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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 初三数学圆学问点一 . 垂径定理 A垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧;推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;CBOD(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;E(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧简洁记成:一条直线:过圆心垂直弦 平分弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的优弧弧以上以任意两个为已知条件,其它三个都成立,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论,即: AB 是直径 AB CD CE DE B
2、C BD AC AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论;例 1如图,在 O 中,弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E,如 BAD=30 ,且 BE=2,就 CD= _例 2 已知 O 的直径 CD 10 cm , AB 是 O 的弦,AB 8 cm,且 AB CD ,垂足为 M ,就 AC 的长为(C )A 2 5cm B 4 5cm C 2 5cm 或 4 5cm D 2 3cm或 4 3cm例 3、如 图 是 一 个 古 代 车 轮 的 碎 片 , 小 明 为 求 其 外 圆 半 径 , 连 结 外 圆 上 的 两 点 A、 B, 并 使AB 与 车 轮 内 圆 相 切 于 点 D,做
3、 CD AB 交 外 圆 于 点 C测 得 CD=10cm, AB=60cm,就 这个 车 轮 的 外 圆 半 径 为例 4、如图,在 5 5 的正方形网格中,一条圆弧 经过 A, B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是A点 P B点 Q C点 R D点 M二、圆周角定理1、圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等,等于它所对的圆心的角的一半;即:AOB和BDOCAACB 是AB所对的圆心角和圆周角AOB2ACB2、圆周角定理的推论:推论 1:半圆或直径所对的圆周角是直角;90圆周角所对的弦直径推论 2:圆内接四边形的对角互补;由对称性仍可知:1、在同圆或等圆中,假如圆心角相等,那么它
4、们所对的弧相等,所对的弦相等;2、在同圆或等圆中,假如弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等;3、在同圆或等圆中,假如弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等;简记:在同圆或等圆中,弦圆心角弧中只要一个相等,其它两个也相等;例 1、如图,已知 A、B、C 三点在 O 上,ACBO 于 D, B=55 ,就 BOC 的度数是70例 2、从以下直角三角板与圆弧的位置关系中,可判定圆弧为半圆的是()A BCD1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3、如图, ABCD的顶点 A、B、D在0 上,顶点 C在0
5、 的直径 BE上,连接 AE,E=36 0,就ADC= A,440 B 540 C 720 D530同学练习:2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、与圆有关的位置关系1点与圆的位置关系: 设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,就点在圆内_;点在圆上_;.点在圆外_2直线与圆的位置关系:假如O 的半径为 r,圆心 O 到直线 L 的距离为 d,那么:( 1)直线和圆有 _个公共点时,叫做直线与圆相交,这时直线叫做圆的( 2)直线和圆有 _个公共点时,叫做直线与圆相切,这时直线叫做圆的_,公共点叫做 _,此时 d_r;
6、_,公共点叫做 _,此时 d_r( 3)直线和圆有 _个公共点时,叫做直线与圆相离,此时 d_r3. 切线的性质与判定定理( 1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即:MNOA且MN过半径OA外端 MN 是 O 的切线( 2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点;MON推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心;A以上三个定理及推论也称二推肯定理:即:过圆心;过切点;垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个;4. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆
7、心的连线平分两条切线的夹角;BABC即: PA 、 PB 是的两条切线 PAPBPO 平分BPAO例 1. 已知 O的半径为 3,A 为线段 PO的中点 , 就当 OP=6时, 点 A与 O的位置关系为 PA A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.不能确定2. O的半径为 6, O的一条弦 AB长为 33 , 以 3 为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是 D A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定3. 如下列图 , O的形状梯形ABCD中, 假如 AD BC,那么 DOC的度数为 OA.70 B.90 C.60 D.454. 如下列图 ,PA 与 PB分别切 O于 A、B 两点
8、,C 是.AB 上任意一点 , 过 C作 O的切线 , 交 PA及 PB 第6题于 D、E 两点 , 如 PA=PB=5cm,就 PDE的周长是 _cm. 5、如图 2,在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 2的 P 的圆心 P 的坐标为 3,0 ,将 P 沿 x 轴正方向平移,使P与y轴相切,就平移的距离为A 1 B 1 或 5 C3 D5 6、如图, Rt ABC 中, ABC=90 ,以 AB 为直径作半圆 O 交 AC 与点 D,点 E 为 BC 的中点,连接DE( 1)求证: DE 是半圆 O 的切线( 2)如 BAC=30 , DE=2,求 AD 的长3 名师归纳总结 - - -
9、- - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7如图,在 ABO 中, OA=OB , C 是边 AB 的中点,以O 为圆心的圆过点C( 1)求证: AB 与 O 相切;( 2)如 AOB=120 ,AB=4,求 O 的面积BC于点 D,交 ABC外接圆于点E. A8. 如下列图 , 点 I 是 ABC的内心 ,AI 的延长线交边1 求证 :IE=BE;2如 IE=4,AE=8, 求 DE的长 . BEIC9、已知点 M, N的坐标分别为(0,1),(0, 1),点 P是抛物线y1x 上的一个动 2D4点( 1)求证:以点P 为圆心, PM为半径的圆与直
10、线y1的相切;(2)设直线 PM与抛物线y12 x 的另一个交点为点Q,连接 NP,NQ,求证:PNMQNM 4练习:4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8、如图,直线 l 与半径为 4 的 O 相切于点 A ,P 是 O 上的一个动点(不与点 A 重合),过点 P 作 PBl ,垂足为 B,连接 PA设PA=x, PB=y,就( x y)的最大值是 29、已知 ABC 内接于 O,过点 A 作直线 EF( 1)如图 所示,如 AB 为 O 的直径,要使 EF 成为 O 的切线,仍需要添加的一个条件是(至少说出两种
11、) : BAE=90 或者 EAC= ABC( 2)如图 所示,假如 AB 是不过圆心 O 的弦,且 CAE= B,那么 EF 是 O 的切线吗?试证明你的判定四 . 扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式ADD11、扇形:( 1)弧长公式:ln R;(2)扇形面积公式:Sn R21lRBC底面圆周长母线长 C1B13602180n :圆心角R :扇形多对应的圆的半径l :扇形弧长S :扇形面积2、圆柱:(1)圆柱侧面绽开图:S 表S 侧2S 底=2rh2r2O( 2)圆柱的体积:V2 r hR3、圆锥侧面绽开图(1) S 表S 侧S 底=Rrr2(2)圆锥的体积:V12 r hACrB34、正多边形
12、的其它性质1 正多边形都是轴对称图形,一个正n 边形共有 n 条对称轴,每条对称轴都通过正n 边形的中心,边数为偶数的正多边形仍是中心对称图形,它的中心就是对称中心;2边数相同的正多边形相像;5、正多边形的有关运算正多边形的外接圆或内切圆 的圆心叫做正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,内切圆的半径叫做正多边形的边心距,正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角;正 n 边形的有关运算公式 1每个内角(n2)180018003600;每个外角3600cos0 180;nnn( 2)正n边形边长a2Rsin1800,内切圆半径rRcos1800,正n边形周长nann3正n
13、边形面积Sn1ra1PrnR2sin1800cos180022nn留意:同一个圆的内接正n 边形和外切正n 边形是相像形,相像比是圆的内接正n 边形边心距与它的半径之比这样,同一个正n 边形的内切圆和外接圆的相像比cos 180n0n5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1、一个圆锥的侧面绽开图是半径为8cm、圆心角为120的扇形,就此圆锥底面圆的半径为()A8 3cm B16 3cm C 3cm D4 3cm 例 2、已知圆的半径是 2 3 ,就该圆的内接正六边形的面积是()(A) 3 3(B) 9 3(C)1
14、8 3(D) 36 34、如图, O 是正五边形ABCDE 的外接圆,这个正五边形的边长为a,半径为 R,边心距为r,就以下关系式错误选项()A R2 r2=a 2 Ba=2Rsin36C a=2rtan36Dr=Rcos36 5、如图 , O的直径 AB的长为 10,弦 AC的长为 5, ACB的平分线交 O于点 D. ( 1)求弧 BC的长;( 2)求弦 BD的长 .6. 三角形的内心、外心、重心、垂心 1 三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“ I ” 表示2 三角形的外心: 是三角形三边中垂线的交点,它是三角形
15、外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜 边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用 O表示3 三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍,通常用 G表示4 垂心:是三角形三边高线的交点例 1、ABC中, AB=AC=10,BC=12,就ABC的外接圆半径是 .外切圆半径为7. 帮助线总结 圆中常见的帮助线 1)作半径,利用同圆或等圆的半径相等2)作弦心距,利用垂径定理进行证明或运算,或利用“ 圆心、弧、弦、弦心距” 间的关系进行证明3)作半径和弦心距,构造由“ 半径、半弦和弦心距” 组成的直角三角形进行运算4)作弦构造同弧或等弧所对的圆周角5 作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角6 遇到切线,作过切点的弦,构造弦切角7 遇到切线,作过切点的半径,构造直角8 欲证直线为圆的切线时,分两种情形:1 如知道直线和圆有公共点时,常连结公共点和圆心证明直线垂直;2 不知道直线和圆有公共点时,常过圆心向直线作垂线,证明垂线段的长等于圆的半径9 遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点10 遇到三角形的内心,常作:1 内心到三边的垂线;2 连结内心和三角形的顶点11 遇相交两圆,常作:1 公共弦; 2 连心线6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
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