2022年八年级数学下册第十六章分式知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 分式的学问点解析与培优优秀学问点例 8：分式xx23 无意义,就x 的值为（）一、 分式的定义： 假如 A、B 表示两个整式,并且B中含1 x有字母,那么式子A 叫做分式；BA. 2 B.-1 或-3 C. -1 D.3 三、分式的值为零：二、 判定分式的依据: 例：以下式子中,x15y、 8a 2b、-9a 、235 ab、使分式值为零：令分子=0 且分母0,留意：当分子2xy等于 0 时,看看是否使分母=0 了,假如使分母=0 了,3 a24b2、2-2 、a1 、m5xy1 、x1 、2x221、3xy、那么要舍去；例 1：当

2、x 时,分式12 a 的值为 0.16ax3y、a1 中分式的个数为（m）例 2：当 x 时,分式x21的值为 0. A、 2 B、 3 C、 4 D、 5 x1练习题：（ 1）以下式子中,是分式的有 . 例 3：假如分式a2的值为零 ,就 a 的值为 （1）2x7； x1；5a2；2 xx2；a2A. 2B.2 C.-2 D.以上全不对23a例 4：能使分式x2x的值为零的全部x 的值是 （）5x2b2； . 2xxyy2（7）87x（8）y3x234x212A. x=0 B.x-1 C.x=0 或 x=1 D.x0或x1by （9）例 5：要使分式x2x25x96的值为 0,就 x 的值为

3、（）二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B 0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】A.3 或-3 B.3 C.-3 D 2 分式值为零的条件分子为零且分母不为零；【B 0 且 A=0 例 6：如a10,就 a 是 即子零母不零】a例 2. 留意：（x21 0）A.正数B.负数C.零D.任意有理数例 1：当 x 时,分式x15有意义；例 9：当 X= 时,分式xx2x12的值为零；2例 2：分式2x1中,当x_时,分式没有意义例 10：已知1 x-1 y=3,就5x3xy5y= ；2x例 3：当 x 时,分式x11有意义；x2xyy2例 4：当 x 时,分式x2x1有意义三、分式的基本

4、性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0 的整式,分式的值不变；例 5： x , y 满意关系时,分式x xy无意义；AACAACC0yBBCBBC例 6：无论 x 取什么数时, 总是有意义的分式是（）例 1：xyaby；6xyzz yz；Ax2x1B.x1C.3x1D.x25a3 y223 xx假如53 a15成立 ,就 a 的取值范畴是 _；2x例 7：使分式xx2有意义的x 的取值范畴为（）7 3 a2ab例 2：a 3b 3171bcbcaAx2Bx2Cx2Dx2例 3：假如把分式a2 b中的 a 和 b 都扩大 10 倍,那名师归纳总结 - - - - - - -ab第 1 页,

5、共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点么分式的值（）为正数,11x2= ；A、扩大 10 倍 B 、缩小 10 倍 C、是原先的20 倍 D、不变xx例 13. 不转变分式23x2xx3的值,使分子、分母例 4：假如把分式10x中的 x,y 都扩大 10 倍,就分式5 x32xy最高次项的系数为正数,就是（. ）；的值（）四、分式的约分：关键先是分解因式；分式的约分及最简分式：约分的概念：把一个分式的分子与分母的公 因式约去,叫做分式的约分 分式约分的依据：分式的基本性质分式约分的方法：把分式的分子与分母分解 因式,然后约去分子与分母的公因式约分的结果

6、：最简分式（分子与分母没有公 因式的分式,叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项 式的,主要分数字,同字母进行约分；A扩大 100 倍 B扩大 10 倍C不变 D缩小到原先的110例 5：假如把分式xxyy中的 x 和 y 都扩大 2 倍,即分式的值（）A、扩大 2 倍；B、扩大 4 倍； C、不变； D 缩小 2 倍例 6：假如把分式xy中的 x 和 y 都扩大 2 倍,即分式xy的值（）A、扩大 2 倍；B、扩大 4 倍； C、不变； D 缩小 2 倍例 7：假如把分式xxyy中的 x 和 y 都扩大 2 倍,即分式的值（）A、扩大 2 倍； B、扩大 4 倍；C、不变；

7、D 缩小 1 倍2例 8：如把分式 x 3 y 的 x、y 同时缩小 12 倍,就分式的2 x值（）其次类：分子分母是多项式的,把分子分母能 因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的 因式约去；A扩大 12 倍 B缩小 12 倍 C不变D缩小 6 倍例 1：以下式子 （1）xxy2x1y；（ 2）baab；x2yacca例 9：如 x、y 的值均扩大为原先的2 倍,就以下分式的y中正确选项 （）（3）ba1；（4）xy值保持不变的是（）abxyxy2 3A、3 x B、3 x2 C、3 x D、3 x22 y 2 y 2 y 2 y例 10：依据分式的基本性质,分式 a 可变形为 （）a bA

8、. a B. a C. a D. aa b a b a b a b例 11：不转变分式的值, 使分式的分子、 分母中各项系数都为整数,0 . 2 x 0 . 012；x 0 . 05A 、1 个 B 、 2 个 C、 3 个 D、 4 个例 2：以下约分正确选项（）A、xx 62 x 3； B、xx yy 0；C、x x2 yxy 1x；D、4 2x xy2y 212例 3：以下式子正确选项 A 2 x y 0 B. a y 1 C. y z y z2 x y a y x x xD. c d c d c d c d 0a a a例 4：以下运算正确选项（）例 12：不转变分式的值,使分子、分母

9、最高次项的系数A、aabaab B 、2 x41第 2 页,共 10 页x2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C、a2a D、1113名师总结；优秀学问点分为三种类型：“ 二、 三” 型；“ 二、 四” 型；“ 四、六”b2b2mmmm例 5：化简m2型等三种类型；3m的结果是（）9m2A.m3 B.m3 C.m3 D.“ 二、三” 型：指几个分母之间没有关系,最简公分mmmm例 7：约分：4x2y；3x = 母就是它们的乘积；6xy2x293 xy21；1 x5.0 6x1y3x5y；例如：x22xx2最简公分母就是x2 x2；3xyy

10、“ 二、四” 型：指其一个分母完全包括另一个分母,例 8：约分：a2a2444；4 xy最简公分母就是其一的那个分母；a2 16 xya ab ；xyaxay；例如：x222 xx4最简公分母 就是b ab xy 22 x2 yx22 x16；2 x9x24x2x28 x162 x6142 a bc3_5 abb“ 四、六” 型：指几个分母之间有相同的因式,同时也有特殊的因式,最简公分母要有特殊的；相同的都要有；3 21 a bc20a292 m_x2x2699_ m3x例 9：分式a2,aab2,124 ab,x12中,最简分式a232ba例如：2x2x22最简公分母是：2xx2有 A1 个

11、 B 2 个 C3 个 D4 个xx例 8. 分式4y3x,x21,2 xxxyy2 y,a22ab中是最这些类型自己要在做题过程中认真地去明白和应用,认真的去发觉之间的区分与联系；x41b24 aab2简分式的有（）；例 9. 约分：（1）x2x26x9；（2）m223m2例 1：分式m1n,m21n2,m2n的最简公分母 （）9mm例 10. 通分：（ 1）6x,y；Amnm2n2 Bm2n222 ab2 9 a bc（2）a2a211,a61Cmn 2mn Dm2n22例 2：对分式y,3x2,1通分时,最简公分母a例 11. 已知 x2+3x+1=0,求 x2+1的值2xy4xy是（）

12、x2A x2yB 例 12. 已知 x+1 x=3,求x4x21的值x2例 3：下面各分式：x21,xy2,x1,2 x2 xy2,四、分式的通分及最简公分母：通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；其次类：分母是多项式（要先把分母因式分解）名师归纳总结 - - - - - - -x2x2 xy2x1y其中最简分式有（）个；A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点例 4：分式a214,a4的最简公分母是. （3）已知：113,求2x3xy2y的值；2axyx2xyy例 5：分式 a 与1 b的最简公分

13、母为_ ；乘方例题：例 6：分式x212 y,x21的最简公分母为；运算：（1）2y23（2）2a5= xy3xb五、分式的运算：分式的乘,除,乘方以及加减分式的乘法：乘法法测：a bc = dac . bd（3）3y323= （4）b223= 2x2a分式的除法：除法法就：a bc = da bd = cad（5）a2b23ab4bc分式的乘方：求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘ba方,用式子表示就是a bn （6）a2a2aa12a12分式的乘方,是把分子、分母各自乘方. 用式子表示为：a1a1a bn=ann 为正整数 （7）已知：x210x25y30求2x2xy的值；nbxy28.

14、当分式x211-x21-x11的值等于零时,就分式的加减法就：同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减；异分母的分式相加减,先通分,变为同分母分式,然后再加减；a b a b a , c ad bc ad bcc c c b d bd bd bd混合运算 : 运算次序和以前一样；能用运算率简算的可用运算率简算；例题：x=_；9 已知 a+b=3, ab=1,就a b+b a的值等于 _；10.先化简,再求值:aa3-a6+3 a,其中a23 aa=3 2；运算：（1）26x225x4（2）aa18、分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减；1、同分母分式不用通分,分母不变,分子相

15、加减；2、异分母分式要先通分, 在变成同分母分式就可以了；通分方法：先观看分母是单项式仍是多项式,假如是 单项式那就连续考虑是什么类型,找出最简公分母,进行通分；假如是多项式,那么先把分母能分解的要 因式分解,考虑什么类型,连续通分；分类：第一类：是分式之间的加减,其次类：是整式 与分式的加减；15x639y7a（3）aaba2b2a4（4）x2x225x22ababa2x54（5）a2a214a1（6）6ab3 b24 aa22 a（7）xyx2xxyy82x25y10y3y26x21x2例 1：22n= 例 2：2 a23a24= （9）2 x2 x6191x x3102 aa214a1a

16、2mma21a21xx2x4 aa1求值题：（1）已知：x3,求x2x2y2y2xyy2的值；例 3：xyyyxx= y422 x例 4：x2yy2yx2x22xy2= xyxy（2）已知：x9yy3 x,求x2y2的值；x2y2例 5 运算：（1）m43m1x2y2名师归纳总结 - - - - - - -m3第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）aabbba（3） aa22 bb名师总结优秀学问点x2x2x2x22x411xxx12例 3：b a 2x2x2（4）52 a b2332 a b2582 a b.5例 4：12x43xx1例 5：1aba

17、bab2例 6：xyx2y2例 6：化简1 x+1 2x+1 3x等于（）x2yx24xy4y2例 7: x1x11311x2xx22x1xA2x B2x C6x D6x例 8：xx2xx2x414xx例 7：bca（ 2）2 a4a1222xabca 210、分式求值问题：（2）x3x23xx（4）xx3xx6x1例 1：已知 x 为整数,且x23+32x+2x18为整数,2 x93 23x求全部符合条件的x 值的和 . （5）2 aa12a2（6）a1aa1例2 ： 已 知x 2 , y 1 2, 求x24 2x242yy2 aa2411的值 . （7）x21x1 8abbb2ab2xyx

18、y例 3：已知实数x 满意 4x2-4x+l=O ,就代数式 2x+12xxa的值为 _a满 足a2 2a 8=0 , 求921xx244x1（10）a129+32a.例4 ： 已 知 实 数a11a3a22a1的值 . a21a24a32x2例 5：如x13求x4x221的值是（）例 8：运算a1aa1的结果是（）xxA1B1C1D181024例 6：已知1 x13,求代数式2x14xy2y的值A a11B a11C a2aa1D a1yx2xyy1例 7：先化简,再对a 取一个合适的数,代入求值例 9：请先化简：x12x2 x4,然后挑选一个使原式a1a3a2a6a92a3a224练习题：

19、有意义而又喜爱的数代入求值.（1）x2x284x,其中 x=5. 例 10：已知：x24x30求xx2x212x4的值；x164 x9、分式的混合运算：（2）a2a28 a16, 其中 a=5 16（3）a2a2abb2, 其中 a=-3 ,b=2 例 1：x2416x24xx42ab例 2：x11x3x22x1（4）a2a24 a14a1；其中 a=85；x21x24x3a2名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点个整式（最简公分母） ,把分式方程转化为整式方程；解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母

20、时,最简 公分母有可能为,这样就产生了增根,因此分式方 程肯定要验根；（5）xx2x2x14xx4,其中 x= -1 22x4 x（6）先化简,再求值：3xx+2x52.其中 x 2. 2x4（3）解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简；（7）aaba2a22 baaba2a2b2,1其中a2,b32 方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程；2ab3 3解整式方程；（8）先化简,112 xx1,再挑选一个你喜爱的数4 验根x例1 ： 如 果 分 式x1的 值 为 1 , 就x 的 值代入求值11、分式其他类型试题：2x1是；例 2：要使x51与x42的值相等, 就 x=_；例 1：观看下面一列

21、有规律的数：2 ,33 ,4 ,8 155 ,246 ,35例 3：当 m=_时,方程2 mxm1=2 的根为1 2. x7 , 依据其规律可知第 48个数应是（n 为正例 4：假如方程a21 3的解是x 5,就ax整数）；例 2：观看下面一列分式：1 , 22x x,4,8,16,.,根例 5：12x31 2 2x31x1x3x4x5xx3据 你 的 发 现 , 它 的 第8 项 是, 第n 项例 6: 解方程：x2x164x2是；x22x2例 3：当 x=_ 时,分式51x与210x互为相反数 . 例 7：已知： 关于 x 的方程1xa3x4无解, 求33x例 4：在正数范畴内定义一种运算

22、,其规章为a b a 的值；例 8：已知关于x 的方程xa1的根是正数,求11,依据这个规章x x1 3的解为（）x2ab2a 的取值范畴；Ax2Bx1Cx2或 1Dx2或1例 9：如分式x12与x2的 2 倍互为相反数,就所333x3例 5：已知xx44 ABxC,2xx24列方程为 _ ；就A_,B_,C_；例10 ： 当m 为 何 值 时 间 ？ 关 于 x 的 方 程x2m2xx1x1的解为负数？例6： 已知y3y72yA1yB2,就（）xx21y例 11：解关于 x 的方程bax2xaba0AA10,B13BA10,B13CA10,B13DA10,B13例12：解关于x的方例 7：已

23、知2x3y,求x2xyy22 xy2y2的值；程:x1x1a22a2a0ababb例 8：设mnmn,就11的值是 例 13：当 a 为何值时 , x1x2x2xa1 mnA.1B.0 C.1 D.1x2x12xmn的解是负数 . 12 、化为一元一次的分式方程：（ 1）分式方程：含分式,并且分母中含未知数的方程分式方程；例 14：先化简 ,再求值 :xxy 2x2y22x22,xyxy（ 2）解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其中 x,y 满意方程组x2y3xm名师总结

24、优秀学问点例 7：如方程x1xm4有增根,就 m的值是（）x4xy21 的解A4 B3 C-3 D1 例 15 知关于 x 的方程x1x例 8：如方程x32a42有增根,就增根可x2x12 xxx x为负值,求m的取值范畴；23x2 1 0能为（）A、0 B、2 C、0 或 2 D、1 练习题：15、分式的应用题： 1 x14x2416（1）列方程应用题的步骤是什么？ 1 审； 2 设；x1xx3 列； 4 解； 5 答3111 x315（2）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有X x2X 2X55x42x51四种：4a. 行程问题： 基本公式： 路程 =速度 时间而行程问题x5x62x

25、43x62中又分相遇问题、追及问题6x11x11b. 数字问题：在数字问题中要把握十进制数的表示2法c. 工程问题：基本公式：工作量=工时 工效7 x1231x2xd. 顺水逆水问题 : v顺水=v 静水+v 水 v逆水=v 静水-v水8 ）x1332x129工程问题：2 x（9）23211x3例 1：一项工程,甲需x 小时完成,乙需y 小时完成,x就两人一起完成这项工程需要_ 小时；13 、分式方程的增根问题：（ 1）增根应满意两个条件：一是其值应使最简公分母为 0,二是其值应是去分母后所的整式方程的根；（ 2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分 母,假如最简公分母的值不为 0,就

26、整式方程的解是原分 式方程的解；否就,这个解不是原分式方程的解；例 1：分式方程xx3+1=xm3有增根,就m= x 的方程例 2：当k 的值等于时,关于例 2：小明和小张两人练习电脑打字,小明每分钟比小张少打 6 个字,小明打 120 个字所用的时间和小张打 180 个字所用的时间相等； 设小明打字速度为 x 个/分钟,就列方程正确选项（）A. 120 180 B. 120 180x 6 x x 6 xC. 120 180 D. 120 180x x 6 x x 6例 3：某工程需要在规定日期内完成 , 假如甲工程队独xk324x不会产生增根；22mx3做, 恰好如期完成 ; 假如乙工作队独

27、做, 就超过规定日x3期 3 天 , 现在甲、乙两队合作2 天, 剩下的由乙队独做, 例 3：如解关于x 的分式方程x恰好在规定日期完成, 求规定日期 . 假如设规定日期x24x2会32为 x 天 , 下面所列方程中错误选项 产生增根,求m的值；xm会产生增根；A.2xx31B.2x33例 4：m 取时,方程xx3xx3 2 m23无解,就m例 5：如关于x 的分式方程xxC.1x132x21 D.1xx31xxx3x的值为 _；xxk1xx10例 4：一件工程甲单独做a 小时完成,乙单独做b 小例 6：当 k 取什么值时？分式方程时完成,甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数x1有增根 .

28、是（）名师归纳总结 第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点A.ab B.11 C.a1b D.abb程的2 ,厂家需付甲、丙两队共 32750 元；aba例 5：赵强同学借了一本书,共280 页,要在两周借期内（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？读完,当他读了一半时,发觉平常每天要多读21 页才能（2）如工期要求不超过20 天完成全部工程,问可由在借期内读完 . 他读了前一半时, 平均每天读多少页.假如哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由；价格价钱问题：例 1：“ 五一” 江北水城文化旅行节期间,几名同学包设读前一半时 , 平均每天读x 页, 就以下方程中 , 正确选项（）A、14014014 B 、28028014租一辆面包车前去旅行,面包车的租价为180 元,出xx21xx21C、10x101 D、140 140 14x x 21x 天生产 120 吨煤,由于采纳新的技发时又增加了两名同学,结果每个同学比原先少摊了x213 元钱车费,设参与游玩的同学共x 人,就所列方程例 6：某煤厂原方案为（）