2022年完整word版,上海一模数学几何证明题专项训练.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 上海一模数学几何证明题专项训练（含答案）【例】如图 10,平行四边形ABCD中,AB5,BC10,BC边上的高AM=4,E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）过 E作直线 AB的垂线,垂足为 FFE与 DC的延长线相交于点 G,连结 DE,DF；（1）求证： BEF CEG（2）当点 E在线段 BC上运动时, BEF和 CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设 BEx, DEF的面积为 y,请你求出 y 和 x 之间的函数关系式,并求出当 x 为何值时, y 有最大值,最大值是多少？A DFBMxEGC图 10 解析过程

2、及每步分值（1）由于四边形 ABCD是平行四边形,所以 AB P DG 1 分所以 B GCE , G BFE所以BEFCEG 3 分（2）BEF 与CEG 的周长之和为定值 4 分理由一：过点 C作 FG的平行线交直线 AB于 H ,由于 GFAB,所以四边形 FHCG为矩形所以FHCG,FGCH名师归纳总结 因此,BEF与CEG的周长之和等于 BCCHBHG6 分D第 1 页,共 12 页由BC10,AB5,AM4,可得 CH8,BH6,所以 BCCHBH24 理由二：由 AB5,AM4,可知H在 Rt BEF与 Rt GCE中,有：BFAxEEF4BE,BF3BE,GE4EC,GC3CE

3、 ,5555MC所以, BEF的周长是12 5BE , ECG的周长是12 5CE- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又 BECE10,因此VBEF与V CEG的周长之和是 24 6 分（3）设 BEx,就EF4x ,GC310x 8 分9 分10 分55所以y1EF DG1 4 g2 5x310x56x222x 25255配方得：y6x5521212566所以,当x55时,y 有最大值 6最大值为121 6 【例】如图二次函数 OBOC3yax 2bxc a0 与坐标轴交于点 A、B、C且 OA1 （1）求此二次函数的解析式（2）写出顶点坐标和对称轴方

4、程（3）点 M、N在 yax 2bxc 的图像上 点 N在点 M的右边 ,且 MN x 轴,求 以 MN为直径且与 x 轴相切的圆的半径解析过程及每步分值名师归纳总结 （1）依题意A 10,B3 0,C0,3分别代入yax2bxc 1 分第 2 页,共 12 页解方程组得所求解析式为yx22x3 4 分（2）yx22x3x124 5 分顶点坐标 1,4,对称轴x1 7 分8 分（3）设圆半径为 r ,当 MN 在 x 轴下方时, N 点坐标为 1r,r - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 把 N 点代入yx22x3得r1217 9 分同理可得另一种情形r

5、121710 分k 时,y 2217；且二次函数y 的圆的半径为1217或1217【例 3】已知两个关于 x 的二次函数1y 与当 x图象的对称轴是直y2,y 1a xk22k0,y 1yx26x12线x1（1）求 k 的值；（2）求函数y 1,y 2的表达式；1y 的图象与y 的图象是否有交点？请说（3）在同始终角坐标系内,问函数明理由解析过程及每步分值名师归纳总结 （1）由y 1a xk22,y 1y2x26x12第 3 页,共 12 页得y2y 1y2y 1x26x12a xk22x26x10a xk2又由于当 xk 时,y 217,即k26 k1017,解得k11,或k27（舍去）,故

6、 k 的值为 1（2）由k1,得y2x26x10a x2 11a x22a6x10a ,所以函数y 的图象的对称轴为x2a6,21a于是,有2a61,解得a1,21a所以y 1x22x1,y22x24x11（3）由y 1x2 12,得函数1y 的图象为抛物线,其开口向下,顶点坐标为1 2, ；由y22x24x112x2 19,得函数y 的图象为抛物线,其开口向上,顶- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点坐标为 1 9, ；故在同始终角坐标系内,函数 1y 的图象与 y 的图象没有交点【例 4】如图 , 抛物线 y x 2 4 x 与 x 轴分别相交于点

7、B、O,它的顶点为 A,连接AB,把 AB所的直线沿 y 轴向上平移 , 使它经过原点 O,得到直线 l, 设 P是直线 l 上一动点 . （1）求点 A的坐标 ; （2）以点 A、B、O、P为顶点的四边形中 , 有菱形、等腰梯形、直角梯形 , 请分别直接写出这些特别四边形的顶点 P的坐标 ; （3）设以点 A、B、O、P 为顶点的四边形的面积为46 2S68 2时, 求 x 的取值范畴 . 解析过程及每步分值解：（1）yx24xx2 24A-2,-4 （2）四边形 ABP1O为菱形时, P1-2,4 四边形 ABOP 2 为等腰梯形时, P1四边形 ABP3O为直角梯形时, P1四边形 AB

8、OP 4 为直角梯形时, P1（3）2,54 54 , 5 56 ,512 5S,点 P 的横坐标为 x, 当名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由已知条件可求得AB 所在直线的函数关系式是y=-2x-8, 所以直线 l 的函数关系式是 y=-2x 当点 P在其次象限时, x0, 名师归纳总结 过点 A、P分别作 x 轴的垂线,垂足为A 、 Px4x4第 5 页,共 12 页就四边形 POAA的面积12xSPOAAS 梯形PPAASPPO42xx222 AAB 的面积SAAB14242SSPOAASA AB4x8x0

9、 462S682,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S462即4x8462x3222S6824x8682S4212x 的取值范畴是322x42122【例 5】随着绿城南宁近几年城市建设的快速进展,对花木的需求量逐年提高；某园林专业户方案投资种植花卉及树木,依据市场调查与猜测, 种植树木的利润1y 与投资量 x成正比例关系,如图所示；种植花卉的利润y 与投资量 x 成二次函数关系,如图所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y 与y 关于投资量 x 的函数关系式；（2）假如这位专业户以8 万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润？他能

10、猎取的最大利润是多少？解析过程及每步分值k解：（1）设y =kx , 由图所示,函数y =kx 的图像过（ 1,2）,所以 2=k1,2ax2故利润1y 关于投资量 x的函数关系式是y = x 2 ；由于该抛物线的顶点是原点, 所以设y =2 ax ,由图 12- 所示,函数y =的图像过（ 2,2）,名师归纳总结 所以2a22,a1；第 6 页,共 12 页2故利润y 关于投资量 x 的函数关系式是y1 x 220 x8）,（2）设这位专业户投入种植花卉x 万元（就投入种植树木（8x）万元,他获得的利润是z万元,依据题意,得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

11、- - z =2 82x +1 x = 21x22x16=1x2 21422当x时, z 的最小值是 14；由于0x8,所以2x269:4 ,所以x2 236所以1x2 2182所以1x2 214181432,即z32,此时x82当x8时, z 的最大值是 32. 【例 6】如图,已知A 4,0,B0, 4,现以 A 点为位似中心,相像比为将 OB向右侧放大, B点的对应点为 C（1）求 C点坐标及直线 BC的解析式 ; （2）一抛物线经过 B、C两点,且顶点落在 x 轴正半轴上,求该抛物线的解 析式并画出函数图象 ; （3）现将直线 BC绕 B点旋转与抛物线相交与另一点 有满意到直线 AB距

12、离为 3 2 的点 P解析过程及每步分值P,请找出抛物线上所名师归纳总结 解: （1）过 C点向 x 轴作垂线,垂足为D,由位似图形性质可知：第 7 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ABO ACD, AOBO4ADCD9由已知A 4,0,B0, 4可知：AO4,BO4b0c,ADCD9 C点坐标为 5,9 直线 BC的解析是为：y4x09450化简得：yx44c（2）设抛物线解析式为yax2bxc a0,由题意得：925a5b24ac解得：a 11a 21254b 14b 25c 14c 24解得抛物线解析式为y 1x24x4或y 2

13、1x24x4255又y21x24x4的顶点在 x 轴负半轴上,不合题意,故舍去255满意条件的抛物线解析式为yx24x4（精确画出函数yx24x4图象）（3） 将直线 BC绕 B点旋转与抛物线相交与另一点 离为 h,P,设 P 到 直线 AB的距名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故 P点应在与直线 AB平行,且相距 3 2 的上下两条平行直线1l 和2l 上由平行线的性质可得：两条平行直线与y 轴的交点到直线BC 的距离也为3 2 如图,设 1l 与 y 轴交于 E 点,过 E 作 EFBC于 F 点,在 Rt B

14、EF中 EF h 3 2,EBF ABO 45 o,BE 6可以求得直线 1l 与 y 轴交点坐标为 0,10同理可求得直线 2l 与 y 轴交点坐标为 0, 2两直线解析式 l 1: y x 10；l 2: y x 22 2依据题意列出方程组： y x 4 x 4； y x 4 x 4y x 10 y x 2解得：x 1 6；x 2 1；x 3 2；x 4 3y 1 16 y 2 9 y 3 0 y 4 1满意条件的点 P有四个,它们分别是 P 16,16,P 2 1,9,P 32,0,P 43,1 .2【例 7】如图,抛物线 L 1: y x 2 x 3 交 x 轴于 A、B 两点,交 y

15、 轴于 M点. 抛物线 1L 向右平移 2 个单位后得到抛物线 L ,L 交 x 轴于 C、D两点 . （1）求抛物线 L 对应的函数表达式；（2）抛物线 L 或 L 在 x 轴上方的部分是否存在点 N,使以 A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形. 如存在,求出点 N的坐标；如不存在,请说明理由；名师归纳总结 （3）如点 P 是抛物线1L 上的一个动点（ P 不与点 A、B 重合）,那么点 P 关第 9 页,共 12 页于原点的对称点 Q是否在抛物线L 上,请说明理由 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析过程及每步分值【例 8】如图,在矩形

16、ABCD中,AB9,AD3 3,点 P 是边 BC 上的动点（点P 不与点 B ,点 C 重合）,过点 P 作直线 PQBD,交 CD 边于 Q 点,再把PQC 沿着动直线 PQ 对折,点 C 的对应点是 R 点,设 CP 的长度为 x ,PQR 与矩形 ABCD 重叠部分的面积为 y （1）求 CQP 的度数；（2）当 x 取何值时,点 R 落在矩形 ABCD 的 AB 边上？（3）求 y 与 x之间的函数关系式；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当x取何值时,重叠部分的面积等于矩形面积的7？27D Q R C

17、 D （备用图 1）C D （备用图 2）C A P A B A B B 解析过程及每步分值解：（1）如图, Q 四边形 ABCD 是矩形,ABCD,ADBCC 又AB9,AD3 3,C90o,CD9,BC3 3tanCDBBC3,CDB30 o CD3Q QPQBD,CQPCDB30o（2）如图 1,由轴对称的性质可知,RPQCPQ D ,RPQCPQ , RPCPR （图 1）P A B 由（1）知CQP30o,RPQCPQ60 o,RPB60o,RP2BP QCPx,PRx ,PB3 3x 在RPB中,依据题意得：23 3xx ,解这个方程得：x2 3（3）当点 R 在矩形 ABCD 的

18、内部或 AB 边上时,名师归纳总结 0x2 3,SCPQ1CPCQ1xg3x3x2,D Q C 第 11 页,共 12 页222QRPQCPQ,当 0x2 3时,y3x22当 R在矩形 ABCD 的外部时（如图2）, 2 3x3 3在 RtPFB中,QRPB60o,PF2BP23 3x ,A E F P B R （图 2）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又QRPCPx,RFRPPF3x6 3,名师归纳总结 在 RtERF中,第 12 页,共 12 页QEFRPFBo 30,ER3x6SERF1ERFR3 3x218x18 3,22QySRPQSERF

19、,当 2 3x3 3时,y3 x218x18 3综上所述,y与x之间的函数解析式是：y3x20x2 323 x218x18 323x3 3矩形面积93 3273 ,当 0x 2 3时,函数y32 x 随自变量的2增大而增大, 所以 y 的最大值是 6 3 ,而矩形面积的7的值727 37 3,2727而 7 36 3 ,所以,当 0x2 3时, y 的值不行能是矩形面积的7；27当 2 3x3 3时,依据题意,得：3x218x18 37 3, 解 这 个 方 程 , 得x3 32, 因 为3 323 3 ,所以x3 32不合题意,舍去所以x3 32综上所述,当x3 32时,PQR与矩形 ABCD 重叠部分的面积等于矩形面积的7 27- - - - - - -