2022年量子力学-曾谨言-第五版-第章序言-知识点汇总.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 东北师范高校本科生物理专业量子力学课程讲稿 1.1 Planck第一章量子力学的历史渊源的能量子假说经典物理学的成就到 19 世纪末,已经建立了完整的经典物理学理论：1 、以牛顿三大定律和万有引力定律为基础的经典力学 力学物体的机械运动 ,2 、以麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式表述的电磁场理论 象的规律 ；从天空到地上的各种尺度 光的波动理论、电磁现3 、热学以热力学三大定律为基础的宏观理论和统计物理所描述的微观理论（大量 微观粒子的热现象等） ；这些理论能令人中意地说明当时所常见的物理现象,让当时绝大多数的物理学家相 信物理学基本理论已经完成,

2、剩下的工作在需要在细节上作一些补充和修正；经典物理学所遇到的问题 1 、黑体辐射现象, 2 、光电效应； 3 、原子的光谱线系； 4 、原子的稳固性；5 、固体的低温比热；一、黑体辐射的微粒性 1、黑体辐射的几个物理量 黑体：全部落到（或照耀到）某物体上的辐射完全被吸取,就称该物体为黑体；辐射本事：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布,用E ,T 表示； ,S上发射出频率在范畴内的能量表示为：1 所以在t 时间,从面积ETt S作者：张宏标名师归纳总结 第 1 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 东北师范高校本科生

3、物理专业量子力学课程讲稿能量 2因此,E , T 的量纲为：= 焦耳 米；1 2秒米秒可以证明： 辐射本事与辐射体的能量密度分布的关系 E v T c , v T ,（,v T 的单位4焦耳为 3秒）；米吸取率：照到物体上的辐射能量分布被吸取的份额,用 A , T 表示；G. Kirchhoff（基尔霍夫）证明：对任何一个物体,辐射本事 E v T 与吸取率 A , T 之比是一个普适的函数,即E v T f , T （ f 与组成物体的物质无关） ；A v T 对于黑体的吸取率 A v T 1, 故其辐射本事 E , T f , T （等于普适函数与物质无关）；所以只要黑体辐射本事争论清晰了

4、,就把普适函数（对物质而言）弄清晰了；辐射本事也可以用E , T 描述, 由于单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量可写为：由于c知d0E v T dvE ,T d0E v TcdE , T d0c 2d 代入上式得：20E v T2E ,T 或E ,T2E v T 焦耳 米3秒 cc2、黑体的辐射本事黑体辐射的空间能量密度按波长（或频率）的分布只与温度有关；试验测得的辐射曲线满意以下定律：i 、斯忒藩玻尔兹曼定律（Stefan-Boltzmann Law ）黑体辐射能量（单位时间,单位面积发射的能量）是与肯定温度T4成正比,即2 作者：张宏标名师归纳总结 - - - - - -

5、-第 2 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 东北师范高校本科生物理专业量子力学课程讲稿R T T4254 k B5.67 108J K42 s m ,个定理3 15 h c2其中R T E ,T d为黑体辐射能量；这是斯托藩 1879 年试验测定的,而 1884 年玻尔兹曼从热力学理论推导出来；ii、Wien 位移定律（ Wien Displacement Law）地有一即维恩发觉,对于一个确定的温度T ,相应波长0 使E0,T 达到极大值, 而0 T 0常数 ；0 T 01 1 T2 T 25.1 103 K m这说明随着温度上升, 热辐射峰值向短波高频方向移

6、动； 温度越高,波长越短的光 即绿光和蓝光 越多；温度越低,波长越长的光 3、经典物理学的缺陷 即红光 越多；利用经典物理学理论推导出的理论公式不能完全地符合试验,呈现出经典物理学理 论的局限性；i 、黑体辐射谱的维恩（ Wien）体会公式：维恩1894 依据热力学其次定律及用一模型可得出辐射本事E vT , 3 cv ec v T 2其中c 12h c2,而kB1.38 10-23JoK是玻尔兹曼常数；c 2h k B维恩公式在高频率 短波段 与试验符合,但在中、低频率（长波段）区,特殊是低 频率区与试验偏离很大； ii、瑞利 -金斯（ Rayleigh-Jeans ）公式：瑞利1900 依

7、据经典电动力学及金斯 黑体辐射本事公式：1905 由经典统计力学的能均分定理严格得到作者：张宏标名师归纳总结 - - - - - - -3 第 3 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 东北师范高校本科生物理专业量子力学课程讲稿E v T8v2k Tv T10 10oKS1）时,符合（即3 cE v T 仅当频率足够低 （或长波段）,温度足够高 （即k Thv）试验曲线；但在频率 v 很高紫外区域（或很小的短波段）时,E v T d,即闻名“ 紫外发散灾难” ；这两个公式并不完全符合试验结果,但理论上给出的结 论是准确无疑的；总之,用经典物理学理论说明黑体辐射谱的试

8、验规律完全失败；二、固体低温比热依据经典理论,如一个分子有n 个原子,而每个原子有3 个自由度；对于 1 摩尔该分子固体有N 个分子（N06.021023mol 称为阿伏加德罗常数） ,故有3nN 个自由度；所以,固体定容比热为：C VE 3 N nk B 3 nR, 其中 R 8.314J o K mol 是气体常数；T V称为能均分定理（ Dulog Relit 体会规律）；试验发觉,对单原子固体,在室温下 C v Constant 符合能均分定理；但在低温下,3C v T 0,因而这个试验结果与经典理论不符；如何解决这些问题呢？在经典物理学框架下,说明黑体辐射定律的多次失败后,物理学家逐

9、步地熟悉到必 须引入一个新的理论；三、Planck 假说（ 1900）1、普朗克公式 1900/10/19 普朗克在柏林物理学会会议上公布了他通过试验数据,采纳数学插值法 得到的公式： d8h311dc3he k T B此公式与试验曲线符合得相当好；作者：张宏标名师归纳总结 - - - - - - -4 第 4 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 东北师范高校本科生物理专业量子力学课程讲稿1900/12/14 普朗克又在柏林物理学会上给他的公式以量子说明,这就是量子论的生日；2、普朗克的“ 能量子” 假设频率为的电磁辐射的能量以h 为单位（ h 是 Planck

10、常数）不连续地变化；h 称为能量子或光量子；式中h6.6261034Ennhvn2n0, 1, 2,34焦耳秒 ；焦耳秒 或h1.054510留意：能量不连续的概念与经典物理学中能量是连续的完全不相容的！利用普朗克假设求普朗克公式如下：辐射的平均能量可如此运算得到：在经典物理学中,在EEdE 区间内 , 经典的能量几率分布 : eEk T BdE0eEk T BdE（玻尔兹曼几率分布） , 就对于连续分布的辐射平均能量为E00EeEk T BdEk T E e BEk T Bk T B0eEk T BdEk T；0eEk T BdE0eEdE0eEnk T B,故分立的平均辐射能Enk T B

11、e而对于普朗克假设下的能量分布几率,就为n量为En0E eE nk T Bn0nh enhk T Byhhdn0enyhd dy1eey1；k T应改为k T Bdyy11eEnk T Benhk T Benyn0n0n0h1ey2eyh eyh1h eh11ey11eyy ek T B0xn；2v2上式运算中取eyx并用到幂级数绽开公式：11xn公式：E v T因此,用电动力学和统计力学导出的Rayleigh-Jeansc2作者：张宏标5 名师归纳总结 第 5 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 东北师范高校本科生物理专业量子力学课程讲

12、稿E v T2hv3hv e11c2k T B这就是 Planck 假设下的辐射本事,它与试验完全符合；由辐射本事与能量密度的关系E v Tc , v T4知,普朗克公式：其中 d8h3h e/11d, k 玻c3k T B d 是表示黑体辐射的频率在d 内的空间能量密度、 c光速、尔兹曼常数、 T 肯定温度；Planck 公式与试验完全符合；对普朗克公式进行以下争论 : 极限情形：当k Thv（高频区）：E v T , 23 hvehvk T B3 c v ec v T 2c 12h,c 2h, 即 Wien 公式; c2c2k B当k Thv（低频区）：E v T23 hvhv e122k

13、 T, 即 Rayleigh-Jeans公式；c2c2k T B1 斯托藩 - 玻尔兹曼定律R T E , T dn12h311d62hk T43 x ex11dx6 c2h ek T Bc2h作者：张宏标2k T43 x enxdx2k4T4n1B2 c h32 3c h14 n名师归纳总结 第 6 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 东北师范高校本科生物理专业量子力学课程讲稿 维恩位移定律E ,T2E ,T22h31122 hc11ccc2h ek T B5ehck T B对于一个固定的温度值T , 求导dE,T：2e hck T B

14、0d1 5hc kT e hcE , T 0固定2hc215e hck T B6k T B1从而有hc1ehck T B5 0T 00.2898102 Km ；k T 固体的低温定容比热（具体见固体物理学（黄昆著）由总辐射能量密度（单位：焦耳米 ）P122-130） W T ,T d4E ,T d85k4T445k4T42BBc153 3c h153 c h33 c横波 2 所受 可推出固体中原子振动能量密度为其中u 和5 443 k T 315 c h421,低温下,C VT ；3 u T3 u Lu 分别为固体中的横向声速和纵向声速；该公式只适用于低温,因固体中原子振动有最高频率的限制（声

15、波在固体中波长不短于晶格距离的2 倍,即u2au2 a ）,而在低温下,高频并不激发,因此,影响可忽视（推导辐射总能时高频是计及的,但低温下高频影响可忽视,所以这样推出的公式只适用于低温） ； 1.2 Einstein的光子说7 第 7 页,共 23 页一、爱因斯坦“ 光量子” 假说1905 1、光电效应现象 1887 赫兹Hertz 作者：张宏标名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 东北师范高校本科生物理专业量子力学课程讲稿光电效应的主要现象：当单色光照耀到金属表面上,有这样一些现象（使人困惑的特点）：A、发射光电子依靠于频率,而与光强度无

16、关；要有光电子发射,光频率就必需大于某一值,即有一最低频率 min；B、当照耀光的频率 min 时,发射出的光电子动能大小与光强度无关；这从经典物理学角度是特别难以懂得的,由于光的能量是正比于强度而与频率无关；因此认为光波强度增加时,光波中电场振幅增大,应当会加速电子达到较高的速度和较大的动能,从而离开金属,所以光强度越大,飞出的电子动能越大,而能有光电子产生,也并不需要大于肯定频率,即与频率无关；所以,经典理论与试验绝然相反；2、Einstein1905 的“ 光量子” 假设 : Einstein （1905）创立了狭义相对论, 并在这年将 Planck“ 能量子” 假设推广为 “ 光量子”

17、 的概念；i 、“ 光量子”的概念： 一束单色光由辐射能量大小为 hv 的光量子组成,即假设光与物质粒子交换能量时,是以“ 微粒” 形式显现,这种“ 微粒” 带有能量 hv；ii、光子的动量与波长的关系：p h c h；光子的静止质量 m 0 0,依据狭义相对论的光的能量- 动量关系：E 2m c 2 4p c 2 2 p c ；又由于 E h , 所以 p h c h（c 是光的波长）；对说明光电效应试验如下：电子要飞离金属, 必需克服吸引而做功W（逸出功）,所以飞出光电子电子的动能K e: KehW 0,W 0电子在金属中的脱出功8 由于电子吸引两个光量子的几率几乎为0,故要想飞离金属,就

18、至少Ke0；hv minW , 即有一最低频率；而KehvW 0h vv min；作者：张宏标名师归纳总结 第 8 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 东北师范高校本科生物理专业量子力学课程讲稿 我们可以看到,核心的问题是一束单色光可以转移给一个电子的能量 除以频率 v 为 一个常数,即vh常数而这个常数 h与光的频率 v、光的强度、电子以及金属材料都无关；该常数并不能由 经典物理学中常数所 给出；因此,hv 是一个与经典物理学完全不相容的关系式；意义： 证明电磁场的能量子 子,称为“ 光子” ；h 可以和单电子相互作用, 从而它本身也可

19、视为一种粒3、密立根 Millikan试验1916 密立根在 1910 开头争论光电效应,到1916 通过试验证明白爱因斯坦的光电方程,并推算出普朗克常量h6.561034J s；这为爱因斯坦的光量子理论供应了第一个直接而全面的试验证据； 1921 年爱因斯坦由于光电效应等理论工作获得诺贝尔物理学奖,密立根也于 1923 年荣获诺贝尔物理学奖；4、康普顿散射（ Compton Scattering ）Compton试验1923 是光在自由电子上的散射 有粒子性； 或称光子 - 电子的碰撞 ；证明白光具试验发觉,单色 x 射线与电子作用使电子发生散射,散射 x 射线的波长增大：A 1 cos试验

20、结果和特点经典物理无法说明；康普顿引入“ 光子” 的概念并利用相对论力学对散射过程胜利地进行理论说明如下：依据爱因斯坦假设：x 射线在与电子相互作用时是以“ 微粒” 形式显现,因此它们9 交换能量和动量；设x 入射波长为, 就入射的 x 射线的能量和动量为作者：张宏标名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 东北师范高校本科生物理专业量子力学课程讲稿Ehnhcnhn；pEhcc假定电子开头处于静止状态,其初始能量为m c ；当 x 射线与电子发生相互作用后,x 射线以动量 p 沿着 方向射出,此时波长为,能量和动量分别为h

21、cE hE h hp n n nc c而电子的反冲角为, 能量为 E e c p 2e 2 m c 和动量为 p ：依据散射前后的能量、动量守恒有由2 1chm c2E ehhm c2Ee 1pppeppp e 222得: 利用phm c22c2pp2E22 2c p e2 m c4eh2222 m c h2 c p22 c p222 c p p0hch, 上式变为m hh2 1cosphchc2即m hcch21cosh1cos m ch1cos ,其中ch m c2.431012m称为电子的康普顿散射波长；m c 例题 1 当光对自由质子散射时,求它的波长的转变；作者：张宏标名师归纳总结

22、- - - - - - -10 第 10 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 东北师范高校本科生物理专业量子力学课程讲稿解：依据康普顿散射公式h mc1cos 得3482.6510152 sin 2m；对于质子,m1840m e18409.1 1031kgh1cos 2 h2 sin 226.626 10mcmc18409.1 10313 10 例题 2 当氢原子放射一个频率的光子时,求它的反冲,并求当反冲时由于把能量传递给原子而产生的的转变；,反冲时间子的频率为；由能解：设氢原子的质量为m ,不反冲时间子的频率为量和动量守恒得：mvc1mv222222mc；22

23、mc20综上所述,从黑体辐射,固体低温比热,光电效应和康普顿散射的试验事实争论中 得出结论：辐射除了显示其波动性外,在与物质的能量和动量交换时,仍显示出微 粒性,两者之间的关系式中Ehnhnhnkk2连pE cc起着重要作用,很小,在许多场合,这种量子效应不显示,这时不连续续,辐射的微粒性消逝； 1.3 玻尔旧量子论 一、原子结构的稳固性 1、原子“ 行星模型” （1911 Rutherford）卢瑟福（ Rutherford ）组用 粒子轰击原子发觉,粒子以肯定几率散射在大角度 方向上,每两万个 粒子约有一个 粒子返回,飞向源的方向,从而提出原子的行 星模型；以这一模型运算散射微分截面,与试

24、验符合得特别好；作者：张宏标名师归纳总结 - - - - - - -11 第 11 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 东北师范高校本科生物理专业量子力学课程讲稿对原子行星模型,按经典电动力学观点：原子中电子绕原子核加速运动,电子会不断向外辐射电磁波 即发光 致使其运动的总能量削减而减速,从而从轨道半径逐渐缩小将发生“ 原子坍塌” 106 秒 ；但事实上原子基态是特别地稳固,也没有辐射发生 因负电荷粒子加速 , 这给经典理论带来了困难；2、氢原子光谱的体会公式氢原子特点谱线的频率为： （1885 Balmer ）cRH11,mn1,2,3, 其中R H109677

25、58.1m -Rydberg常数；m2n2分为五个线系：远紫外区（赖曼Lyman系）、可见光和近紫外区（巴尔末Balmer系）、近红外区（帕邢 Paschen 系）、较远红外区（布喇开 Brackett 系）、远红外区（普逢得 Pfund 系）；每个线系均具有以下规律性：沿波长减小的方向,谱线越来越密集且谱线强度越来越弱；谱线公式中的每一项称为“ 光谱项”：ncR H1 n, 可认为每个光谱项对应着氢原子的一种能量状态；这样,氢原子的能量就是不连续地变化的,其可能的值为：EnhnhcR H1这称为氢原子的能谱；12和12也在特点光谱中；2 n里兹“ 并合规章” ：如1和2在特点光谱中,就有时其

26、意义是氢原子的任何一条谱线的波数都等于断续系列中的某两项之差；为了说明上面的现象,玻尔将卢瑟福的原子结构模型与普朗克- 爱因斯坦的光子理论结合,提出了原子结构的旧量子论；二、Bohr 模型1913 N. Bohr 作者：张宏标名师归纳总结 - - - - - - -12 第 12 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 东北师范高校本科生物理专业量子力学课程讲稿1、玻尔模型的基本假设：i 、定态假设电子在原子中只能沿着某些特殊轨道运动,当电子在这些轨道上时,既不发出也不吸取光辐射；ii、跃迁假设当电子由一个定态“ 跳”（跃迁）到另一个定态时会发出或吸取光辐射,其频率为

27、： E n E m h,式中 E 和 E 为跃迁前、后的能量；iii、角动量量子化条件：电子在原子中的答应轨道上满意下面的条件：它的轨道角动量是 的整数倍 , 即J rp n n 1,2,（对于圆形轨道）；2、经典力学加玻尔假设可胜利说明氢原子光谱氢原子中电子绕核运动的方程为：Fm ev242 er22 m v e42 e0rR Hm e2cr0总能量：ETV1m v242 e0r2 e280r再利用玻尔量子化条件：Jnrpm vr2 m vn2242 e0rr n40n22m r22 m eE n24 m e e021hcR H1 , 2 nn1,2,3, 242 n其中定义精细结构常数42

28、 ec137,m 是电子质量, e 是电子电荷；因而02h与试验数值完全符合；3、玻尔模型的试验证据i 、氢原子光谱和类氢原子光谱,ii、Franck-Hertz试验1913 也证明白原子能量的不连续性；作者：张宏标名师归纳总结 - - - - - - -13 第 13 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 东北师范高校本科生物理专业量子力学课程讲稿iii、斯特恩 - 盖拉赫试验 1921 证明角动量量子化的, iv 、X射线的特点辐射等；三、威尔逊 - 索末菲（ Sommerfeld）量子化条件 1915 索末菲推广了玻尔的角动量量子化,重新表述为 : 对于任何周

29、期运动的自由度 p q ,有量子化条件p dq i nh n 1,2, 其中 iq广义坐标,ip广义动量； 例 考虑一个电子绕电荷为Ze的原子核在一平面中运动,求其可能的定态能量； 解 系统的哈密顿函数为H1 2 m2 p rp 2Ze 2rn h得r240由有心力下角动量守恒,知p常数pH0；由量子化条件p dpn；2mEp222 mZe由E2 p r2p222 Zer得p r2 mmr40r240rAAp20CABCr2CrACr2BArCr2ABr令B2 mZe20,就p r40r2rBrBrC2mE1AarcsinBx2AdxxABxCx2x B24AC利用公式AdxCx21arcsi

30、n2 Cx4BC0得BxCB2ACxdxABxCx2BdxABxCx2C2CABxCx2p dr rCABdrr maxdrBr mindr1r maxd Cr2BrAAr2rrCr2BrA2r minCr2BrA2r minCr2BrAr minarcsinrBr2A2BCarcsin2 Cr4Br maxABrCr2AAB24ACB2ACr minAC0；其中rmax和r min由积分Cr2rBrA dr0打算,即r maxminBB24AC且C202 CB4作者：张宏标14 名师归纳总结 第 14 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

31、 东北师范高校本科生物理专业量子力学课程讲稿由rBr2Ar max1得arcsinrBr2Armax2arcsin11,2,其中a402；2 B4ACr minB 24ACrmin由2 Cr4Brmax1 得arcsinr2arcsin1Br2Ar maxB2ACrminB24ACr min故由量子化条件p drn h rnA2BCn h1,2,得2ABC2n h2p2Ze 2m2 n h402E2 Zem2n rnn n1,2,E2 Zea n 1 2n402 E802 mZe旧量子理论虽然在说明氢原子和类氢原子上取得肯定胜利,但也存在着严峻的缺陷： i、对含有多个电子体系的复杂原子光谱、半

32、整数角动量等等无能为力, ii、不能求解谱线的强度； iii、只能做周期运动；、无法懂得人为假设 加速不辐射和量子化条件等 ； iv 因此,必需有崭新的理论来说明客观存在的物理现象与经典物理学理论冲突的事实； 1.3 物质粒子的波动性 一、德布罗意的“ 物质波” 假设 de Broglie/1923 德布罗意依据对辐射具有微粒性的争论,提出“ 物质波” 假设：i 、具有肯定动量的粒子和肯定波长的波相联系iih p即 pk（ |k| 2）称为德布罗意关系、能量 E与频率关系: Eh（称为 Einstein关系）；这两个关系把表征粒子性的动力学变量（能量和动量）与波动性的特点量（频率和波矢）联系起

33、来；也就是说,对一个具有确定能量和动量的自由粒子,相应地有确定的频率和波矢（波数及肯定的传播方向npp ）；15 作者：张宏标名师归纳总结 第 15 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 东北师范高校本科生物理专业量子力学课程讲稿 而我们知道,具有一个固定频率和波长的波（并有肯定的传播方向）是一个平面波Aei k rtAei p rEtpk , E；.、电子k2n物质波：把具有肯定动量的自由粒子所联系的平面波称为德布罗意波（物质波）而一般可运算得到：物质微粒的波长1010.,氧原子0.4.、DNA分子104波长1.；只有当物质波的波长大于或

34、等于光学仪器的特点尺度时,才会观看到干涉或衍射现 象；通常物质微粒的质量和动量较大,因而德布罗意波长特别短超出了可测的范畴 而不显示波动性,仅在原子尺度下才能显示出波动性；关于德布罗意波长的运算：在非相对论情形下：Ekp2 2 mp2mEkh2mE k；0.286 E eV.；kh p当粒子是电子时,m e9.108 1031kg ,从而e12.5 E k eV.；当粒子是质子或中子时,m pm n1.67 1027kg ,从而有p n在相对论情形下：E e2 2c p e2 m c4E2E km c24p2m Ek12Ek2E2 p c22 m cm ch2Ek2；1h2m E kpm c 0当m c2E ,就h2 m E ；德布罗意提出“ 物质波” 时并没有试验依据,只是一个假设；其目的是为了用电子的波动性说明玻尔量子化理论的困难,他把原子定态与驻波联系,即把束缚运动实物粒子的能量量子化与有限空间中驻