2022年初二数学人教版因式分解_讲义.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载初二数学因式分解辅导教案授课老师 授课对象授课时间 授课题目 因式分解课 型 使用教具因式分解是中学代数中一种重要的恒等变形,是处理数学家问题重要的手段和工具, 有关的题目在中考和数学竞赛中比较常见；对于特别的因式分解,除了考虑提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外, 仍应依据多项式的详细结构特点,敏捷选用一些特教学目标 殊的方法,这样不仅可使问题化难为易,化繁为简,使复杂问题迎刃而解,而且有助于培育同学们的探究求新的习惯,提高同学们的数学思维才能； 现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧列举如下,供同学们

2、参考；教学重点和难点 通过详细的题目来复习相关内容参考教材 八年级数学教参因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决很多数学问题的有力工具因式分解方法敏捷,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是把握因式分解内容所必需的,而且对于培育同学的解题技能,进展同学的思维才能,都有着非常特殊的作用中学数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法 .：ma+mb+mc=ma+b+c 二、运用公式法 . 在整式的乘、

3、除中,我们学过如干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如： 1 a+ba-b = a2-b 2 -a2 2ab+b 2 a2-b2=a+ba-b；2 ；2 a b2 = a2 2ab+b2=a b2；3 a+ba2-ab+b2 =a3+b 3- a3+b 3=a+ba2-ab+b4 a-ba2+ab+b2 = a3-b3 -a3-b3=a-ba2+ab+b2 下面再补充两个常用的公式：名师归纳总结 5a2+b2+c 2+2ab+2bc+2ca=a+b+c2；第 1 页,共 18 页6a3+b3+c 3-3abc=a+b+ca2+b2+c 2-ab-bc-ca；- - - -

4、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载）例.已知 a, , 是ABC 的三边,且a2b2c2abbcca ,就ABC 的外形是（A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形解：a22 bc2abbcca2 a22 b22 c22 ab2 bc2caab2bc2ca20abc三、分组分解法 . （一）分组后能直接提公因式bn例 1、分解因式：amanbm分析：从“ 整体” 看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“ 局部” 看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有 b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组

5、先分解,然后再考虑两组之间的联系；解：原式 =amanbmbn每组之间仍有公因式！bmn=amn=mn ab例 2、分解因式：2ax10ay5 bybx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组；解法二：第一、四项为一组；其次、三项为一组；解：原式 =2ax10ay5 bybxbc原式=2 axbx 10ayb5 by2bx5yx2ab 5y2a=2 ax5y=x5y2ab=2abx5yac练习：分解因式 1、aab2、xyxy1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x2y2axay分析：如将第一、三项分为一组,其次、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能连续分解,所以只能另外分组

6、；名师归纳总结 解：原式 =x2y2axay y第 2 页,共 18 页=xyxyax=xyxya 例 4、分解因式：a22abb2c2解：原式 =a22 abb2c2=ab2c2=abc abc- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练习：分解因式 3、x22x9y2优秀学习资料欢迎下载z2bx2yzab3y4、x2y2综合练习：（ 1）x3xyxy2y3（2）ax2bx2ax（3）x26xy9y216a28 a1（4）a26ab12b9b24a（5）a42a3a29（6）4a2x4a2yb2xb2y（7）x22xyxzyzy2（8）a22ab22b2ab

7、1（9）yy2m1 m1（10）acacb b2a（11）a2bcb2acc2ab2 abc（12）a3b3c33abc名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载四、十字相乘法 . （一）二次项系数为1 的二次三项式xpxq进行分解；直接利用公式x2pqxpq特点：（ 1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和；摸索：十字相乘有什么基本规律？例. 已知 0 a 5,且 a 为整数,如2x23xa 能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的

8、二次三项式 ax 2+bx+c,都要求b24ac 0 而且是一个完全平方数；于是98a为完全平方数,a1例 5、分解因式：x25x6分析：将 6 分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5；由于 6=2 3=-2 -3=1 6=-1 -6,从中可以发觉只有2 3 的分解适合,即 2+3=5；1 2 解：x25x6=x223 x231 3 =x2x31 2+1 3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数；例 6、分解因式：x27x6解：原式 =x21 6 x1 61 -1 =1 x6x1 -6 （-1）+（-6）= -7 练习 5、分解因式 1

9、x214x2242a2215a363x24x5练习 6、分解因式 12xx2y2y153x210x24（二）二次项系数不为1 的二次三项式ax2bxc名师归纳总结 条件：（ 1）aa1a2a1c1第 4 页,共 18 页（2）cc 1c2a2c2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）ba 1c2a2c 11xc1优秀学习资料欢迎下载a2c1ba 1c 2分解结果：ax2bxc=aa2xc2例 7、分解因式：3x211 x101 -2 分析：3 -5 （-6）+（-5）= -11 （2）3 x27x2解：3 x211 x10=x2 3x5 练习 7、分

10、解因式：（ 1）5x27x6（3）10x217x3（4）6y211y10（三）二次项系数为 1 的齐次多项式2 2例 8、分解因式：a 8 ab 128 b分析：将 b 看成常数,把原多项式看成关于 a 的二次三项式, 利用十字相乘法进行分解；1 8b 1 -16b 8b+-16b= -8b 2 2 2解：a 8 ab 128 b = a 8 b 16 b a 8 b 16 b = a 8 b a 16 b 2 2 2 2 2 2练习 8、分解因式 1 x 3 xy 2 y 2 m 6 mn 8 n 3 a ab 6b（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式名师归纳总结 例 9、2x27xy6y

11、2例 10、x2y23 xy2-1 第 5 页,共 18 页1 -2y 把 xy看作一个整体1 2 -3y 1 -2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - -3y+-4y= -7y x21优秀学习资料欢迎下载-1+-2= -3 解：原式 =x2y2x3y解：原式 =xy1 xy2157xy4y2练习 9、分解因式：（ 1）（2）a2x26ax8综合练习 10、（ 1）8x67x3（2）12x211xy15y2（3）xy23xy 10（4）ab24a4 b3（5）x2y25x2y6x2（6）m24 mn4n23m6n2（7）x24xy4y22x4y3（8）5

12、 ab223 a2b210ab 2（9）4x24xy6x3yy210（10）12xy211 x2y22xy2摸索：分解因式：abcx2a2b2c2xabc五、换元法；名师归纳总结 例 13、分解因式（ 1）2005x2200521x2005第 6 页,共 18 页（2）x1 x2x3 x6x2解：（ 1）设 2005=a,就原式 =ax2a21 xa=ax1 xa=2005x1 x2005（2）型如abcde的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘；原式 =x27x6 x25x6x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载1 2a2

13、524a23 2设x25x6A,就x27x6A2x原式 =A2x Ax2=A22Axx2=Ax2=x26x62练习 13、分解因式（ 1）x2xyy224xyx2y22（2）x23x2 4x28x3 90（3）a例 14、分解因式（ 1）2x4x36x2x21,并且系数成观看：此多项式的特点是关于x 的降幂排列,每一项的次数依次少“ 轴对称” ；这种多项式属于“ 等距离多项式” ；方法：提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法；名师归纳总结 解：原式 =x22x2x611=x22 x21x21 x62xx2第 7 页,共 18 页xx2x2设x1t,就x2=12 tt22x 2 tx

14、 x2 22 tt1022x1原式 =2 x （62=x22 t5t2=x22x25x1xx=x2x25xx12=2x2x25xxx=x1 22x1 x2x211（2）x44x3x24x14x1解：原式 =x22 x4x141=x2xx2x2x设x1x2y,就x2312y22xx2原式 =y24y=xy1y33 x1x21=x2x11 x13 =x2x1x2xx（2）x42x3练习 14、（1）6x47x336x27x6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载 六、添项、拆项、配方法；例 15、分解因式（ 1）x33x24解法 2添项；

15、4x41 x24x4解法 1拆项；原式=x313x23原式 =x33x24x=x1 x2x1 3 x1 x1 =xx23x44x4=x1 x2x13x3 =xx1 x44 x1 =x=x1 x24x4=x1 x22=x1 x22（2）x9x6x331 解：原式 =x91 x61 x31 x31 x31 =x31 x6x31 x3=x31 x6x31x311 =x1 x2x1 x62x33 练习 15、分解因式14x21 2x14（1）x39x8（2）x（3）x47x21（4）x4x22 ax1a2（5）x4y4xy4（6）2a2b22a2c22b2c2a4b4c4七、待定系数法；名师归纳总结

16、例 16、分解因式x2xy6y2x13y6x3yx2y,就原多项式必定可分为第 8 页,共 18 页分析：原式的前 3 项x2xy6y2可以分为x3ym x2ynx3ym x2yn解：设x2xy6y2x13y6=x3ym x2yn=x2xy6y2mnx3n2m ymnxy6y2mnx3 n2mymnx2xy6y2x13y6=x2对比左右两边相同项的系数可得mn113,解得m23 n2mn3mn6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载p原式 =x3y2x2y3 例 17、（ 1）当 m 为何值时,多项式x2y2mx5y6能分解因式,并分解

17、此多项式；（2）假如x3ax2bx8有两个因式为x1和x2,求ab的值；（1）分析：前两项可以分解为xyxy,故此多项式分解的形式必为xya xyb解：设x2y2mx5y6=xyaxyb就x2y2mx5y6=x2y2abxbayababma2a2比较对应的系数可得：ba5,解得：b3或b3ab6m1m1当m1时,原多项式可以分解；当m1时,原式 =xy2xy3 ；当m1时,原式 =xy2xy3 （2）分析：x3ax2bx8是一个三次式,所以它应当分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如xc的一次二项式；解：设x3ax2bx8=x1 x2 xc就x3ax2bx8=x33c x223 cx2ca

18、3ca7b23 c解得b14,2c8c4ab=21 练习 17、（1）x23xy10y2x9y2（2）x23xy2y25x7y6（3） 已知：x22xy3y26x14yp能分解成两个一次因式之积,求常数并且分解因式；（4） k 为何值时,x22xyky23x5y2能分解成两个一次因式的乘积,并分解此多项式；其次部分：习题大全 经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的_的形式,叫做把这个多项式分解因式；2 分解因式： m 3-4m= . 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载3. 分解因式

19、： x 2-4y 2= _ _. 24、分解因式：x 4 x 4 =_ _；5. 将 x n-y n分解因式的结果为 x 2+y 2x+yx-y,就 n 的值为 . 2 2 2 26、如 x y 5, xy 6,就 x y xy =_,2 x 2 y =_；二、挑选题7、多项式153 m n22 5 m n202 3m n 的公因式是 3 mA、5mn B、2 25m n C 、2 5m n D 、5mn28、以下各式从左到右的变形中,是因式分解的是 A、a3a3a29 B、a2b 2ababC、a 24 a5a a45 D、2 m2m3m m210. 以下多项式能分解因式的是（）Ax2-y

20、Bx2+1 Cx2+y+y 2 Dx2-4x+4 11把（ xy）2（ yx）分解因式为（）A（ xy）（ xy1） B C（ yx）（ yx1） D（yx）（xy1）（yx）（yx1）12以下各个分解因式中正确选项（）A10ab 2c6ac 22ac2ac（5b 23c）B（ ab）2（ ba）2（ ab）2（ab1）Cx（bca） y（abc） abc（ bca）（xy1）D（ a2b）（ 3ab） 5（2ba）2（ a2b）（ 11b2a）13. 如 k-12xy+9x 2是一个完全平方式,那么 k 应为（）A.2 B.4 C.2y 2 D.4y 2 三、把以下各式分解因式： 14 、n

21、xny 15、4m29n222 a bab216、m mnn nm 17、a3名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 18、x24216优秀学习资料欢迎下载n216mn2；2 x 19、9m五、解答题20、如图,在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中,挖去一个边长 b =3.33cm 的正方形；求纸片剩余部分的面积；22、观看以下等式的规律,并依据这种规律写出第 5 个等式；1 x21x11x11x11xx11x12 x41x2x3 x814 x1x21x14 x161x81x41x25 _经典二：因式分解小结学问总

22、结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在中学代数中占有重要的位置和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章学问时,应留意以下几点； 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果肯定是整式乘积的形式； 3. 分解因式,必需进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式,应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范畴,一般指在有理数范畴内分解； 7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采纳一“ 提” 、二“ 公” 、三“ 分” 、四“ 变” 的步骤；即第一看有无公因式可提,其次看能否直接

23、利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法连续分解；（2）如上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载下面我们一起来回忆本章所学的内容； 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1. 分解因式 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1分析：这是一个六项式, 很明显要先进行分组, 此题可把 x 5 x 4 x 3和 x 2 x 1 分别看成一组,此时六项式变成

24、二项式,提取公因式后,再进一步分解；也可把 x 5 x 4 ,x 3 x 2 , x 1分别看成一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解；解一：原式 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 3 2 2x x x 1 x x 1 3 2 x 1 x x 1 2 2 x 1 x x 1 x x 1 解二：原式 = x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 4 2x x 1 x x 1 x 1 4 x 1 x x 1 4 2 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x x 1 x x 1 2. 通过变形达到分解的目的例 1. 分解因式 x 33 x 24解一：将 3 x 拆成 2

25、x 2 x ,就有 解二：将常数 4 拆成 1 3 ,就有原式 x 32 x 2 x 24 原式 x 31 3 x 23 2 2x x 2 x 2 x 2 x 1 x x 1 x 1 3 x 3 2 2 x 2 x x 2 x 1 x 4 x 4 2 2 x 1 x 2 x 1 x 2 3. 在证明题中的应用例：求证：多项式 x 24 x 210 x 21 100 的值肯定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、肯定值；此题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数；名师归纳总结 证明： x224x210x21 100第 12 页,共 18 页xx2x3 x7 100x

26、2x7x2x3 100x25 x14x25x6 100- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 优秀学习资料欢迎下载设 yx25 ,就42原式y14y6 100y28y16y无论 取何值都有y420c 3x24x210x21 100的值肯定是非负数因式分解中的转化思想例：分解因式： a2bc3ab 3b分析：此题如直接用公式法分解,过程很复杂,观看 努力查找一种代换的方法；解：设 a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B 原式AB3A3B3B3A3B3A33 A B 23 AB23A B 23 AB2c 3AB AB3 abbca2ba+b,b+c 与 a+2b+c的关系,说明：在分解因式时,敏捷运用公式,对原式进行“ 代换” 是很重要的；中考点拨例 1. 在ABC 中,三边 a,b,c满意 a2016b2c26 ab10bc0求证： ac2 b10bc证明：a216b2c26aba26 ab9b2c210 bc25 b20即 a3 b2 c5 b20a8bc a2 bc0abca8bc,即a8bc0于是有a2bc0即ac2b说明：此题是代数、几何的综合题,难度不大,同学应把握这类题不能丢分；例 2. 已知： x12,就x312_ xx3解： x31x1x211 x1 x3x1x1x2xx