2022年初二数学常用初等数学公式及例题.docx

《2022年初二数学常用初等数学公式及例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初二数学常用初等数学公式及例题.docx（61页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -目 录初等数学常用公式. 12 2 5 7 822 25 26 28 30 第 1 页,共 34 页 - - - - - - - - - 第一章肯定值 比和比例平均值 . 2第一节 条件充分性判定 . 其次节肯定值 . 第三节比和比例 . . 第四节平均值 . . 课后练习 . 其次章方程与不等式 . 10课后练习 . 第三章数列 . 25第一节基本概念 . . 其次节等差数列 . . 第三节等比数列 . . 课后练习 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

2、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -初等数学常用公式乘法公式与二项式定理（1）ab 2ca22 ab2 b;ab2a22abb22 3 abb31C b n nn（2）a3 b a32 3 a b3 ab23 b;ab 33 a2 3 a b（3）ab nC a n 0nC a 1nn1 bC a n 2n2 b2C a n kn kbkCn1 ab nn（4）ab a22 bc2abacbc a33 bc33 abc；（5）abc2a2b2c22ab2ac2 bc二、因式分解（1）a 2b2 ab ab nb2;a3b31ab a2abb2；

3、（2）3 ab3ab a2ab（3）anbnaban1a2 b.bn三、分式裂项（1）111x11（2）xa1xbb1ax1ax1bx xx四、指数运算（ 1）an1 n aa0（ 2）0 a1 a1mnnama0（3）an（ 4）m a anam n0（5）amanam n（6） m aamn（ 7） bnn bann a bn（9）a2（8） ab aaan五、对数运算（ 1）a logN aNMlogN（2） logbnnlogb（3）logn b1logblogN aaaaaan（ 4） loga a1（5）log10（6） logMN alogM aaMlog（8）logb1（ 9）

4、lgaa log 10,lnalog（7） logN aaaaloga be六、排列组合（1）m P nn n1nm1nn.（商定 0.1）n 2 第 2 页,共 34 页 m .（2）m C nm P nn.m .（ 3）m C nn C nmn C nm .m n（4）m C n（5）0 C n1 C n2 C nm C n1m C n1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -第一章肯定值比和比例平均值 二项式定理定义：对

5、于两个命题第一节条件充分性判定A 和 B,如有 AB,就称 A 为 B 的充分条件；充分性判定题的解题说明：这类题要求判定所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论；阅读每题给出条件（1）和条件（ 2）后挑选：（A）条件（ 1）充分,但条件（2）不充分1）和条件（ 2）联合起来充分 1）和条件（ 2）联合起来也不充分（B）条件（ 2）充分,但条件（1）不充分（C）条件（ 1）和（ 2）单独都不充分,但条件（D）条件（ 1）充分,条件（2）也充分（E）条件（ 1）和（ 2）单独都不充分,条件（例1. 1:不等式x22x150 成立,2充分.10x32x4x5x303x5,所以条件1 充分例 1.2

6、 11成立a（1）a1（2）a1明显：条件（ 1）不充分,条件（2）也不充分留意： 许多同学在解这类题型的时候,习惯于受传统解题思维的影响,往往从题干的结论动身,这样得出来的条件往往是必要条件,而不是充分的,假如刚巧得出来的必要条件就是充要条件的话,那么可能会得出正确答案,假如不是充要条件的话,答案就可能不正确了；其次节 肯定值1、定义实数 a 的肯定值记作a ； aa,当a0 时0,当a0 时a,当a0 时2、几何意义一个实数在数轴上所对应的点,到原点的距离就是这个数的肯定值；a细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 34 页

7、- - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a0 x 3、性质（1）非负性a20（2）等价性aa（3）对称性aa4、常用的运算法就（1）abab;aab0; b0时, abab 成立；bb（2）ab b0bab ;aab b0 a或 b（3） ababab 成立,当且仅当ab当且仅当ab0时, ab（4） abab ,当且仅当ab0,ab 时,等式成立；（5）a22 a5、非负数（1）a0a0（2）a20（3）a 有意义,且非负数有下面两个易见的性质,在解题经经常要用到：（1）有限个非负数之和仍旧是非负数；（2）假如

8、有限个非负数之和等于零,就每一个非负数都必需等于零,即如abcd0,其中a0,b0,d0,就abcd0例 1.3已知xy102xy20,求 logx y的值；xy10x1解：由2xy0y2logxlog1所以y2例 1.4 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 34 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -已知（a202b30c4020求：abc 的值1）解:已知式中各项均为非负数,且它们的和为0a202b30c4020a20b30c40abc

9、20304030例 1.5关于 x 的不等式 3xx2a 的解集是,就实数 a 的取值范畴是（A ）a1（B）a1（ C）a1（D）a1（ E）a解： 3xx23x x21,即使a1时,原不等式仍旧无解,故a1时解集为,答案为 B 例 1.6已知 xa1, yx1, 就有（）（A ） ya2（ B） ya1（C） y+a2（D） y+a1（E）以上结论均不对解：yayxxayxxayx1, xa1ya1 12故应选（ A ）例 1.7ab2成立0 时,b01,故原式不肯定成立,所以条件（1）单独不ab（1）a0（ 2）b0解：由条件（ 1）a0,可得a1,但当 bab充分；同样可得出条件（2）

10、单独也不充分；0且b时,原式成立,故此题应选C；但当条件（ 1）和（ 2）联合起来时,即a例 1.8 等式2x 3112x成立3（1）x1（2） x12分析：此题可以先找出题干结论成立的充要条件,再判定给出的条件（1）和（ 2）是否是充要条件的子集或元素（即是否是充要条件的充分条件）,假如两个条件单独都不是的话,仍要看两个条件联合是否是充分的；由实数肯定值的定义知道aa1a00 第 5 页,共 34 页 解：2x 3112x2x12x333细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 -

11、- - - - - - - - - - - - - -即2x10,x12）单独不充分,由于x1满意条件（ 2）但是不能够使得结论2明显条件（ 1）单独是充分的,条件（成立；故此题应选（ A）例 1.9方程 f x1有且仅有一个实根110x 12,x20 ,所以条件（ 1）单独不充分（1） f xx1（2） fxx11解：由条件（ 1）得x11x1由条件（ 2）得 x111xx=1 ,所以条件（ 2）单独充分故此题应选（ B）例 1.10 等式 x 2 4 x 2 成立（1）x 2（ 2）x 4解：用 a b a bx 2 4 x x 2 4 x 2 x 2 4 x 0 时 成立解得 2 x 4

12、明显条件（ 1）、（2）单独都不充分,联合起来充分,应选 C第三节 比和比例1、比的意义：两个数相除,又叫做这两个数的比,把 a 和 b 的比（b 0 记为 a:b 或a , a 的值叫 a 比 b 的比值b ba am m 0 a a m m 0 2、 比的性质：b bm b b mat a tbb3、 百分比： 常把比值表示百分数,称百分数形式的比值为百分比（或百分率）比如：1：2=50% 4、 比例： 两个比相等的式子叫做比例；记为aca:bc:da,d 为比例外项, b,c 为比例内项；如bdb=c 就有b2ad 此时 b 叫做比例中项5、 比例的性质 : 细心整理归纳 精选学习资料

13、- - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 34 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -对于ac,1 adbc , 2dcab 内外项交换位置等式依旧成立）bdbacd（3）abbcdd合比定理）,（4）abbcdd（分比定理）（5）abcd合分比定理abcd6、 正比例和反比例：正比例：假如变量X 和 Y , 满意 下面的关系, Y=KX （K0 是比例系数） ,就 X 与 Y 成正比例；反比例：假如变量X 和 Y ,满意 下面的关系, YKK0,是比例系数） ,就 X 与

14、 Y 成反比例；X例 1.11设1:1:14:5:6,且 x+y+z=74 ,求 y 的值；xyz分析：在求有关连比题的时候,一般先假设一个比例常数t ；解：设例 1.1214 ,15 ,16 tx1y1z15：3,一等品与二等xyz4 t5t6t111741120y1120244t5t6 tt5一批产品中,一等品与二等品的比为4：1,又知二等到品与三等品的比为品为合格品,求这一批产品的合格率；解：一等品：二等品=4:1=20:5 =20：5： 3 x=1 或 x=-2 ,y 的值为 15,求当 X=2二等品：三等品=5:3 一等品：二等品：三等品合格率为205532589%2028例 1.1

15、3 已知xyz求xyz的值234xyz解：设xyz=t x=2t y=3t z=4t 2342 t3 t4t9t92 t3 t4tt例 1.14已知 y=y 1y2且y 1 与x成正比, y2与 x 成反比例,当时, Y 的值是多少？y 1k xy 2k2yk xk21k230 第 7 页,共 34 页 xx解：15k1k2k 1k215152k 1k24 k1k23022（2）- （1）得：3 k 145k 115,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -

16、 - - - - - - - -y15x30当x2 时y15x分数和百分数应用题例 1.15某工程队原方案用6 天时间挖水渠800 米,结果前两天就完成了方案的40%,依据这个进度施工,就可以提前（）天完工；A 5 B 4 C 3 D 2 E 1 解：前两天每天挖渠长为80040%2160 （米）挖渠 800 米所需天数为8005（天）160所以可提前1 天完工,此题应选A 例 1.16某商品单价上调10%后,再降为原价,就应下降的百分比为（）A 9% B 11% C 13% D 15% E 17% 解：设商品原单价为a,下降百分率为x由题意,得a1 10%1 xa1-x=10 11x19%1

17、1故此题选 A 留意：下调的百分率应是下调的钱数与涨价后的单价的百分比；下调钱数仍为 10%a, 涨价后的单价是a1 10% ,故x1 0 % a1 9 %1 12 天完成了任务,40 台,比原计a 11 0 % 例 1.17某车间生产一批机器,原方案每天生产32 台, 10 天可以完成任务,实际提前就平均每天增产了（）A 20% B 25% C 30% D 35% E 40% 解：从题中可知,这批机器的总量为320 台,实际只用了8 天时间,所以每天平均生产了划每天多生产了8 台,故增产了80.25,即 25%,答案为 B 32第四节平均值1算术平均值：n个数x11x2x3xn 的算术平均值

18、为x 1x2x3nxn,记为：x1nxini2.几何平均值：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 34 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -n 个正数x1x2x3xn 的几何平均值为nx 1x2x3xn记为Gnin1x i简洁性质：假如 N 个数据彼此都相等 x 1 x 2 x 3 x n a 就 x G a可以证明：x 12 x 2x 1 x 2 ; x 1 x3 2 x 3 3x 1 x 2 x 3,以上各式中 x , x 2 , x

19、3 R例 1.18 某笔厂生产三种不同规格的圆珠笔一批,其中有 6000 支单价为 3 元, 3000 支单价为 5 元, 1000支单价为 10 元,求这批圆笔平均价格；解 : 6000 3 3000 5 1000 10 63 35 110 4.36000 3000 1000 10 10 10加权平均数 留意 6 3 1110 10 10例 1.19 某班同学外语平均成果为分,男生人数比女生人数多,而女生平均分比男生多,求女生的平均成果；解：设女生人数为x ,就男生人数为1.8xy7083 分,女工平均女生平均分为 1.2 y ,男生平均分为y就有 : 1.2xy+1.8xy=751.8x+

20、x 3xy=210x 故女生均分为1.270=84 分80 分,其中男工平均成果为例 1.20车间共有 40 人,某次技术操作考核的平均成果为成果为 78 分,该车间有女工（）人；x24A 16 B 18 C 20 D 24 解：设该车间有女工x 人,就男工有40- x 人那么：x7840x 8340 80 5x120 课后练习一、挑选题1已知x-22y10 ,那么11的值是（） 第 9 页,共 34 页 x2y2（A ）1 42（B）3 4（C）4 （D） 3 （E） A、 B、C、D 都不正确2使得2不存在的x 是 （）x-2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

21、- - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（A ）4 （B）0 （C）4 或 0 （ D）1 （E）A 、B、C、D 都不正确3如 x 23 x 1 ,0 那么 x 4 14 等于（）x（A ）30 （B）40 （C）45 （D）47 （E）A 、B、C、D 都不正确5班上 2 的女生和 1 的男生参与了保险,且班级 120 人中男生是女生的 7 倍,那么班级中参与保险的人5 2 5数占全班人数的（）（A ）40% （B）42% （C）44% （D）46% （E） 45% 6原价 a 元可购

22、 5 件衬衫,现价 a 元可购 8 件衬衫,就该衬衫降价的百分比是（）（A ）25% （B）37.5% （C）40% （D）60% （E）45% 7某厂生产的产品中 1 为一级品,1 为二级品,不合格产品是二级品的 1 ,就该种产品中不合格品是一3 5 4级品的（）（A ）1（B）3（C）1（D）11（E）310 20 5 20 1010已知 A 股票上的 0.16 元相当于该股票原价的 16%,B 股票上涨 1.68 元也相当于其原价的 16%,就这两种股票原价相差（）（A ）8 元（B）9.5 元（C） 10 元（D）10.5 元（E）9 元11一个分数的分子削减 25%,而分母增加 25

23、%,就新分数比原先分数削减的百分率是（）（A ）40% （B）45% （C） 50% （D）60% （E）55% 12如 x 3 3 x,就 x 的取值范畴是（）（A ）x0 （B）x=3 （C）x3 （D）x3 （E）A 、B、C、D 都不正确x 1 113满意关系式 0 的 x 是（）x 2（A ）0 （B）2 （C）0 或 2 （D）0 或-2 （E）2 或-2 14不等式 x 2 2 的解集是（）（A ）x0 （B）x4 （C）0x4 （D）x0 或 x4 （E）A、B、C、D 都不正确15如 a 1 , b ,1 就 a b 等于（）2（A ）3 或 0 （B）1 或 0 （C）1（

24、 D）1 或 3（E）1 或-1 2 2 2 2 2 22 216已知 x 1 2 y 1 0,就 x+y 的值为（）（A ）1 或 3（B）3（C）1（D）-1 （E）12 2 2 2 217甲与乙的比是 3:2,丙与乙的比是 2:3,就甲与丙的比是（）A1:1 B3:2 C2:3 D9:4 E8:5 18某班同学中,3 的女生和 3 的男生是共青团员,如女生团员人数是男生团员人数的 5 ,就该班女生人4 5 6数与男生人数的比为（）（A ）5:6 B2:3 C3:2 D4:5 E5:4 19李先生投资 2 年期、 3 年期和 5 年期三种国债的投资额的比为 5:3:2；后又以与前次相同的投

25、资总额全细心整理归纳 精选学习资料 第 10 页,共 34 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -部购买 3 年期国债,就李先生两次对3 年期国债的投资额占两次总投资额的（）（A ）3（B）7（C）13（D）3（ E）55 10 20 4 720某商品在第一次降价 10%的基础上,其次次又降价 5%,如其次次降价后复原到原先的价格,就价格上涨的百分率为（）（A ）15% （B）16% （C）17% （D）14% （E）13% 22已知 x y2,就

26、 x 等于（）x y y（A ）1（B）3 （C）1 或 3 （ D）1 或 1（E）3 或 12 3 2 3 2二、充分性判定24甲城区 2001 年人均绿地占有面积比2000 年约削减 2.2% 0.2% x x （1）甲城区 2001 年绿地总面积较2000 年削减 2%,而人口却增加了（2）甲城区 2001 年绿地总面积较2000 年增加 1.2%,而人口增加了0.3% 25abcabbccaabc（1）a,b,c 在数轴上的位置如图1-4 所示图 1 b 0 a （2） a,b,c 在数轴上的位置如图1-5 所示图 2 a b 0 26某班男生人数比女生人数少（1）男生中共青团员的人

27、数是全班人数的 20% （2）女生中共青团员的人数是全班人数的 52% 28商店换季大甩卖,某种上衣价格下降 60% （1）原先买 2 件的钱,现在可以买 5 件（2）原先的价格是现在价格的 2.5 倍其次章 方程与不等式一、一元一次方程：最简形式 ax=ba 0 形如 ax=b 的方程的求解方法 a 0 x=b/a a=0 ,b 0 时 ,不存在 x 值使等式成立,原方程无解a=0,且 b=0 时,即 0x=0, 就 x 为全体实数二、二元一次方程组细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 34 页 - - - - - - -

28、- - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -形如：a x 1b y 1c 1（a1 与 b1 不同时为 0； a2 与 b2 不同时为 0）的方程组,称为二元一次方程a xb yc 2组；二元一次方程组的解法：方法一：加减消元法a x 1b y 1c 1 1a xb yc 2 21 b2 2 b1可消去 y,得：a b 2 a 2 b x b 2 c 1 b c 2从所得的一元一次方城解出 x,再将 x 的值代入（ 1）式（或者（ 2）式）,即可求出 y 的值,从而得到方程组的解；方法二：代入消元法由1式可得：y=c1a x 1,将其代入（ 2

29、）式可消去y,得到关于x 的一元一次方程,解之即可；b 1三、 一元二次方程：1、标准形式为：ax2+bx+c=0a 0 2、解法： 因式分解法：把方程化为形如a xx 1xx 20的形式,就解为xx xx 2如：6x 2+x-2=0 2x-13x+2=0 x1=1/2 x2=-2/3 配方法： 公式法：将配方后的结果直接用做公式使用；xb2 b4aca 2+bx+c=0 a0 =b 2-4ac 2 a四、 一元二次方程的判别式：当 0 时,有两个不相等的实数根；当 =0 时,有两个相等实数根；当 0时,方程无实根；五、 一元二次方程根与系数的关系：设ax2bxc0的两根为x x ,就有2x

30、1x 2b,x x 2c 第 12 页,共 34 页 aa例 2.1解以下方程或方程组53x2x（1）12xx6113（2）x2 12x1x1（3）3x2y12x3y2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：（1）去分母,原方程化为212xx1166 24xx -5x=3 x3 5（2）原方程化简,得3x22x10（4）3 x 1x33x1x10x11,x213（3）3x2y1 1 2x3y2 2 3 1 2 213x1,x113把x1代入 1, 得y81313原方程组的解为x113y813例 2.2 如x , x 是方程x23x10 的两个根,求以下各式的值；（1）x2x2（ 2）x1x2（3）x2x1122xx125解：x , x 是方程x23x10 的两个根,由根与系数的关系,得（ 1）x2x2x12 x 2x x22 32 192712（ 2）x1x2x1x 2x +x 24x x2324（ 3）x2x1x22 x 172x 1x2x x 12（ 4）3 x 13 x 2x 1x 22 x 1x x 22 x 2x 1x 2