如成立,请给出证明；如不成立,请说明理由【思路点拨 】（2 ）证 APM ABE,PM APBE AB同理 : PN PB（3）证 PH= BH 且 APM PBHAD ABy E M 再证 MEPEGF可得；A O P B D N C 【学力训练】1、（广东梅州） 如下列图,在梯形

9、 ABCD 中,已知 AB CD, ADDB,AD=DC =CB,AB=4以AB 所在直线为 x 轴,过 D 且垂直于 AB 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系（1）求 DAB 的度数及 A、D、C 三点的坐标；（2）求过 A、D、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴 L名师归纳总结 （3）如 P 是抛物线的对称轴L 上的点, 那么使第 4 页,共 21 页PDB 为等腰三角形的点P 有几个 .（不必求点P- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载的坐标,只需说明理由）2、（广东肇庆） 已知点 A（a,y ）、B（2a,y 2）、C（3a,y3

10、）都在抛物线y5x212x上. （1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）当 a=1 时,求ABC 的面积；（3）是否存在含有 y 、 y 2、y3,且与 a 无关的等式？假如存在,试给出一个,并加以证明；假如不存在,说明理由 . 3、（青海西宁） 如图,已知半径为 1 的 O 与 x 轴交于 A,B 两点, OM 为 O 的2切线,切点为 M ,圆心 O 的坐标为 2 0, ,二次函数 y x bx c 的图象经过 A,B 两点（1）求二次函数的解析式；AO y A M O1 B x （2）求切线 OM 的函数解析式；（3）线段 OM 上是否存在一点P ,使得以 P, ,为顶点的三角形与OO

11、 M相像如存在,恳求出全部符合条件的点P 的坐标；如不存在,请说明理由4、（辽宁 12 市） 如图,在平面直角坐标系中,直线y3x3与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交于点 C ,抛y 物线yax22 3xc a0经过 A, ,C三点3（1）求过 A, ,C三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ,使ABP为直角三角形,A O F B x 如存在,直接写出P点坐标；如不存在,请说明理由；（3）摸索究在直线AC 上是否存在一点M ,使得MBFC 的周长最小,如存在,求出M 点的坐标；如不存在,请说明理由5、（四川资阳） 如图,已知点A 的坐标是（ 1, 0）,点B

12、的坐标是（ 9,0）,以 AB 为直径作 O ,交 y 轴的负半轴于 点 C,连接 AC、BC,过 A、B、C 三点作抛物线（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是 AC 延长线上一点, BCE 的平分线 CD 交 O于点 D,连结 BD,求直线 BD 的解析式；（3）在（2）的条件下, 抛物线上是否存在点 P,使得 PDB CBD.假如存在,恳求出点 理由P 的坐标；假如不存在,请说明名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载6、（辽宁沈阳） 如下列图,在平面直角坐标系中,矩形ABOC 的边 BO 在

13、x 轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且AB1,OB3,矩形 ABOC 绕点 O 按顺x 时针方向旋转60 后得到矩形 EFOD 点 A 的对应点为点E ,点 B 的 对 应 点 为 点 F , 点 C 的 对 应 点 为 点 D , 抛 物 线y y2 a xb xc过点 A, ,DA F E D （1）判定点 E 是否在 y 轴上,并说明理由；C （2）求抛物线的函数表达式；B O （ 3 ） 在 x 轴 的 上 方 是 否 存 在 点 P , 点 Q , 使 以 点O, , ,Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形 ABOC 面积的 2 倍,且点 P 在抛物线上,如存在,恳求出点 P ,

14、点 Q 的坐标；如不存在,请说明理由7、（苏州市） 如图,抛物线 yax1x5与 x 轴的交点为 M、 N直线 ykxb 与 x 轴交于 P2,0,与 y 轴交于 C如 A、B 两点在直线ykxb 上,且 AO=BO=2 ,AOBOD 为线段 MN 的中点, OH 为 Rt OPC 斜边上的高1OH 的长度等于 _；k_,b_；2是否存在实数a,使得抛物线yax1x5上有一点 E,满意以 D、N、E 为顶点的三角形与 AOB 相像 .如不存在,说明理由；如存在,求全部符合条件的抛物线的解析式,同时探究所求得的抛物线上是否仍有符合条件的E 点简要说明理由 ；并进一步探索对符合条件的每一个E 点,

15、直线NE 与直线 AB 的交点 G 是否总满意PB PG102,写出探究过程y名师归纳总结 P-2AMC HBDNx第 6 页,共 21 页O- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载抛物线与几何问题的参考答案【典型例题】名师归纳总结 【例 1】 浙江杭州 （1） 平移ytx2的图象得到的抛物线F 的顶点为 Q , 第 7 页,共 21 页 抛物线 F 对应的解析式为:ytxt2b. 抛物线与 x 轴有两个交点,tb0. 令y0, 得OBtb ,tOCtb, t|OB|OC|tb tb| t2b|t2OA2, ttt即t2b tt2, 所以当

16、b2t3时, 存在抛物线 F 使得|OA2 |OB|OC|.- 2 分2 AQ /BC, tb, 得 F : ytxt2t, 解得x 1t,1x 2t1. 在 RtAOB中, 1 当t0时,由|OB|OC|, 得Bt,10, 当t10时, 由tanABO3|OA|tt1, 解得t3, 2|OB|此时 , 二次函数解析式为y3x218x24; 当t10时, 由tanABO3|OA|tt1, 解得 t3 , 52|OB|此时,二次函数解析式为y3x2+18 x + 2548 . 12552 当t0时, 由|OB|OC|, 将t 代 t , 可得 t3, t3, 5（也可由x 代 x ,y 代 y

17、得到）所以二次函数解析式为y3x2+18 x 2548 或 125y3x218x24. 5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 2】 江苏常州 （1）y学习必备4x欢迎下载224x2xA-2,-4 （2）四边形 ABP1O为菱形时, P1-2,4 四边形 ABOP 2为等腰梯形时,P12,54 y=-2x-8,所以直线 l 的函数关系式是5四边形 ABP3O为直角梯形时,P14, 5 5四边形 ABOP 4为直角梯形时,P16 ,512 5（3）由已知条件可求得AB 所在直线的函数关系式是y=-2x 名师归纳总结 当点 P在其次象限时,x0, 4A

18、x第 9 页,共 21 页过点 A、P 分别作 x 轴的垂线,垂足为A 、 P就四边形 POAA 的面积S POAAS 梯形PPAASP PO42xx2 12 x x4x22 AAB 的面积SA AB14242SS POAASA AB4x8x0462S682,S462即4x8462x3222S6824x8682S4212x 的取值范畴是322x42122kx,【例 3】（浙江丽水） （1）设 OA 所在直线的函数解析式为y A （2,4）,y2k4, k2, OA所在直线的函数解析式为y2 x（2）顶点M 的横坐标为 m ,且在线段 OA 上移动,M P y2 m （0 m 2） . O xB

19、 顶点 M 的坐标为 m ,2m.2抛物线函数解析式为yxm 22 m .（第 24 题）当x2时,y2m 22m2 m2m4（0 m 2）.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点P的坐标是（ 2,m 22 m 4）. PB =2 m2m4=m123, 又 0 m 2,2.当m1时, PB最短（3）当线段 PB最短时,此时抛物线的解析式为yx12假设在抛物线上存在点Q ,使SQMASPM A. 设点 Q 的坐标为（ x ,x22x3）. 当点 Q 落在直线 OA的下方时,过PB3,AB4,P 作直线 PC / AO ,交 y 轴于点 C

20、 ,AP1,OC1, C 点的坐标是（ 0,1）. .E yM A D x点 P 的坐标是（ 2,3）,直线 PC 的函数解析式为y2x1P SQMASPMA,点 Q 落在直线y2x1上. x22x3=2x1 . 解得x 12,x 22,即点 Q （2, 3）. O C xB 2点 Q 与点 P 重合 . 此时抛物线上不存在点Q ,使 QMA 与APM 的面积相等 . 当点 Q 落在直线 OA的上方时,作点 P 关于点 A 的对称称点 D ,过 D 作直线 DE /AO ,交 y 轴于点 E ,名师归纳总结 AP1,EODA1, E 、 D 的坐标分别是（0,1）,（ 2,5）,第 10 页,

21、共 21 页直线 DE 函数解析式为y2x1.SQMASPMA,点 Q 落在直线y2x1上. x22x3=2x1. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得：x 122,x 22学习必备欢迎下载2. 代入y2x1,得y 152 2,y252 2.22,52222此时抛物线上存在点Q 122,522,Q22使 QMA 与PMA 的面积相等 . 2,522,Q225,综上所述,抛物线上存在点Q 12使 QMA 与 PMA 的面积相等 .【例 4】（广东省深圳市） （1）方法一：由已知得：将 A、B、C 三点的坐标代入得abc009a3 bca1c32x3解得

22、：b2x2c3所以这个二次函数的表达式为：y（2）存在, F 点的坐标为（ 2, 3）C（0, 3）,A（ 1,0）易得 D（1, 4）,所以直线CD 的解析式为：yx3E 点的坐标为（3, 0）以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形F 点的坐标为（ 2, 3）或（ 2 ,3 ）或（ 4,3）代入抛物线的表达式检验,只有（2, 3）符合存在点 F,坐标为（ 2, 3）（3）如图,当直线MN 在 x 轴上方时,设圆的半径为R（R0）,就 N（R+1,R）,N代入抛物线的表达式,解得R1217y1R当直线 MN 在 x 轴下方时,设圆的半径为r（r0）,MR名师归纳总结 AMO1rrNBx

23、第 11 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载就 N（r+1, r）,代入抛物线的表达式,解得r1217x2x2圆的半径为1217或1217（4）过点 P 作 y 轴的平行线与AG 交于点 Q,易得 G（2, 3）,直线 AG 为yx1设 P（x,x22x3）,就 Q（x, x1）,PQSAPGSAPQSGPQ1x2x2 3272当x1时, APG 的面积最大2此时 P 点的坐标为1,15,SAPG 的最大值为248【例 5】（山东济南）1 设抛物线的解析式为ya x2 139 4将 A1,0代入 : 0a 12 13a

24、34 抛物线的解析式为y3 4x2 13,即：y3x23x42（2）是定值,PMPN1BEAD AB 为直径,AEB=90 , PMAE, PM BE APM ABE,PMAPBEAB同理 : PN ADPB + :PMPNAPPB1ABBEADABAB（3） 直线 EC 为抛物线对称轴,EC 垂直平分 AB EA=EB AEB=90 AEB 为等腰直角三角形 EAB=EBA=45 . 7 分名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如图,过点学习必备欢迎下载P 作 PHBE 于 H,由已知及作法可知,四边形 PHEM

25、是矩形,PH=ME 且 PH ME在 APM 和 PBH 中 AMP =PHB =90 , EAB= BPH=45 PH=BH且 APM PBHPAPMPMPBBHPAPMPBPHME在 MEP 和 EGF 中, PEFG, FGE+SEG=90 MEP +SEG=90 FGE =MEP PME =FEG=90 MEP EGFPM MEEFEFEG由、知：PAPBEG【学力训练】1、（广东梅州）（1）DC AB, AD=DC=CB,CDB =CBD =DBA,DAB= CBA,DAB=2DBA,DAB+DBA=90,DAB=60,DBA=30,AB=4,DC=AD=2,Rt AOD ,OA=1

26、, OD= 3 ,A（-1,0）,D（0,3 ）,C（2,3 ）（2）依据抛物线和等腰梯形的对称性知,满意条件的抛物线必过点 A（ 1, 0）,B（3,0）,名师归纳总结 故可设所求为y = a （ x +1）（x -3）a =3第 13 页,共 21 页将点 D（0,3 ）的坐标代入上式得,3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所求抛物线的解析式为y=学习必备欢迎下载3 .其对称轴 L 为直线 x =13x1 x3（3）PDB 为等腰三角形,有以下三种情形：L 仅有一个交点P1, P1D=P1B,因直线 L 与 DB 不平行, DB 的垂直平分线与P1

27、DB 为等腰三角形；由于以 D 为圆心, DB 为半径的圆与直线 L 有两个交点 P2、P3,DB=DP2,DB=DP3,P2DB,P3DB 为等腰三角形；与同理, L 上也有两个点 P4、P5,使得 BD =BP4, BD=BP5由于以上各点互不重合,所以在直线 L 上,使 PDB 为等腰三角形的点 P 有 5 个22、（广东肇庆） （1）由 5 x 12 x =0,（1 分）得 1x 0,2x 12抛物线与 x 轴的交点坐标为（0,0）、（12,0） （3 分）5 5（2）当 a=1 时,得 A（ 1,17）、B（2,44）、 C（3,81）,分别过点 A、B、C 作 x 轴的垂线,垂足分

28、别为D、E、F,就有SABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC81 1= 1781 2- 17441-44222=5（个单位面积）（3）如：y33 y2y12+36aB3 0, 事实上,y353a2123a=45a 2+36a3（y2y 1）=35 （2a）2+122a-（5a2+12a） =45aA , ,y33 y2y13、（青海西宁）（ 1）圆心O 的坐标为 2 0, ,O 半径为 1,1 分名师归纳总结 二次函数y3x2bxc 的图象经过点A,B,3第 14 页,共 21 页可得方程组1bc0x24x93 bc0解得：b4二次函数解析式为yc- - - - - - -精选

29、学习资料 - - - - - - - - - （ 2）过点 M 作 MF学习必备欢迎下载OM 是O 的切线,M 为切点,x 轴,垂足为F O MOM （圆的切线垂直于经过切点的半径）3y M O1B x 在RtOO M中,sinO OMO M1OO 12O OM 为锐角,O OM30P2 P1OMOO 1cos30233,O H A F 2在 RtMOF中,OFOMcos30333223k ,k3切MFOMsin 3031322点 M 坐标为3,322设切线 OM 的函数解析式为ykx k0,由题意可知223线 OM 的函数解析式为y3x3（3）存在过点 A作AP 1x 轴,与 OM 交于点1

30、P 可得RtAPORtMO O（两角对应相等两三角形相像）名师归纳总结 P AOAtanAOP 1tan303,P 11,33第 15 页,共 21 页3过点 A 作AP 2OM ,垂足为P ,过P 点作2P HOA ,垂足为 H 可得RtAP ORtO MO（两角对应相等两三角开相像）在RtOP A中,OA1,OP 2OAcos303,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在RtOP H中,OHOP 2学习必备欢迎下载33,cosAOP 23224P HOP 2sinAOP 231,3,P 23,342244符合条件的 P 点坐标有1,333 4,34

31、4、（辽宁 12 市）解：（1）直线y3x23与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交于点 C y A 1 0, ,C0,33点 A,C都在抛物线上,0a2 3ca333cc3抛物线的解析式为y3x2 3x3顶点F1,4 3333（2）存在P 10,3P 22,3（3）存在理由：解法一：名师归纳总结 延长 BC 到点 B ,使 B CBC,连接B F交直线AC于H A O F B x 点 M ,就点 M 就是所求的点过点 B 作 B HAB 于点 H B C 第 16 页,共 21 页M B 点在抛物线y3x22 3x3上,B3 0图 9 33在 RtBOC中,tanOBC3,3OBC30,BC2

32、 3,在 RtBB H中,B H1BB2 3,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BH3B H6,OH3学习必备欢迎下载,B 3,2 3设直线 B F 的解析式为ykxb3,10 32 33kbb解得k364 3kb3 332y3x3 362y33x3解得x310 3,M3,1 0373 3yxy77627在直线 AC 上存在点 M ,使得MBF的周长最小,此时M775、（四川资阳）1 以 AB 为直径作 O ,交 y 轴的负半轴于点C, OCA+ OCB=90,又 OCB+ OBC=90, OCA= OBC ,又 AOC= COB=90, AOC COB,OA OCOC OB又 A 1,0,B9 ,0,2 8 3图 101OC,解得 OC=3 负值舍去 OC9C0,3,设抛物线解析式为y=ax+1x 9,3=a0+10 9,解得 a= 1 3,二次函数的解析式为y= 1 3x+1x 9,即 y= 1 3xx