2022年天津市大学数学竞赛历年试题及答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 天津市高校数学竞赛历年试题及答案（1）人文学科及医学等类 一、填空：（请将最终结果填在相应的横线上面； ）1. lim x 0f x 1,lim x 0f x lim x 0sinasinx23cos xg xg x 3x24xlim x 0sinasinx2limcos x 0x3x24x31lim x 0cosasinx22 sinxcos x6x12x2lim x 02 sinxlim x 02 cos xa6 x122 x624x32y2xx2xln21dx2 1eu2 udu. 令y0,得x1ln23= 令ux,13ex022u ud

2、e2u ue22 1u edu1122 e2eeu2122 e2e2 ee22 e2e2 ee2 e24名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - dyfx22x,d2yfx24x22fx2,dxdx256x,5切线方程为. 13 2. -1/ln2 2 3.2e4. 切 线 的 斜 率 为3,而y3 x2令y3 ,得x-1, 即yx13 ,x1 时 ,y3切 线 方 程 ：y33 x1 即 3xy60二、挑选题：（每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“ 正确选项”前的字母填在括号内； 选对得分； 选错、不选或选出

3、的答案多于一个,不得分；）1设函数 f x 连续,就以下函数中必为偶函数的是 A . A；B；C；D. 名师归纳总结 2. D 3. B 4. B 5. C 2第 2 页,共 10 页解：令Fxxtf tftdt ,0Fx 0xtftft dtxu fufu du 0xufu fu duxtftft dt00Fx2设函数fx具有一阶导数,下述结论正确选项 D ；A 如f x 只有一个零点,就f x 必至少有两个零点；反例： y=2x B 如f x 至少有一个零点,就fx必至少有两个零点；反例： y=xC 如fx没有零点,就f x 至少有一个零点；反例： y=2+sinx- - - - - -

4、-精选学习资料 - - - - - - - - - D 如f x 没有零点,就fx至多有一个零点；罗尔定理3. 设fx是定义在（ 0,+）上的非负可导函数,且满意xf （x）-f（x）0恒成立,如 ab0,就必有A afabfb B bfaafb B . C afbbfa D bfbafa3设非负 函数fx在区间 0,+ 具有二阶导数,满意f 0,0fx0 ,又0ab ,就当axb ,时恒有 A afxxfa；B bfxxfb；C xfxbfb；D xfxafa；令Fxfx,Fxx fxx2fxxxfxfxf0x2xfxxfxfxfx2x20x又fx,0故fx是严格削减函数,fxf,Fx0,F

5、x严格单调削减,FxFb,即fxfbxbfxfx名师归纳总结 xx2第 3 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Fxxfxx2fxx2fxx42xfxffxfxfx2fxx0x B . fxx2x2x3xx2fxx fxfx3x fxx2fxf0x3fxx2xfx fx知F0x3x为严格单调减函数,可x4函数A /2；B 0 ；C 1 ；D /2；注：假如 x0 是函数 fx 的间断点,但左极限及右极限都存在,就称 x 0 为函数 fx 的第一类间断点discontinuity point of the first kind ；在第一类间

6、断点中,左右极限相等者称可去间断点,不相等者称为跳跃间断点；非第一类间断点即为其次类间断点 second kind；1lim x 0fxlim x 0e xeetan xx1exdiscontinuity point of the 名师归纳总结 lim x 0e1e,lim x 0fe11,x=0 为第一类间断点第 4 页,共 10 页xx1x21exeex,2xlimflim x 1xxx2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5 设 函 数fx具 有 一 阶导数 ,x 0,fx 0x 00 是 曲 线yf x 的 拐 点, 就 C . x考虑函数yex

7、213A x 必是f x 的驻点；B x 0,fx 0必是yfx的拐点； 考虑函数yxC x 0,fx0必是yf的拐点； 可结合图形考虑, 如yx13D对任意xx0与xx0,yf x 的凹凸性相反；凹凸性仅在x0 的某个领域内考虑三、四、已知曲线yfx与曲线在点 0,0处具有相同的切线, 写出该切线方程 ,并求极限五、设函数fx在区间 0,+内有定义,且对任意x,y0,+都有fxyfx fy ,又 f 1 存在且等于 a ,试争论 f x 在任意x0,+时的可导性,并求 f x ；六、设 f x x 2sin 2 x , 求 f n 0 n 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 5

8、页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 七、设当0x1时,fxx1x2,且fx1 afx,试确定常数 a 的值,使fx在x0点处可导,并求此导数；0 上一点,使此点的切线与抛物线及两坐八、求抛物线弧段xya, a标轴所围成图形面积最小,并求此最小面积值；九、设函数fx连续,且当x1时,fx xftdt1x xe2,求f x；02 1x 十、证明：lim n2x e2cos nx dx0 .0x 2十一、证明：当x2时,x2 e2xex2 e2.01）天津市高校数学竞赛历年试题（人文学科及医学等类）一、填空：13 2. -1/ln2 2 3.2e4. 5二、挑选题：名师

9、归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. A 2. D 3. B 4. B 5. C 三、 由积分中值定理有于是四、 由已知 ,明显有f0 0 ,且在点 0,0处五、 命：因此,所求切线方程为y=x ；fy 得f 1 0；y1,就由fxy fx故当x0时,有n.fxlim x 0fxxfx xlim x 0fx 1x xfx lim x 0f 1xxxxlim x 0f1x xx x xf1 1f 1a.xx六、 利用牛顿 莱布尼兹公式：uv nunvC1un1v.Ckunkvk.uvnn设ux2,vsin2x ,留意到

10、u2x ,u,2uj0j3 ;vnsin2xn2nsin2xn,2vn1 sin2xn1 2n1sin2xn1 ,2vn2sin2x n22n2sin2xn2,2故名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - x2sin2xn2nx2sin2xnn2nxsin2xn1 22n n12n22sin2xn2,22于是有七、 第一写出ffn0nn1 2n2sinn2n3 .x2 212n2sinnnn2x在x0邻近的表达式：-1x10时,0x11；由fx11 afx知,1x1 1x-1xx1 fx fx12aaa故有名师归纳总结 f

11、x -1xx1 x2 ,-1x0,而此第 8 页,共 10 页ax1x 1x ,0x1明显,fx 在点x0处连续,且f00,f 0 lim x 0-1x x1 x2 02,axaf0lim x 0x 1x 1x 01.x因fx在x0点处可导的冲要条件为：f0 f0 ,即2,1a2,且f0 1.a八、 过抛物线上的点,的切线方程为：y x.当x0时,切线在y 轴上的截距为：y 0a;当y0时,切线在x 轴上的截距为：x 0a.为求题目所述面积最小,只需求上述切线与二坐标轴所围直角三角形面积最大,三角形面积S1aaaaaaa故2222设fa,- - - - - - -精选学习资料 - - - -

12、- - - - - 命：f2a10,得a,a,即a,224是f的唯独驻点,从而也是唯独最大值点,即过点a,a的切线与抛物线及44两坐标轴所围成图形面积最小,其最小面积为Saax2axdxa2a2.0824Fx Fxxex,九、命Fx xf tdt1,就Fxfx,故原等式左端为02 1x 2即F2x 1xex2,x对上式两边积分得F2x x exdx 1x e2dxx exx 1x exdxx exdxx exC1111留意到 :F01,故C0；即Fx 1exxfx dx1,两边求导,得fx 1x exx3. xe 22 1x 2十、 利用分部积分公式,有名师归纳总结 十一、2x 2ecos n

13、x dx2x e2sin nx dx,第 9 页,共 10 页00nx e2sin nx 2 0122x xe2sinnx dxnn0由此可见2ex2cosnxdxe44e4,由夹逼定理即得所证；0nnx2设x x2 e2x xe2 e2,x2 ,22222 e22 e22 e24 e22 e22 e20- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xex22x22ex22x exex；名师归纳总结 又设：f uu eu ue,就xfx22fx；,故f0；从第 10 页,共 10 页由拉格朗日中值定理知,存在x2 ,x,使2202xfx22xfx22,x222x而fe2,又2而,当x2时,xfx220,0；命题得证；即 x 单调削减,从而x - - - - - - -