2022年重庆科技学院概率统计复习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 1 页概率统计练习题一、挑选题1. 设A ,B,C是三个随机大事,就大事“A ,B,C不多于一个发生” 的对立大事是B A A A ,B,C至少有一个发生. A,B,C至少有两个发生C. A,B,C都发生. A ,B,C不都发生2假如C成立,就大事A 与 B 互为对立大事； 其中 S 为样本空间 A AB.ABSC. ABBS.PAB0A3设A B 为两个随机大事,就P ABDAP A P B. P A P BP ABC. P A P AB. P A P BP AB4掷一枚质地匀称的骰子,就在显现偶数点的条件下显现4 点的概率为D；A 1

2、2. 2 3C. 1 6.1 3 5 设XN1.5, 4,就P 2X4= A 非标准正态分布A0.8543 . C. .6设X N ,14,就P 0X1.6= A ；A . C. .7设XN ,2就随着2 的增大,P X2B A 增大. 减小C. 不变 . 无法确定8设随机变量X 的概率密度f x x2x1,就= A ；0x1A 1 . 1 2C. -1.3 29设随机变量X 的概率密度为f x tx2x x1,就 t = B01A1 2. 1C. -1 .3 210设连续型随机变量X 的分布函数和密度函数分别为F x 、 x ,就以下选项中正确的选项是第 1 页,共 19 页A 0F x 1

3、. 0f x 1C. P Xx F x .P Xx f x 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第 2 页11假设随机变量 Y X 1 X ,且 X 1 , X 相互独立；X i N 0,1i 1,2,就 B；AY N 0,1 . Y N 0,2 C. Y不听从正态分布 . Y N 1,112设 X 的分布函数为 F x ,就 Y 2 X 1 的分布函数 G y 为 D AF 1 y 1. F 2y 1 C. 2 F y 1 . F 1 y 12 2 2 213设随机变量 X ,X 相互独立,X 1 N 0,1,X 2 N 0,2,以下结论

4、正确的选项是C A X 1 X 2 . P X 1 X 2 1 C. D X 1 X 2 3 . 以上都不对14设 X 为随机变量,其方差存在,C 为任意非零常数,就以下等式中正确的选项是AAD X C D X . D X C D X CC. D X C D X C . D CX CD X 15设 X N 0 1,Y N 1 1,X , Y 相互独立,令 Z Y 2 X ,就 Z B AN 2 5, . N 5,1 C. N ,1 6 . N 2 9, 16对于任意随机变量 X , Y,假设 E XY E X E Y ,就 B AD XY D X D Y . D X Y D X D Y C.

5、X , Y 相互独立 . X , Y 不相互独立17设总体 X N , 2,其中 未知 , 2 已知 , X 1 , X 2 , , X 为一组样本,以下各项不是统计量的是 B AX1inXi . X1XX42,2C. 1in1XiX2.1inXiX的无偏n123118 设总体 X 的数学期望为,1,XX 是取自于总体X 的简洁随机样本,就统计量C 是估量量 ；A1X11X21X3. 1X11X21X3234235C. 1X11X21X3. 1X11X21X3236237二、填空题名师归纳总结 1设A B 为互不相容的随机大事P A0 .2 ,PB0 .,5就P AB3 张卡片,就所取出的3

6、张卡片中有 2 设有 10 件产品,其中有2 件次品,今从中任取1 件为正品的概率是 3 袋中装有编号为1,2,3,4,5, 6,7 的 7 张卡片,今从袋中任取第 2 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第 3 页“ 6” 无“4” 的概率为 _2/7_P A0.1,P B0.7,就P AB 4 设A B 为互不相容 的随机大事, 5设A B 为独立 的随机大事,且P A0.2,P B0.5,就P AB ？B A发生的概率没有影响,这样的两个事相互独立大事independent events: 大事 A或 B是否发生对大事件叫做相互独立

7、大事；互不相容大事：大事 A 和 B 的交集为空, A 与 B 就是互斥大事；也可表达为：不行能同时发生的大事；如 AB 为不可能大事 AB= ,那么称大事 A 与大事 B 互斥,其含义是：大事 A 与大事 B 在任何一次试验中不会同时发生1 , 0 x 1 6设随机变量 X 的概率密度 f x 就 P X 0.30 , 其它ak7设离散型随机变量 X 的分布律为 P X k , k 1 2, 3, , 4 5, ,就 a =_1/3_. 58设随机变量 X的分布律为：X 1 2 3 P 就D X= _ e110x10；某系9设随机变量X 的概率密度f x 6e6xx0就P X10x0.610

8、设XN2 10,0.02 ,就P9.95X10.05=f x 11已知随机变量X 的概率密度是f x 1ex 2,就E X= _0_ 12设D X=5, D Y =8,X Y 相互独立；就D XY 13 13设D X9, D Y 16, XY0.5,就D XY 27 .三、运算题1某种电子元件的寿命X 是一个随机变量,其概率密度为x20x10统含有三个这样的电子元件其工作相互独立,求：1在使用 150 小时内,三个元件都不失效的概率；2在使用 150小时内,三个元件都失效的概率；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第

9、 4 页解： 1P 三个元件都不失效 =PX315033010dx132 x152P 三个元件都失效 = 1PX1501415全概率公式；2有两个口袋；甲袋中盛有2 个白球, 1 个黑球；乙袋中盛有1 个白球, 2 个黑球；由甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋任取一球,问取得白球的概率是多少 . 全概率公式解：设 A“ 从乙袋中取得白球” ,B 1“ 从甲袋中取出的是白球“ ,B 2“ 从甲袋中取出的是黑球” ,由全概率公式得22135PA= PB PA| B PB PA| B 3434123假设有两箱同种零件, 第一箱内装 50 件,其中 10 件一等品； 其次箱内装 30 件,其中 18 件

10、一等品；现从两箱中随便挑出一箱, 然后从该箱中先后随机取两个零件取出的零件均不放回,试求：1第一次取出的零件是一等品的概率；2在第一次取出的零件是一等品的条件下,概率；解：其次次取出的零件仍旧是一等品的名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第 5 页设A 1, A 2分别表示第一次、 其次次取出的零件是一等品,B 1,B 2分别表示所取的零件来自第一箱、其次箱（1）由全概率公式得P A 1PB 1PA 1|B 1PB 2PA 1|B 22PA 2|A 1PA 1A21101182|B 22502305P B P AA

11、B 1P B 2P AA 2PA 1P A 1）110 91 18 17=2 50 4922 3029=54某厂有三台机器生产同一产品,每台机器生产的产品依次占总量的 0.3 ,0.25 ,0.45 ,这三台机器生产的产品的次品率依次为 0.05 ,0.04 ,0.02 ；现从出厂的 产品中取到一件次品,问这件次品是第一台机器生产的概率是多少？全概率公式及贝叶斯公式解：设 A表示取出的产品是次品,B B 2,B 3分别表示所取的产品是由第一、二、三台机器生产 . 由贝叶斯公式,得所求概率为：名师归纳总结 P B 1|AP B A=P B 1P A B 1+P B 1P A B 1P B 3P

12、A B 3第 5 页,共 19 页P AP B 2P A B 2=03 005 03 0 05 0 25 0 04045 002=- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第 6 页5甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品, 每个厂的产量分别占总产量的 40,35,25,这三个厂的次品率分别为,；现从三个厂生产的一批产品中任取一件,求恰好取到次品的概率是多少？全概率公式解：设 A表示取出的产品是次品,B B 2,B 3分别表示所取的产品是由第一、二、三家工厂生产 . 由全概率公式,得所求概率为：P AP B P A B 1+ P B 2P A B 2P B 3P A

13、 B 3=40%002+35%00425%005ke5xx06设连续型随机变量X 的密度为f x 0x01 确定常数k ； 2求P X0.3 3求分布函数F x . 4求E X1 e55x0解： 1由fx dx0ke5x dxk1得 k503e152P X0.3=035 e5xd xe5x3分布函数Fx=xftd t,x,当 x0时,F x =x0d t=0 ,x5 e5td t=e5tx1e5x,当x0时,Fx=00d t+00所以,Fx=1e,5x,x0. 00x5 e5x dx0xde5x第 6 页,共 19 页x4E X=x fx dx0名师归纳总结 - - - - - - -精选学习

14、资料 - - - - - - - - - 第 7 页xe5x00e5x dx01e5x0f1Asinx0x557设连续型随机变量X 的密度函数为x0其它求: 1系数 A 的值 2 X 的分布函数3P 0X14；第 7 页,共 19 页解： 1由fx dxA0sinx dxAcosx02 A1 得 A122分布函数Fx=xftd t,x,cosx ,当x0时,F x =x0d t=0 ,当0x时,Fx=00d t+x1sint d t=1costx102202当 x时,Fx=00d t+01sint d t+x0d t=1cost01 ,220,x0所以,F x=1 1 2cosx ,0x. 1

15、 ,x（3）P0X4=41sinx d x1cosx4 011202222名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第 8 页8假设随机变量X 的分布函数 为：F x ABarctan -x求：1系数 A B ；2 X 落在区间-1,1内的概率；3 X 的密度函数；F + =11A+ B=1 A=解： 1由 F =0 得A-2B=0 解得B= 1 2212P -1 X = F 1- F -1213密度函数 fx = F x = 1 x 2 ,x , 记求导微积分x9设连续型随机变量 X 的密度为 f x 18 e 8 x 0,0其它第 8 页,共

16、 19 页1求Y4X1的密度；2求Z1X23的期望2解：设Y=4X-1和 X 的分布函数分别为Gy 和 Fx , Y 的概率密度为 gy . Gy =P4X-1y=P Xy41=Fy14所以gy Gy=Fy1y41fy41y414名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第 9 页1e1y41,y410=1ey1,y1zX2z3832880,其他0,其他2 设 Z 和 X 的分布函数分别为Hz 和 Fx , Z 的概率密度为hz . 由于 X（ ,+ ,所以Z=1X2+3（ , ）确定范畴2Hz=P Zz,z,当 z3 时,Hz=P=0,就hz

17、0 ；当 z3 时,Hz=P1X23z=P2z32=F2z3F2z33就hz =H zF2z32z3F2z32所以hz=f2z32z3f2z133e2zz3第 9 页,共 19 页f2z32z308 2232z31 8e2882 2z3z8 213e2z38,z3z名师归纳总结 0,其他- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第 10 页 10 设 某 种 电 子 元 件 的 寿 命 X 服 从 指 数 分 布 , 其 概 率 密 度 函 数 为fx,y1exx0,kx1x0x100x其中0,求随机变量X 的数学期望和方差；11设连续型随机变量X 的概率密度

18、为：f x 0其它1求常数 k ；2设YX ,求 Y 的概率密度Yf y ；3求D X第 10 页,共 19 页解： 1由fx dx1k x1x dx1 得 k6=FyFy02设Y=X2 和 X 的分布函数分别为F y和 Fx Y由于 X（ , ）,所以 Y = X2（ ,）F y P Yy,y,当 y0时,F y P=0,就Yf y 0 ；当0y1时,F y=PX2y=PyXy就f y=F YyFyyFyyfy21yfy21y6y1y2103 1yy当 y1 时,F y P S =1,就Yf y 0名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第

19、11 页所以f Yy3 1y,0y1f x 1x01xx10,求E X,D X ；0,其他12设连续型随机变量X 的概率密度1x0 其它由数学期望的性质与方差的性质13设随机变量X 的数学期望E X0,且E1X212,D1X11,求：E X222解：由数学期望的性质与方差的性质,由E1X211E X21 2,得E X2=60 , 所 以22D1X11D X=1,得D X242= 2E2X=E X2D X624, 又 因 为 E XE X=2. X 和 Y 相互独立 ,且E X =E Y =1,D X =2,D Y =4,求：E XY214设随机变量E X+Y2=EX2+2XY+Y2=E X2+

20、2EXY+E Y2名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第 12 页=DX+EX2+2E XE Y+D Y+E Y2= + + 2 1 2 1 1 4 1 10留意：当X,Y 独立时,才有E XY=E X E Y二维随机变量15设二维随机变量X,Y的概率密度为fx ,y Cx2yx2y10其它求： 1确定常数 C；2求边缘概率密度；解：第一画出联合概率密度的非零区域16-19 题同,1x11由+fx, y xdy1dx12 C x ydy1, 得 C211x242f xfx, y dy1212 x ydy,1x1=2

21、12 x1x4x2480,其他0,1其他f yfx,y xy212 x ydx,0y1=750yy ,y420 ,其他0 ,其他16设二维连续型随机变量X,Y的联合概率密度函数为f x y , 4xy0x1,0y1,P YX20fX其它（1）求边缘密度函数 ,f Y y ；2问 X 与 Y 是否独立 ？3求解：2P YX2=y x 2fx, y xdy1dxx 24xydy1第 12 页,共 19 页002名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第 13 页17设二维随机变量X Y 的联合分布密度f x y , 62 xyx, 0x10其它分别

22、求随机变量X 和随机变量 Y 的边缘密度函数；解：f x Xfx, y yx6 dy,0x1 =6x2 x,0x1x20 ,其他-eyx0,yx0 ,其他f yfx, y xyy6dx,0y1=6y,y ,0y10其他0,其他18设二维连续型随机变量X Y 的联合密度函数为f x y0其他求1X 、Y 的边缘分布密度； 2问X 与Y 是否独立解： 1f xfx, y yxeydy,x0=ex,x0y,明显0,其他0 ,其他f yfx,y xyeydx,y0=y ey,y000,其他0 ,其他当 x0, yx时,联合概率密度为fx,y ey,而f x f yexyefx, yf x f y ,故

23、 与不独立 119设二维随机变量X Y 的概率密度为：f x y4.8 2x0yx,0x0其它求： 1求 X 、 Y 的边缘概率密度； 2 X 与 Y 是否独立？解：名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第 14 页1f x Xfx, y yx 048 . y 2xdy,0x1=24 . x22x ,0x10y1,0,其他0 ,其他fx, y x148 . y2yy2xdx,0y1=24 . y34f yy0,其他0,其他2明显当0x1 0yx时, fx, yf x f y,故 与不独立矩估量量20设总体 X B 1

24、 p 其中 p 是未知参数 , X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 是总体的样本；求：1 假设样本观测值为 1,1,0,1,0, 求样本均值和样本方差 ；2 p 的矩估量值 ；解： 1样本均值x=15x i11101039方93差5i155样x21本442 s=1i5x i4414252525252510分母是 n-12由于XB1,p ,即 0-1 分布 . 就pEX,用样本均值 x 替换总体均值EX,得 p 的矩估量值为.p=x3X 为来自总体的简洁随机样本, 试求参数 p 的521设总体Xb n p ,n 已知,X X2矩估量量与最大似然估量量；名师归纳总结 - - - -

25、 - - -第 14 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第 15 页解：1由于 X B n p , 即二项分布, 且 n 已知 . 就 E X = np ,从而 p = E n X ,1 1 m用样本均值 X 替换总体均值 E X ,得 p 的矩估量量为 .p = X X i . n nm i 12 因 为 X B n p , 所 以 分 布 律 为x x n xP X = x =C n p 1 p , x =0,1,2, , n样 本 X X 2 , , X m 似 然 函 数 为：m mm m x i nm x iL p = C n x i p x i 1

26、p n x i = C n x i p i 11 p i 1i 1 i 1m m m两边取对数,得ln L p =ln C nx i x i ln p nm x i ln1 p i 1 i 1 i 1两边对 p 求导 ,得 dlnd Lp p =i m1 x i 1p nmi m1 x i1 1p令 dlnd Lp p = 0 ,解得 p 的最大似然估量值为 .pnm 1i m1 x i1 m 1就 p 的最大似然估量量为 .pnm i 1 X i =n X . 22. 设总体为 X , 期望 E X ,方差 D X2 , X 1 , X 2 , , X 是取自总体 X 的一个样本 , 样本均

27、值X1in1Xi,样本方差S2n11inXiX2,证明:S 是参数2 的无偏估量量第 15 页,共 19 页n1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第 16 页23有一大批袋装食盐；现从中随机地抽取16 袋,称得重量的平均值x503.75克,样本标准差 S 6.2022；求总体均值 的置信度为 的置信区间；记住下表：设 X ,X , ,X n 为总体 X N , 2 的一个样本,在置信度为 1 下,均值 和方差 2 的置信区间 1 , 2 ：待估参数 样本函数及其分布 置信区间2 U X N 0 1 n P |U | U 1均 值 已知 2

28、 X U , X U n 2 n 22T X t n 1 P |T | t n 1 1未知 S n 2S SX t n 1 , X t n 1 n 2 n 2方差2 未知 2 n 12 S 2 2 n 1 P12 2 n 1 n 12 S 212 2 n 1 12 2 n 1 S n 1 S2 , 22 n 1 12 n 1 其中, U2 是标准正态分布的上2 分位数；t2 n 1 是自由度为 n-1 的 t 分布的上2 分位数；22 n 1 ,1 22 n 1 分别是自由度为 n-1 的卡方分布的上2 分位数和上 12 分位数； X S, ,S分别是样本均值,样本方差,样本标准差 . 解题步

29、骤：1确定求什么参数的置信区间,哪一种情形；（2）由置信度 1,求出；第 16 页,共 19 页（3）确定样本函数及分布；并查表找分位数；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第 17 页4 代入上面表格中的置信区间,求出 1 , 2 . 解：少了一个条件：袋装食盐的重量听从正态分布 . 是 求 均 值 的 置 信 区 间 , 且 1 = . 095 , 就 = . 005 , 因 为 总 体 方 差 2 未 知 , 故 选 取 样 本 函 数T X t n 1,从而应当 查 t 分布上分位数表,t 0025 15 =2.13,将题目中的样本均值,样本方S n差、样本容量的值代入区间XSt2n1,XSt