2022年高一数学精品教案等差数列.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高一数学精品教案(二)等差数列一、学问点提要:1等差数列定义: an+1an=d(常数),即从第 2 项起, 每一项与它前一项的差等于同一常数,叫等差数列,此常数用 d 表示,称为公差 .当 d=0 时,数列为常数列 . 2通项公式: an=a1+n1d 3前 n 项的和:S n n a 1 a n na 1 n n 1 d d 0 2 2Sn na 1(d=0)4等差中项:如 a,A,b 成等差数列,就 A 叫 a,b 的等差中项,且 A a b25等差数列的性质:(1)数列 a n 成等差数列,就an=am+nmdm,n
2、N* 如 m+n=p+q ,就 am+an=ap+aqm,n,p,qN* 特殊地:如 2t=p+q,就 2at=ap+aq(2)证明数列 a n 成等差数列的方法:定义法: an+1an=d(常数)中项法: 2an+1=an+an+2.二、重点难点突破:1由等差数列的通项公式 an=a1+n1d 可知 an 是 n 的一次函数,所以 a n 成等差数列an An B . 2由等差数列的前 n 项的和公式 Sn na 1 n n 1 可知 a n 成等差数列 Sn An 2 Bn .23等差数列的前 n 项的和 Sn仍有如下特点:(1)前 m 项的和记为 S1,次 m 项的和记为 S2,再 m
3、项的和记为 S3 就数列 S n也成等差数列 . (2)如 n 为奇数,就Snnan1;n 为偶数就nnanan1;S偶S 奇1 nd 2.2222三、热点考题导析名师归纳总结 - - - - - - -例 1在等差数列中,a6+a9+a12+a15=20,求 S20. 思路一:比较S20与已知条件 . 解法一: a6+a9+a12+a15=20, 4a1+5+8+11+14d=20 ,2a1+19d=10 ,又S 20202a119d,S20=100. 2. 思路二:利用等差数列的性质a6+a15=a9+a12=a1+a20,又由 a6+a9+a12+a15=20, a1+a20=10,S
4、2020a 1a20100. 2老师点评:在公式Snna 1nn1d中有 4 个字母已知其中三个就以求出另一个.已知两2个条件也可以列出方程组解.由于Snna1an假如求到 1+an,也可以免去求a1 和 d.本例22+bn,利用已知条件确定两个系数a 和 b.再中就无法确定a1 和 d 的值 .有时仍可以设出Sn=an第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载看例 2四个数成等差数列,把它们分别加上 4,3,3,5 后又依次成等比数列,求这四个数 . 分析:四个数成等差数列,可依次设为 a3d、 ad、a+d、a+3d,然后列出 a、d 的方程
5、组求解 . 解:设此四个数依次为a3d、ad、a+d、a+3d,依题意,得ad,a,a+d, a ad d3 3 2 a a3 dd34 aa3d d3 5 4 4d d2a 2ad23 d0 6022a d0 1或a d03(不合舍去)此四个数为3, 1, 1,3. 老师点评: 这里使用了对称设元法,类似地,如三个数成等差数列, 就可设三数为这种对称设元法可以简化运算. 例 3设等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S120,S130,S13=13a70,a70, S6 最大 . 老师点评:等差数列的结构是:单调递增,单调递减或常数列 .如递减且 a10,就前 n 项的
6、和Sn存在最大值,前多少项和最大,就是数列中前如干个正项的个数,因此这种题型就是要找出数列中的正、负的分界线处 .类似地如 a10nN*S 3=S11,问此数列的前多少项的和最大?(n=7)(2)已知等差数列a n中, Sm=Snm n,求S mn a 1mn1d,0S mn0 2例 4两个等差数列a n ,b n 它们的前 n 项和之比为5 n3求这个两个数列第9 项之比 . 2 n. 1分析:可直把Sn 代入,把分子、分母变成通项的形式解:(法一)S nna 1n n1 d3a 18n 1 d2n 1 d2a 9令n218n=17 n 2 n1dS nnb 1b 12S 17a98S 17
7、17而5S 17bS 1721713b939(法二)a9a 1a1717a 1a 17/2S 1751738b 9b 1b 1717b 1b 17/2S 1721713an 与 S2n1老师点评:解法二较一奇妙,主要是敏捷地运用了等差数列的性质2从而沟通了的关系 .此题其实求任何的akbk 都可以 . 第 2 页,共 4 页例 5已知数列 a n 中, a1=1,an22 S n1n2 求这个数列的前n 项的和 Sn. S n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解:当 n2 时,22 S n1San学习必备欢迎下载Sn1S n,S nS n1,S n2S
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