2022年完整word版,整式乘法与因式分解知识点及例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 整式乘除与因式分解 一学问点（重点）1幂的运算性质：a ma namn（m、 n 为正整数）同底数幂相乘,底数不变,指数相加例：2a 23a232amn amn （m、n 为正整数）幂的乘方,底数不变,指数相乘例：a 5 53abnanbn（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积例：a2b 3 练习：（1）5x3 2x2y（2）3ab4b2（3）3 ab 2 a5b2cac22（4）yz2y2z2（5）2x2y34xy2（6）1a3b6 a34aman amn （a 0,m、n 都是正整数,且mn）同底数幂相除,底数不变,指数相减例：（ 1）

2、x8 x2（ 2）a 4 a（3）（ab）5 （ ab）2 （ 4）（-a）7 （ -a）5 （ 5） -b 5 -b25零指数幂的概念：a 01 （a 0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于la3 b01成立,就a,b满意什么条件？例：如216负指数幂的概念：a pp a（ a 0,p 是正整数）p 指数幂的倒数任何一个不等于零的数的p（p 是正整数）指数幂,等于这个数的npmp也可表示为：mn（m 0,n 0,p 为正整数）7单项式的乘法法就：单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母,就连同它的指数 作为积的一个因式例：（1）3 a2b2abc1

3、abc2（2）1m3n32m2n4328单项式与多项式的乘法法就：单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加1 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例：（1）2ab5ab23 a2b2（2）2ab22ab31ab32（3）-5 m2n2n3 mn（4）2 xy2zxy2zxyz9多项式与多项式的乘法法就：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加例：（1）（1x）0.6x（2）2xyxy（3）（2mn2练习：1运算 2x 32xy 1 xy

4、 3 的结果是 23 10 8 4 10 423如 n 为正整数,且 x 2n 3,就 3x 3n 2 的值为 4假如 a nbab m 3a 9b 15,那么 mn 的值是5 a 22a 3a64x 26x81 x 2272n13mn 28如 k2k 52k1k32,就 k93x 22x3y2x 5y3y4x 5y10在 ax 2bx 3x 2 1 x8的结果中不含 x 3 和 x 项,就 a,b211一个长方体的长为 a4cm,宽为 a3cm,高为 a5cm,就它的表面积为,体积为；12一个长方形的长是 10cm,宽比长少 6cm,就它的面积是,如将长方形的长和都扩大了 2cm,就面积增大

5、了；10单项式的除法法就：单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母,就连同它的指数作为商的一个因式例：（1）28x4y2 7x3y（2）-5a5b3c 15a4b（3）（2x2y）3 （-7xy2） 14x4y311多项式除以单项式的法就：多项式除以单项式,先把这个多项式的每一25 a3b10a2 b215ab35ab项除以这个单项式,再把所得的商相加例： 1 3x2y6xy 6xy练习：1运算：（1）3x4y23 z1x2y2；（2）2x2y33x2y2；7722 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - -

6、 - - - - - - - （3）16ab64ab2（4）4x3y2n22n xy3（5）410921032运算：（1）16 x3y312 xy311 2xy3；（2）2x2y31x2y21xy32525（3）5an1 b2anb222anbn22453运算： 4.（1）4xy5xy46yx3xy2；,= （2）16ab6ab5ab3ab2如 ax3my12 3x3y2n=4x6y8 , 就 a = , m = ; 易错点：在幂的运算中,由于法就把握不准显现错误；有关多项式的乘法运算显现错误；误用同底数幂的除法法就；用单项式除以单项式法就或多项式除以单项式法就出错；乘除混合运算次序出错；12

7、乘法公式：平方差公式： （ab）（ab） a2b2 文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差完全平方公式： （ ab）2 a2 2abb2（ab）2a22abb22 倍文字语言表达：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的例 1： （1）7+6x7-6x ；（2）3y xx-3y ；（3）-m 2n-m-2n 例 2： 1 x+62 2 y-52 3 -2x+523 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习：1、a 5 4a 2 3=_；x x y 3 2

8、 22 x y 2 3 xy 2 3 _；4 3 3 4 3 2 3 22、6 a b 12 a b 8 a b 2 a b（_）2 2 2 23、x _ 9 y x _；x 2 x 35 x 7（_）21 3 1 14、已知 x 5,那么 x 3 =_；x =_；x x x2 25、如 9 x mxy 16 y 是一个完全平方式,那么 m 的值是 _；3 2 2 26、多项式 x x , x 2 x ,1 x x 2 的公因式是 _ ；3x7、因式分解：8 _ ；278、因式分解：4 m 22 mn 1 n 2_ ；49、运算：0 . 131 8 .0 004 8 0 . 002 8 _；1

9、0、x 2y 2x y x y A,就 A =_易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式；13因式分解（难点）因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解把握其定义应留意以下几点：（1）分解对象是多项式,分解结果必需是积的形式,且积的因式必需是整式,这三个要素缺一不行；（2）因式分解必需是恒等变形；（3）因式分解必需分解到每个因式都不能分解为止弄清因式分解与整式乘法的内在的关系因式分解与整式乘法是互逆变形,因式分解是把和差化为积的形式,而整式乘法是把积化为和差的形式二、娴熟把握因式分解的常用方法1、提公因式法（1）把握提公因式法的概念；（2）提公因式法

10、的关键是找出公因式,公因式的构成一般情形下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母 各项含有的相同字母；指数 相同字母的最低次数；（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；其次步是提取公因式并确定另一因式需留意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一样,这一点可用来检验是否漏项（4）留意点：提取公因式后各因式应当是最简形式,即分解到“ 底”4 / 8 ；假如多项式的第一项的系数是负的,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一般要提出“ ” 号,使括号内的第一项的系数是正的例：（1）83 a b2123

11、 ab c（2）753 x y5352 x y4 2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：平方差公式：a2b2 （ ab）（ ab）完全平方公式：a22abb2（ ab）2a22abb2（ ab） 2例：（1）2 2a b0.25 c242 x y2（2）9ab2x6ba12（4）x（3）4 a x242 2a x yy212y z36z练习：1、如x22m3x16是完全平方式,就m 的值等于 _；2、x2xmxn2就 m =_ n =_ 3、2x3y2与12x6y的公因式是4、如xmyn=xy2xy2x2y4,就 m=_,n=_ ；5、在多项式m2n2,

12、a2b2,x44y2,4s29 t4中,可以用平方差公式分解因式的有_ ,其结果是_ ；6、如x22m3x16是完全平方式,就m=_ ；4x2004x20050,就x2006_.7、x2_x2x2 x_8、已知1xx29、如16ab2M25是完全平方式M=_ ；10、x26x_x3 2,x2_9x3 211、如9x2ky2是完全平方式,就k=_ ； 12、如x2x4的值为 0,就3x212x5的值是 _；13、如x2ax15x1 x15就a=_ ；14、如xy4 ,x2y26就 xy_；15、方程x24x0,的解是 _；5 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页

13、精选学习资料 - - - - - - - - - 易错点：用提公因式法分解因式时易显现漏项,丢系数或符号错误；分解因式不完全；中考考点解读：整式的乘除是中学数学的基础,是中考的一个重点内容.其考点主要涉及以下几个方面：考点 1、幂的有关运算例 1（ 2022 年湘西）在以下运算中,运算正确选项（）（A ）a 3a 2a 6（B） a 2 3a 5（C）a 8a 2a 4（D） ab 2 2a b 2 4分析 :幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、 积的乘方和同底数幂的除法运算 .幂的运算是整式乘除运算的基础 ,精确解决幂的有关运算的关键是娴熟懂得各种运算的法就 . 3 2 3 2 5解：

14、依据同底数幂的乘法运算法就知 a a a a,所以（ A ）错；依据幂的乘方运算法就知 a 2 3a 2 3a 6,所以（ B）错；依据同底数幂的除法法就知 a 8a 2a 8 2a 6,所以（ C）错；应选（ D）. 例 2.（2022 年齐齐哈尔）已知 10 m 2, 10 n3,就 10 3 m 2 n_分析 :此题主要考查幂的运算性质的敏捷应用,可先逆用同底数幂的乘法法就 a ma na m n,将指数相加化为幂相乘的形式 , 再逆用幂的乘方的法就 a m na mn,将指数相乘转化为幂的乘方的形式 ,然后代入求值即可 .3 m 2 n 3 m 2 n m 3 n 2 3 2解：10

15、10 10 10 （10）2 3 72 . 考点 2、整式的乘法运算例 3（ 2022 年贺州）运算： 2 1a31= ,留意符号4分析 :此题主要考查单项式与多项式的乘法运算.运算时,依据法就将其转化为单项式与单项式的乘法运算的变化 . 解：2 a1a31 2 a1a32a11a42a. 442考点 3、乘法公式例 4. 2022 年山西省 运算：x32x1x22. 分析 :运用多项式的乘法法就以及乘法公式进行运算,然后合并同类项解：x32x1x2=x26x9x22xx2的结果是=x26x9x22xx2= 9 x7. 例 5. 2022 年宁夏 已知：ab3,ab1,化简 a2b26 / 8

16、 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析 :此题主要考查多项式与多项式的乘法运算.第一依据法就进行运算,然后敏捷变形,使其显现（ab ）与 ab ,以便求值 . 解： a2b2=ab2 a2 b4=ab2ab4=12342. 2考点 4、利用整式运算求代数式的值例 6（2022 年长沙）先化简,再求值：ab ab . ab222 a ,其中a3,b13分析 :此题是一道综合运算题,主要在于乘法公式的应用解：ab abab22a2a2b2a22abb22 a22ab当a3,b1时,2 ab2312 .33考点 5、整式

17、的除法运算例 7. 2022 年厦门 运算： 2x y2 xyyy6x 2x分析 :此题的一道综合运算题,第一要先算中括号内的,留意乘法公式的使用,然后再进行整式的除法运算. 解：2 xy 2xyyy6x 2x 4x2y2y26xy 2x4x26xy 2x2x3y. 考点 6、定义新运算例 8.（2022 年定西） 在实数范畴内定义运算“” ,其法就为：aba22 b ,求方程（ 43）x24的解分析 :此题求解的关键是读懂新的运算法就,观看已知的等式aba22 b 可知,在此题中“” 定义的是平方差运算,即用“” 前边的数的平方减去“” 后边的数的平方. x722 x 解：aba22 b,

18、43x422 3 x72 7x224 x225x5考点 7、乘法公式例 3（1）2022 年白银市 当x3、y1时,代数式xyxy 2 y 的值是（2）2022 年十堰市 已知： a+b=3,ab=2,求 a2+b2的值 . 解析：问题（ 1）主要是对乘法的平方差公式的考查.原式 =x 2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.问题（ 2）考查了完全平方公式的变形应用,ab2a22 abb2,a2b2ab22ab32225. 说明：乘法公式应用极为广泛,懂得公式的本质,把握公式的特点,娴熟敏捷地使用乘法公式,可以使运算变得7 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,

19、共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 简洁快捷,事半功倍 . 考点 8、因式分解例 4（1）2022 年本溪市 分解因式：xy29x（2）2022 年锦州市 分解因式： a 2b-2ab2+b 3=_.解析：因式分解的一般步骤是：如多项式的各项有公因式,就先提公因式,然后观看剩下因式的特点,假如剩下的因式是二项式,就尝试运用平方差公式；假如剩下的因式是三项式,就尝试运用完全平方公式连续分解 . （1）xy 29 x x y 2-9= x y 3 y 3（2）a2b-2ab 2+b 3= ba 2-2ab +b 2 =ba-b 2说明：分解因式,必需进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 . 8 / 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页