2022年千题百炼——高考数学个热点问题：第炼函数零点的个数问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章第 10 炼 函数零点的个数问题函数及其性质第 10 炼 函数零点的个数问题一、学问点讲解与分析：1、零点的定义： 一般地, 对于函数 y f x x D,我们把方程 f x 0 的实数根 x 称为函数 y f x x D 的零点2、函数零点存在性定理：设函数 f x 在闭区间 a b 上连续,且 f a f b 0,那么在开区间 a b 内至少有函数 f x 的一个零点, 即至少有一点 x 0 a b ,使得 f x 0 0；（1） f x 在 a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“ 不肯定”（假

2、设 f x 连续） 如 f a f b 0,就 f x 的零点不肯定只有一个,可以有多个 如 f a f b 0,那么 f x 在 a b 不肯定有零点 如 f x 在 a b 有零点,就 f a f b 不肯定必需异号3、如 f x 在 a b 上是单调函数且连续,就 f a f b 0 f x 在 a b 的零点唯独4、函数的零点,方程的根,两图像交点之间的联系设 函 数 为 y f x, 就 f x 的 零 点 即 为 满 足 方 程 f x 0 的 根 , 如f x g x h x , 就 方 程 可 转 变 为 g x h x, 即 方 程 的 根 在 坐 标 系 中 为g x ,

3、h x 交点的横坐标,其范畴和个数可从图像中得到；由此看来,函数的零点,方程的根,两图像的交点这三者各有特点,且能相互转化,在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范畴这些问题时要用到这三者的敏捷转化；（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：如一个方程有解但无法直接求出时,可考虑将方程一边构造为一个函数,从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范畴内；例如：对于方程名师归纳总结 lnxx0,无法直接求出根,构造函数fxlnxx ,由f10,f10即可判第 1 页,共 18 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章1 ,1 2中

4、第 10 炼 函数零点的个数问题函数及其性质定其零点必在2、函数的零点,方程的根,两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特别值精确运算,将零点圈定在一个较小的范畴内；缺点： 方法单一, 只能判定零点存在而无法判定个数,（2）方程的根：工具：方程的等价变形且能否得到结论与代入的特别值有关作用： 当所给函数不易于分析性质和图像时,可将函数转化为方程,从而利用等式的性质可对方程进行变形,构造出便于分析的函数缺点： 能够直接求解的方程种类较少,许多转化后的方程无法用传统方法求出根,也无法判断根的个数（3）两函数的交点：工具：数形结合作用： 前两个主要是代数运

5、算与变形,而将方程转化为函数交点,是将抽象的代数运算转变为图形特点,是数形结合的表达；通过图像可清晰的数出交点的个数（即零点,根的个数）或者确定参数的取值范畴；缺点： 数形结合能否解题,一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时,通常进行参变分别, 其目的在于如含x 的函数可作出图像,那么由于另外一个只含参数的图像为直线,所以便于观看） ,另一方面取决于作图的精确度,所以会涉及到一个构造函数的技巧,以及作图时速度与精度的平稳（作图问题详见：1.7 函数的图像）3、在高中阶段主要考察三个方面：（1）零点所在区间零点存在性定理,（2）二次方程 根分布问题, （3）数形结合解决根的个数问题或求

6、参数的值；其中第（3）个类型常要用到 函数零点, 方程,与图像交点的转化,请通过例题体会如何利用方程构造出函数,进而通过 图像解决问题的；三、例题精析：名师归纳总结 例 1：直线 ya 与函数yx33x 的图象有三个相异的交点,就a 的取值范畴为第 2 页,共 18 页A2,2BD, 22,2C 2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 第 10 炼 函数零点的个数问题 函数及其性质思 路 ： 考 虑 数 形 结 合 , 先 做 出 y x 33 x 的 图 像 , 2 y 3 x 3 3 x 1 x 1,令 y 0 可解得：x 1 或3x 1,故

7、 y x 3 x 在 , 1 , 1, 单调递增,在 1,1单调递减, 函数的极大值为 f 1 2,微小值为 f 1 2,做出草图；而 y a 为一条水平线,通过图像可得,y a 介于极大值与微小值之间,就有在三个相异交点；可得：a 2,2答案： A 小炼有话说： 作图时可先作常系数函数图象,对于含有参数的函数,先分析参数所扮演的角色,然后数形结合,即可求出参数范畴；例 2：设函数 f x x 22 x 2ln x 1,如关于x的方程 f x x 2x a 在 0,2 上恰有两个相异实根,就实数 a 的取值范畴是 _ 2 2思路：方程等价于：x 2 x 2ln x 1 x x a a x 2l

8、n x 1,即函数 y a与 g x x 2ln x 1 的图像恰有两个交点,分析 2 x 1g x 的单调性并作出草图：g x 1x 1 x 1令 g x 0 解得：x 1 g x 在 0,1 单调递减,在 1,2 单 调 递 增,g 1 1 2ln2, g 0 0, g 2 2 2ln3,由图像可得,水平线 y a 位于 g 1 , g 2之间时,恰好与 g x 有两个不同的交点；1 2ln2 a 2 2ln3答案： 1 2ln2 a 2 2ln32 2小炼有话说：（ 1）此题中的方程为 x 2 x 2ln x 1 x x a ,在构造函数时, 进行了 x 与 a 的分别, 此法的好处在于

9、一侧函数图像为一条曲线,而含参数的函数图像由于不含名师归纳总结 x 所以为一条水平线,便于上下平移,进行数形结合；由此可得：如关于2lnx 的函数易于作出第 3 页,共 18 页图像,就优先进行参变分别；所以在此题中将方程转变为axx1,构造函数g xx2lnx1并进行数形结合；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 第 10 炼 函数零点的个数问题 函数及其性质（2）在作出函数草图时要留意边界值是否能够取到,数形结合时也要留意 a 能否取到边界值；例 3：已知函数fxkx2,x00kR,如函数 yfxk 有三个零点, 就实数ln , x xk 的取

10、值范畴是（）B. 1k0C. 2k1D.k2A. k2思路：函数yfxk有三个零点,等价于方程fxk有三个不同实数根,进而等价于 fx 与 yk 图像有三个不同交点,作出 fx的图像,就 k 的正负会导致fx图像不同,且会影响yk 的位置,所以按k0,k0进行分类争论,然后通过图像求出k 的范畴为k2；答案： D 小炼有话说：（1）此题表达了三类问题之间的联系：即函数的零点方程的根函数图象的交点, 运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合,的函数,以便于作图,便于求出参数的取值范畴为原就；解决这类问题要挑选合适名师归纳总结 （2）此题所求 k 在图像中扮演两个角色,一方面打算fx 左侧

11、图像直线的倾斜角,另一第 4 页,共 18 页方面打算水平线的位置与x 轴的关系,所以在作图时要兼顾这两方面,进行数形结合；例 4：已知函数fx 满意fxf3 x ,当x1,3 ,fxlnx ,如在区间1,9 内,函数 g xfxax 有三个不同零点,就实数a 的取值范畴是（）Aln 3 1 ,3 eB. ln 3,1Cln 3,1Dln 3 ln 3 ,9 393e92e- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 第 10 炼 函数零点的个数问题 函数及其性质思路：Q f x f 3 x f x f x,当 x 3,9 时,f x f x ln x,所

12、3 3 3ln x ,1 x 3以 f x x,而 g x f x ax有三个不同零点 y f x 与 y axln ,3 x 93有三个不同交点,如下列图,可得直线 y ax 应在图中两条虚线之间,所以可解得：ln3 1a9 3 e答案： B 小炼有话说：此题有以下两个亮点；（1）如何利用fxfx,已知x1,3 ,fx 的解析式求x3,9 ,fx 的解析3式；名师归纳总结 （2）参数 a 的作用为直线yax 的斜率,故数形结合求出三个交点时a 的范畴0时 ,第 5 页,共 18 页例5 ： 已 知 函 数fx是 定 义 在,00 ,上 的 偶 函 数 , 当xfx2|x|1,1,0xx22,

13、就函数gx4fx 1的零点个数为（）1 2fx2A 4 B6 C8 D10 思路：由 fx为偶函数可得：只需作出正半轴的图像,再利用对称性作另一半图像即可,当x0,2时,可以利用y2x利用图像变换作出图像,x2时,fx1fx2,即自变量差2 个单位,函2数值折半,进而可作出2,4 , 4,6 , 的图像,g x的零点个数即为fx1根的个数,即fx 与y1的44- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章x第 10 炼 函数零点的个数问题x0函数及其性质交点个数,观看图像在0时,有 5 个交点,依据对称性可得时,也有 5 个交点；共计 10 个交点 答案：

14、D 小炼有话说：（1）fx1fx2类似函数的周期性,但有一个倍数关系；依旧可以考虑利用周期2性的思想,在作图时,以一个“ 周期” 图像为基础,其余各部分依据倍数调整图像即可（2）周期性函数作图时,如函数图像不连续,就要留意每个周期的边界值是属于哪一段周 期,在图像中要精确标出,便于数形结合；（3）奇妙利用fx 的奇偶性,可以简化解题步骤；例如此题中求交点个数时,只需分析正半轴的情形,而负半轴可用对称性解决名师归纳总结 例 6：对于函数 fx ,如在定义域内存在实数 x,满意 fxfx ,称 fx 为“局部第 6 页,共 18 页奇函数 ”,如fx4xm 2x12 m3为定义域R 上的 “ 局部

15、奇函数 ” ,就实数m 的取值范畴是（）A. 13m13B. 13m2 2C. 2 2m2 2D. 2 2m13思路：由“ 局部奇函数” 可得：4x2m2xm234x2 m2xm230,整理可得：4x4x2 m2x2x22 m60,考虑到4x4x2x2x22,从而可将 2 x2x 视为整体,方程转化为：2x2x22m2x2x22 m80,利用换元设t2x2x（t2）,就问题转化为只需让方程t22mt2 m280存在大于等于2 的解即可,故分一个解和两个解来进行分类争论；设g tt22 mt2 2 m80；（1）如方程有一个解, 就有相切 （切点 xm 大于等于 2）或相交（其中交点在x2两侧）

16、,即m0或g20,解得：m2 2或 13m13202 2m2 2（2）如方程有两解, 就g20,解得：m13,m1313m2 2,m2m2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章3m第 10 炼 函数零点的个数问题函数及其性质综上所述： 12 2答案： A 小炼有话说：此题借用“ 局部奇函数” 概念,实质为方程的根的问题,在化简时将 2 x 2 x视为整体,进而将原方程进行转化,转化为关于 2 x 2 x 的二次方程,将问题转化为二次方程根分布问题,进行求解；例 7 ： 已 知 函 数 y f x 的 图 像 为 R 上 的 一 条 连 续 不 断 的

17、 曲 线 , 当 x 0 时 ,f x f x0,就关于 x 的函数 g x f x 1的零点的个数为（）x xA0 B1 C2 D0 或 2思路：f x f x0 xf x f x0 xf x0,结合 g x 的零点个数x x x即为方程 f x 10,结合条件中的不等式,可将方程化为 xf x 1 0,可设xh x xf x 1,即只需求出 h x 的零点个数,当 x 0 时,h x 0,即 h x 在0, 上单调递增；同理可得：h x 在 ,0 上单调递减,h x min h 0 1,故h x h 0 1 0,所以不存在零点；答案： A 小炼有话说：（1）此题由于fx 解析式未知,故无法

18、利用图像解决,所以依据条件考虑构造函数,利用单调性与零点存在性定理进行解决；名师归纳总结 （2）所给不等式fxfx0出现出 fx 轮番求导的特点,猜想可能是符合导数的第 7 页,共 18 页x乘法法就,变形后可得xfxx0,而 g x 的零点问题可利用方程进行变形,从而与条件中的 xfx 相联系,从而构造出h x例 8：定义域为R 的偶函数fx 满意对xR,有fx2fxf1,且当x2,3时,fx2x212x18,如函数yfxlogax1在 0,上至少- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 第 10 炼 函数零点的个数问题 函数及其性质有三个零点,就

19、a 的取值范畴是（）2 3 5 6A. 0, B. 0, C. 0, D. 0,2 3 5 6思路：f x 2 f x f 1 表达的是间隔 2 个单位的自变量,其函数值差 f 1,联想到周期性,考虑先求出 f 1 的值,由 f x 为偶函数,可令 x 1,得 f 1 f 1 f 1f 1 0 f x 2 f x ,f x 为周期是 2 的周期函数；已知条件中函数y f x log a x 1 有三个零点, 可将零点问题转化为方程 f x log a x 1 0 即f x log a x 1 至少有三个根,所以 f x 与 y log a x 1 有三个交点；先利用f x 在 x 2,3 的函

20、数解析式及周期性对称性作图,通过图像可得：a 1 时,不会有 3 个交点,考虑0 a 1 的 图 像；设 g x log a x,就y log a x 1 g x 1,利用图像变换作图,通过观看可得：只需当 x 2 时,y log a x 1 的图像 在 f x 上 方 即 可,即log a 2 1 f 2 2 log 3 2 log a a 2所以 12 3 0 a 3a 3答案： B 小炼有话说：此题有以下几个亮点：（1） fx 的周期性的判定：fx2fxf1可猜想与 fx 周期性有关,可带入特别值,解出f1,进而判定周期,协作对称性作图（2）在挑选出交点的函数时,如要数形结合,就要挑选能

21、够做出图像的函数,例如在此题名师归纳总结 中, fx 的图像可做,且ylogaxx1可通过图像变换做出fx, 当x1,3时 ,第 8 页,共 18 页例9 ： 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f满 足fx2fxt1x2,x1,1,其中t0,如方程 3 fxx 恰有三个不同的实数根,1x2 ,x1,3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章第 10 炼 函数零点的个数问题 D. 函数及其性质就实数 t 的取值范畴是（）2 , 3A. 0,4 B. 2 ,2 3 C. 4 ,3 33思路：由fx2fx可得x 的图像高于g x 图像且在fx4fx2f

22、x ,即 fx 的周期为 4 ,所解方程可视为yfx与g xx的交点,而 t 的作用为3影响yt1x2图像直线的斜率,也肯定此段的最值（y maxt ）,先做出yx的图像,再依据三个交点的条3件作出 fx 的图像（如图）,可发觉只要在x2处, fx6处fx的图像低于g x图像即可；所以有f6g6f6f2t2,即2 3t22f2g2f2t3答案： B 名师归纳总结 例 10：（2022 甘肃天水一中五月考）已知函数fxsin2x1,x0的图像第 9 页,共 18 页logax a0,a1 ,x0上关于 y 轴对称的点至少有3 对,就实数 a 的取值范畴是（）A. 0,5 B. 5 ,1 5 C.

23、 3 ,1 3 D. 0,353思路：考虑设对称点为x0,x ,其中x 00,就问题转 化 为 方 程fx 0fx 0至 少 有 三 个 解 ； 即sin2x1logax有三个根,所以问题转化为g xsin2x1与h xlog ax 有三个交点,先做出ysin2x1的图像,通过观看可知如ylog ax 与其有三个交点,就0a1,进一步观看图像可得：只要- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章h5第 10 炼 函数零点的个数问题15,所以a函数及其性质g5,就满意题意,所以1log 52log 5loga1log 555sina2a225答案： A 三、

24、近年模拟题题目精选：1、已知 f x 是以 2 为周期的偶函数,当 x 0,1 时,f x x ,那么在区间 1,3 内,关于 x 的方程 f x kx k k R 有 4 个根,就 k 的取值范畴是 A0 k 1或 k 3 B0 k 14 6 4C0 k 1或 k 3 D0 k 14 6 42、（ 2022 吉林九校联考二模,16）如直角坐标平面内 A,B 两点满意条件：点 A B 都在函数 f x 的图像上；点 A B 关于原点对称,就称 A B 是函数 f x 的一个“ 姊妹点对”2x 2 , x x 0（A B 与 B A 可看作同一点对） ,已知 f x 2 , x x 0,就 f

25、x 的“ 姊妹点e对” 有 _个3、（2022,天津）已知函数xfx72x,2,xx2,2,函数g xbf2x,其中x2bR,如函数 yfxg x恰有 4 个零点,就 b 的取值范畴是（）b有两A. 7 , 4B. C. 0,7D. 7 , 2 4,44x3,xa,如存在实数 b ,使函数 g x4、（2022,湖南）已知ffxx2,xa个零点,就 a 的取值范畴是 _ 名师归纳总结 5、（ 2022,新课标全国卷I）已知函数fxax33 x21,如 fx 存在唯独的零点x ,第 10 页,共 18 页且x 00,就 a 的取值范畴是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - -

26、- - - - - 其次章 第 10 炼 函数零点的个数问题 函数及其性质A. 2, B. 1, C. , 2 D. , 16、（ 2022,山东）已知函数 f x x 2 1, g x kx,如方程 f x g x 有两个不相等的实根,就实数 k 的取值范畴是（）A. 0, 1B. 1 ,1 C. 1,2 D. 2,2 27、（ 2022,天津）已知函数 f x x 2 3 x x R ,如方程 f x a x 1 0 恰有 4 个互异的实数根,就实数 a 的取值范畴是 _ 0,0 x 18、（ 2022,江苏）已知函数 f x ln x g x 2,就方程x 4 2, x 1f x g x

27、 1 实根的个数为 _ 3 29、已知函数 f x ax 3 x 1,如 f x 存在唯独的零点 x ,且 x 0 0,就 a 的取值范畴是（）A. 2, B. 1, C. , 2 D. , 110、对于函数 f x , g x,设 m x | f x 0 , n x g x 0,如存在 m n 使得1 xm n 1,就称 f x 与 g x 互为“ 零点关联函数”,如函数 f x log 2 x 1 e 与2g x x ax a 3 互为“ 零点关联函数”,就实数a的取值范畴是（）A. 2, 7B. 7 ,3 C. 2,3 D. 2,43 311 、 已 知 偶 函 数 f x 满 足 对

28、任 意 x R, 均 有 f 1 x f 3 x 且2f x m 1 x , x 0,1,如方程 3 f x 恰有 5 个实数解,就实数 m 的取值范畴x 1, x 1,2是 .12、（2022,河南中原第一次联考）已知函数f xcos2 xasinx 在区间0,nnN内恰有 9 个零点,就实数a 的值为 _ bx1, , a bR e2.71828 L为自然对数13、（2022,四川）已知函数fxx eax2的底数名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 其次章第 10 炼 函数零点的个数问题0,1 上的

29、最小值函数及其性质第 12 页,共 18 页（1）设 g x 是函数 fx 的导函数,求函数g x 在区间a 的取值范畴（2）如f10,函数 fx 在区间0,1 内有零点,求- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章第 10 炼 函数零点的个数问题函数及其性质习题答案：1、答案： B 解析：依据周期性和对称性可作出fx 的图像,直线f x kxk kR 过定点1,0fx结合图像可得：如 1,3 内有四个根,可知k0,1；如直线与在 2,3 相切,联4立方程：yx2ky2y3k0,令0可得：k3 6,当k3时,解得6ykxkx52,3,综上所述：k0,14

30、2、答案： 2解析：关于原点对称的两个点为,x y 和,xy ,不妨设x0,就有y2,ex2yx22x从而x22xy2,所以“ 姊妹点对” 的个数为方程x22x的个数,即曲线x ex eyx22x 与2 x e的交点个数,作出图像即可得有两个交点3、答案： D 名师归纳总结 解析：由fx2x,2,xx2,2,得f2x22,2x x0,第 13 页,共 18 页x2xx0082xx2,x所以yf x f2x4x2x,0x2,6422xx2 2 ,x215105251015x2x2,x0246即yf x f2x2,0x28x25x8,x2yf x g x f f2xb ,所以 yfxg x 恰有

31、4 个零点等价于方程b 与函数yf x f2x 的图象f x f2x b0有 4 个不同的解, 即函数 y的 4 个公共点,由图象可知7b2. 44、答案：a,0U1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 第 10 炼 函数零点的个数问题 函数及其性质解析： g x f x b由两个零点,即方程 f x b 有两个根, 从而 y f x 与 y b有两个交点；可在同始终角坐标系下作出 y x 3, y x ,观看图像可得：2 a 0 时,水平线与 y x 有两个交点,故符合题意；当 20 a 1 时, f x 为增函数,所以最多只有一3 2个零点,

32、 不符题意； 当 a 1 时,存在水平线与 y x , y x 分别有一个交点,共两个符合题意；综上所述：a ,0 U 1,5、答案： C 解析：3 ax2 3 x10a31,令1 xt,依题意可知ya 与y23 t3 t 应在有xx 3唯独交点且位于t0的区域；设g t3 tt3,所以 g t33 t23 1t1t,就g t 在1,0 , 0,1 单增, 在, 1 , 1,单减,g12,g1,作出图像可知只有当a2时, ya 与y3 t3 t 有唯独交点,且在t0的区域；6、答案： B 解析：方法一：方程fxg x 有两个不等实根可转化为函数yfx 与 yg x 的图像有两个不同交点,其中

33、k 为直线的斜率； 通过数形结合21kx 中x0明显不即可得到k1 ,1 2方法二：此题仍可以先对方程进行变形,再进行数形结合,x名师归纳总结 是方程的解,当x0时,kx21,设h xx2111,xa2,就问题第 14 页,共 18 页xxx31,x2x转化为 yk 与 yh x 交点为 2 个；作出图像后即可观看到k的范畴时,2 x3x,7、答案：0,1U9,解析：方程为：x23xa x1,x1明显不是方程的解, 所以x1x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章15第 10 炼 函数零点的个数问题t45函数及其性质即ax1x4,令tx1,就 ya

34、 与y有 4 个交点即可, 作出图t像数形结合即可得到a0,1U9,8、答案： 4 解析：方程等价于fxg x1,即fxg x1或fxg x1共多少个根,y1g x1,0x12,数形结合可得：fx 与y1g x 有两个交x21,1xy1g x 有两个交点, 所7x2,x2点；y1g x1,0x12,同理可得 fx 与x23,1x5x2,x2以共计 4 个9、答案： C 解析：3 ax2 3 x10a133,令t1,依题意可知at33 t 只有一个xxx零 点0t且t00, 即 ya 与g tt33 t 只 有 一 个 在 横 轴 正 半 轴 的 交 点 ；gt3 t, 1 , 1,减,在1,1 增,g12作出图像23可知 g t 在可得只有a2时, ya 与g tt33 t 只有一个在横轴正半轴的交