2022年初高中衔接_第七讲_分式方程和无理方程的解法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载第七讲 分式方程和无理方程的解法中学大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法并且只要求把握本讲将要学习可化为一元1不超过三个分式构成的分式方程的解法, 会用 ”去分母 ” 或” 换元法 ” 求方程的根, 并会验根； 2明白无理方程概念,把握可化为一元二次方程的无理方程的解法,会用 一、可化为一元二次方程的分式方程1去分母化分式方程为一元二次方程”平方 ” 或” 换元法 ”求根,并会验根【例 1】解方程x12x4x4x2212分析： 去分母,转化为整式方程解： 原方程可化为：

2、x12x4x2x221x02x方程两边各项都乘以x24：x24x2x2x24即3x62 x4,整理得：x23 x2解得：x1或x21是原方程的解；检验：把x1代入x24,不等于 0,所以把x2代入x24,等于 0,所以x2是增根所以,原方程的解是x1说明：1 去分母解分式方程的步骤：把各分式的分母因式分解；在方程两边同乘以各分式的最简公分母；去括号,把全部项都移到左边,合并同类项；解一元二次方程；验根2 验根的基本方法是代入原方程进行检验,但代入原方程运算量较大而分式方程可能产生的增根, 就是使分式方程的分母为 0 的根 因此我们只要检验一元二次方程的根,是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公

3、分母为 0如为 0,即为增根；如不为 0,即为原方程的解2用换元法化分式方程为一元二次方程名师归纳总结 【例 2】解方程x2123x240第 1 页,共 6 页xx1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载分析： 此题如直接去分母,会得到一个四次方程,解方程很困难但留意到方程的结构2特点,设 xy,即得到一个关于 y 的一元二次方程最终在已知 y 的值的情形下,用x 12去分母的方法解方程 xyx 12解： 设 xy,就原方程可化为：y 23 y 4 0 解得 y 4 或 y 1x 121当 y 4 时,x4,去分母, 得 x 24 x

4、 1 x 24 x 4 0 x 2；x 12x 2 2 1 52当 y 1 时,1 x x 1 x x 1 0 xx 1 2检验：把各根分别代入原方程的分母,各分母都不为 0所以,x 2,x 1 5都是原方程的解2说明： 用换元法解分式方程常见的错误是只求出 y 的值, 而没有求到原方程的解,即 x的值名师归纳总结 【例 3】解方程8x22 3x21112 x1互为倒数因此,可以设第 2 页,共 6 页x21x22x分析： 留意观看方程特点,可以看到分式x222x与x1x22x2 x22xy,即可将原方程化为一个较为简洁的分式方程x1解： 设x222xy,就x211x1x22xy0y1 或y3

5、原方程可化为：8y3118y211y3y81当y1时,x222x1x22xx21x1 2；0x3 或x1x12当y3时,x222x38x216x3x235x216x38x185检验：把把各根分别代入原方程的分母,各分母都不为0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载1 1所以,原方程的解是 x,x 3,x2 5说明： 解决分式方程的方法就是实行去分母、换元等法,将分式方程转化为整式方程,表达了化归思想二、可化为一元二次方程的无理方程根号下含有未知数的方程,叫做无理方程1平方法解无理方程【例 4】解方程x7x1分析： 移项、平方,转化为有

6、理方程求解解： 移项得：x7x10x3是增根两边平方得：x7x22x1移项,合并同类项得：x2x6解得：x3或x2右边,所以检验：把x3代入原方程,左边把x2代入原方程,左边= 右边,所以x2是原方程的根所以,原方程的解是x2说明： 含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：移项, 使方程的左边只保留含未知数的二次根式,其余各项均移到方程的右边；两边同时平方,得到一个整式方程；解整式方程；验根【例 5】解方程 3 x 2 x 3 3分析： 直接平方将很困难可以把一个根式移右边再平方,这样就可以转化为上例的模式,再用例 4 的方法解方程解： 原方程可化为：3 x 2 3 x 3两边平方得：

7、 3 x 2 9 6 x 3 x 3整理得： 6 x 3 14 2 x 3 x 3 7 x两边平方得：9 x 3 49 14 x x 22整理得：x 23 x 22 0,解得：x 1 或 x 22检验：把 x 1 代入原方程,左边 =右边,所以 x 1 是原方程的根把 x 22 代入原方程,左边 右边,所以 x 22 是增根所以,原方程的解是 x 1说明： 含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：名师归纳总结 移项, 使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；两边平方, 得到含未知数的第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀

8、学习资料 欢迎下载二次根式恰有一个的无理方程；一下步骤同例 4 的说明2换元法解无理方程2 2【例 6】解方程 3 x 15 x 2 x 5 x 1 2分析： 此题如直接平方,会得到一个一元四次方程,难度较大留意观看方程中含未知2 2数的二次根式与其余有理式的关系,可以发觉：3 x 15 x 3 3 x 5 x 1因此,可2以设 x 5 x 1 y ,这样就可将原方程先转化为关于 y 的一元二次方程处理2 2 2 2 2解： 设 x 5 x 1 y ,就 x 5 x 1 y 3 x 15 x 3 y 12原方程可化为：3 y 1 2 y 2,即 3 y 22 y 5 0,解得：y 1 或 y

9、531当 y 1 时,x 25 x 1 1 x 25 x 0 x 1 或 x 0；2当 y 5时,由于 x 25 x 1 y 0,所以方程无解3检验：把 x 1, x 0 分别代入原方程,都适合所以,原方程的解是 x 1, x 0说明： 解决根式方程的方法就是实行平方、换元等法,将根式方程转化为有理方程,体现了化归思想名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载练 习A 组 1解以下方程：1 x2x122xx532 2x2x21x2x7351x2x11 x12x3 y224y1144 152142x2x4

10、x22用换元法解方程：x23解以下方程：1 x2x2 x5x73 x32x4解以下方程：1 3 x1x412 2x4x515用换元法解以下方程：1 x12x0B 2 x23 x2 x3 x6组1解以下方程：1 2xx5447x121x12 x2x421x11x062 x32x2x12 x43 12xx12x24 x12x4xx71x3x1xx22用换元法解以下方程：名师归纳总结 1 x25x224x111402 2x2116x17第 5 页,共 6 页xx1xx x5xx21421x23 x2x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3如x1是方程xxax

11、1a优秀学习资料欢迎下载4的解,试求 a 的值4解以下方程：1 x23x32x24x12 3xaa6x22ax2x2xxa5解以下方程：1 2 x22 x132x6152 x10x61053 2 x4x3x2第七讲 分式方程和无理方程的解法答案A 组1 1x1 ,2x1,x21,3y0,y1,4x3,x52x26,3x5331x1,2x241x5 2 x205 1x9,2x1,x4B 组名师归纳总结 11x113,2x3,3x5,x11,4x1417,3x1第 6 页,共 6 页321x1,x2,x3,x4,2x2,x332 20,x2,x23 2,2x1 2a41x251x2,2x26,3x3,x1- - - - - - -