2022年高考数学专题解解析几何题的方法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解解析几何题的方法大全高考解析几何试题一般共有4 题,共计 30 分左右 , 考查的学问点约为 20 个左右 . 其命题一般紧扣课本 , 突出重点 , 全面考查 . 挑选题 和填空题考查直线 , 圆, 圆锥曲线 , 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要学问点, 通过学问的重组与链名师归纳总结 接, 使学问形成网络 , 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有第 1 页,共 9 页时仍要用到平几的基本学问, 这点值得考生在复课时强化. 例 1已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点, AB=2

2、、OT=t 0t1 ,以 AB 为直腰作直角梯形AABB,使AA垂直且等于AT ,使BB垂直且等于BT ,AB交半圆于 P、Q 两点,建立如下列图的直角坐标系. 1写出直线AB的方程；（2）运算出点P、 Q 的坐标；（3）证明：由点P 发出的光线,经AB 反射后,反射光线通过点Q. 讲解 : 通过读图 , 看出A ,B点的坐标 . 1 明显A1,1t, B1,t,于是直线AB的方程为ytx1；（2）由方程组x2y21,ytx1,解出P0, 1、Q12t2,1t2；t1t2（3）k PT101, 0ttk QT12t20t1t21. 1t t22t12tt1t由直线 PT 的斜率和直线QT 的斜

3、率互为相反数知,由点P 发出的光线经点T 反射,反射光线通过点Q. 需要留意的是 , Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 好玩吗 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2已知直线l 与椭圆x2学习必备a欢迎下载有且仅有一个交点Q,且与 x 轴、 yy21 b0a2b2轴分别交于R、S,求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程讲解： 从直线 l 所处的位置 , 设出直线 l 的方程 ,由已知,直线l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线l 的方程为ykxm k0 .代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2,得m2.b2x2a2k2x2

4、2kmxm2a2b2.化简后,得关于x 的一元二次方程a2 k2b2x22 ka2mxa22 ma2 b20.于是其判别式2 ka2m 24 a2k2b2a2m2a2b24a2b2a2k2b2由已知,得=0即a2k2b2m2.在直线方程ykxm中,分别令y=0,x=0,求得Rm, 0,S ,0m .k令顶点 P的坐标为（ x,y）,由已知,得xm,ky,kx解得ym .my .的直线到原点的距代入式并整理,得a2b21, 即为所求顶点P 的轨迹方程22xy方程a2b21 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗. 22xy例 3 已知双曲线x2y21的离心率e233,过Aa ,0 ,B0 ,b

5、a2b2离是3.2（1）求双曲线的方程；名师归纳总结 （2）已知直线 上,求 k 的值 . ykx5 k0交双曲线于不同的点C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆第 2 页,共 9 页讲 解 ： （ 1 ）c233,原 点 到 直 线AB ：xy1的 距 离aabdaabb2ab3. 2c2b1,a3.y21.故所求双曲线方程为x23（2）把ykx5代入x23y23中消去 y,整理得13k2x230kx780. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设Cx 1,y1,Dx2,y2,CD学习必备欢迎下载的中点是Ex 0y0,就x 0 x 1 x 2 15

6、 k2 y 0 kx 0 5 52 ,2 1 3 k 1 3 kk BE y 0 1 1 .x 0 kx 0 ky 0 k 0 ,即1 153 kk 2 1 53 kk 2 k 0 , 又 k 0 , k 2 7故所求 k= 7 . 为了求出 k 的值 , 需要通过消元 , 想法设法建构 k 的方程 . 例 4 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1、 F2在 x 轴上,点 P 为椭圆上的一个动点,且F1PF2 的最大值为 90 ,直线 l 过左焦点 F1 与椭圆交于 A 、B 两点,ABF 2 的面积最大值为 12（ 1）求椭圆 C 的离心率；（ 2）求椭圆 C 的方程讲解：（1）设|PF

7、1|r 1|,PF2|r 1r2|,F 1F2|12c, 对PF1F2,由余弦定理 , 得1cosF 1PF201 r 1r2r24 c2r 222 rr24 c24 a24 c214a224 c222r 12r 1r 22r 1r2r 1r 22212e2,解出e2.2（2）考虑直线 l 的斜率的存在性,可分两种情形：i 当 k 存在时,设l 的方程为ykxc k210. 椭圆方程为x2y21 ,A x1,y 1,B x2,y222ab由e2.得a22 c2,b22c2. 2x22y2c20 于是椭圆方程可转化为将代入,消去y 得x22 k2xc 22c20, 整理为 x 的一元二次方程,得

8、 12k2x24ck2x2 c2就 x1、x2 是上述方程的两根且名师归纳总结 |x2|x 1|222c1k2,2c 1k2,也可这样求解：y1|y2|第 3 页,共 9 页12k2|AB1k|x 2x 1|212 k2S1|F1F2|2c|k|x 1x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AB 边上的高h|F 1F2|sinBF1F学习必备|欢迎下载22 ck|2,1k名师归纳总结 S1221 c 1k2|k|22c第 4 页,共 9 页22k21k22 c21k2|k|22c21k22k4k412k24k422 c24k11k22 c2.4ii 当

9、k 不存在时,把直线2y c |, AB | 2 c , S2x 22cc代入椭圆方程得2 c21由知 S 的最大值为2c2由题意得2 2c =12 所以c262b2a2122故当 ABF 2面积最大时椭圆的方程为：x22y21.1262下面给出此题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：xmyc （这样设直线方程的好处是什么？仍请读者进一步反思反思.）椭圆的方程为：2 xy2,1A x 1,y 1,Bx2,y2a2b2由e2.得：a22c2,b2c2,于是椭圆方程可化为：x22y22 c20 2把代入并整理得：m22y22mcyc20于是y 1, y 2是上述方程的两根.

10、|AB|x 1x22y 1y221m2|y 2y 1|1m24m2c2m4 c2m22 22c 1m2, 22m22AB 边上的高h12c2, m从而S1|AB|h122c12 m2c222 c21m2222m221mm2 22 c2m2111122 c2.m2当且仅当 m=0 取等号,即S max2 2 c.由题意知2c212, 于是b2c262,a2122. 故当 ABF 2面积最大时椭圆的方程为：x22y221.126例 5 已知直线yx1与椭圆x2y21 ab0相交于A、B 两点,且线段a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AB 的中点在直

11、线l:x2y0上. 学习必备欢迎下载（）求此椭圆的离心率；（2 ）如椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2By2,y24上,求此椭圆的方程. 讲解 :（1）设 A 、B 两点的坐标分别为A x 1,2yx1,得y 1,x. 就由x2y21a2b2x22a2xa2a2b20, a2b2依据韦达定理,得2 2x 1 x 2 2 2 a2 , y 1 y 2 x 1 x 2 2 2 2 b2 ,a b a b2 2线段 AB 的中点坐标为（2 a2 , 2 b2）. a b a b2 2由已知得 2 a2 2 2 b2 0 , a 22 b 22 a 2c 2 a 22 c 2a b a b2故椭

12、圆的离心率为 e . 2（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 b ,c 从 而椭 圆 的 右 焦点 坐 标为 F b , 0 , 设 F b 0, 关 于 直线y 0 0 1 x 0 b y 0l : x 2 y 0 的对称点为 x 0 , y 0 , 就 1 且 2 0 ,x 0 b 2 2 2解得 x 0 3 b 且 y 0 4 b5 5由已知得 x 0 2y 0 2,4 3b 2 4b 24 , b 245 52 2故所求的椭圆方程为 x y 1 . 8 42 2例 6 已知 M：x y 2 ,1 Q 是 x 轴上的动点, QA ,QB 分别切 M 于 A ,B两点,（1）假如| AB|432

13、,求直线 MQ 的方程；（2）求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 讲解 :（1）由| AB|432,可得学习必备|欢迎下载|AB|22 123221,由|MPMA|223射影定理,得|MB|2|MP|MQ|,得|MQ|,3在 Rt MOQ 中,|OQ|22,MQ|2MO|22 35故a5 或a5,所以直线 AB 方程是2x5y250或2xP5y,250 ;（ 2）连接 MB ,MQ ,设x,yQa ,0 ,由点 M ,P,Q 在始终线上,得2 y 2, * 由射影定理得 | M

14、B | 2 | MP | | MQ |,a x2 2 2即 x y 2 a 4 ,1 * 把（ *）及（ * ）消去 a,并留意到 y 2,可得x 2 y 7 2 1 y 2 .4 16适时应用平面几何学问,这是快速解答此题的要害所在,仍请读者反思其中的奥妙 . 例 7 如图,在 Rt ABC 中, CBA=90 , AB=2 ,AC= 2 ；DO AB 于 O 点,2OA=OB ,DO=2 ,曲线 E 过 C 点,动点 P 在 E 上运动,且保持（ 1）建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程；| PA |+| PB |的值不变 . 名师归纳总结 （ 2）过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于

15、不同的两点M 、N 且 M 在 D、N 之间,设DM,第 6 页,共 9 页DN试确定实数的取值范畴y B x讲解 : （1）建立平面直角坐标系, 如下列图. | PA |+| PB |=| CA |+| CB | =2222222C 22A O 动点 P 的轨迹是椭圆. a2,b,1c1 .曲线 E 的方程是x2y21. 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）设直线 L 的方程为ykx学习必备欢迎下载x22y22,得2, 代入曲线 E 的方程名师归纳总结 i 2 k21x28kx602. 第 7 页,共 9 页设 M 1（x 1 ,y1,Nx2,

16、y2, 就8 k 24 2 k1 60 , x 1x 28 k1,2 k2x 1x 22 k61.2L 与 y 轴重合时,|DM|1|DN|3ii L 与 y 轴不重合时,由得k23.2又DMxDxMx 1, DNxDxNx2x2x 10,或x2x 10 ,01 , x 1x22x 1x 221x 1x 2x 2x 1xx2264 k213 232x 1x 26 2k21, k2而k23,63218 .2k243 23216,1013k241216, 2133- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0,1学习必备欢迎下载A12,11 .3110,3的取值范畴

17、是11,. 3值得读者留意的是,直线L 与 y 轴重合的情形易于遗漏,应当引起小心. 例8直 线 l 过 抛 物 线y22px p0 的 焦 点 , 且 与 抛 物 线 相 交 于x 1,y1和Bx 2,y2两点 . （1）求证：4x 1x2p2; （2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦讲解 : （1）易求得抛物线的焦点F P 2, 0 . CD,直线 l 不是 CD 的垂直平分线 . 如 lx 轴,就 l 的方程为xP,明显x 1x 2P2. 24如l不 垂 直 于x轴 , 可 设ykxP, 代 入 抛 物 线 方 程 整 理 得22 xP 12PxP20,就x 1x 2P2. k244,

18、 就CD的 垂 直 平 分 线 l的 方 程 为综上可知4x1x2p2. （ 2 ） 设Cc2,c ,Dd2,d且cd2p2pyc2dcdxc24d22ppc24d2整理得假设 l 过 F,就0c2dc2dpp2pcd2p2c2d20p02px只相交于原点 . 而 l 与抛物线有两个不同的2p2c2d20,cd0. 这时 l 的方程为 y=0,从而 l 与抛物线y2交点,因此 l 与 l 不重合, l 不是 CD 的垂直平分线 . 名师归纳总结 此题是课此题的深化,你能够找到它的原形吗？学问在记忆中积存,才能在联想中提升. 第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - -

19、- - - - - - - 学习必备 欢迎下载课本是高考试题的生长点,复课切忌忘掉课本！例 9 某工程要将直线大路l 一侧的土石, 通过大路上的两个道口A 和 B,沿着道路 AP、BP 运往大路另一侧的 P 处, PA=100m,PB=150m , APB=60 ,试说明怎样运土石最省工？讲解 : 以直线 l 为 x 轴,线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系,就在 l 一侧必存在经A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点,设这样的点为 M,就|MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即|MA| |MB|=|BP| |AP|=50, A 沿 AP 运往| AB|507, M 在双曲线x2225y261的右支上 . 252故曲线右侧的土石层经道口B 沿 BP 运往 P 处,曲线左侧的土石层经道口P 处,按这种方法运土石最省工. 相关解析几何的实际应用性试题在高考中好像仍未涉及,范例,你知道吗？其实在课本中仍可找到典型的名师归纳总结 解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 表达在重视才能立意, 强调思维空间, 是用第 9 页,共 9 页活题考死学问的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合 , 分类争论 , 函数与方程等数学思想 , 以及定义法 , 配方法 , 待定系数法 , 参数法 , 判别式法等数学通法.- - - - - - -