2022年高三数学知识点汇总专题圆锥曲线部分.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2022 高三数学学问点汇总圆锥曲线部分一、椭圆：（1）椭圆的定义： 平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F2|）的点的轨迹；其次定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e 0e1的点的轨迹；其中：两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线；常数叫做离心率；留意：2 a|F 1F 2|表示椭圆；2 a|F 1F 2|表示线段F 1F 2；2 a|F 1F 2|没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点,焦点在y 轴上中心在原点,焦

2、点在x轴 上标准方程x2y21 ab0y2x21 ab0a2b2a2b2参数方程xacos为参数 xbcos为参数 ybsinyasin图形A1 Py B2 F2 A2 x B2 y PF2 F1 O A1 O A2 x B1 F1 B1 名师归纳总结 顶点A 1B 1 a 0 ,0, ,b ,A 2B 2 a , 0 ,0 b A 1B 1 0b ,0, a, ,A 2B 2 b 0, 0 , a 第 1 页,共 6 页对称轴F 1c , 0 ,x轴,y轴；短轴为2b,长轴为2aF 2 0 ,c 焦点F 2c 0, F 1 0 ,c ,焦距e|F 1F 2|2 c c0 c2a2b2a2c0

3、e1 （离心率越大,椭圆越扁）离心率aa2y准线xcc- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思通径2b22ep（ p 为焦准距）a焦半径| |PF 1PF 2| |a aex 0ex 0a2c| |PF 1PF 2| |a aey 0ey 0焦点弦|AB|2 ae x AxB|AB|2 ae y AyB焦准距仅与它的中点的横坐标有关p仅与它的中点的纵坐标有关b2cc二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F 1, F 2的距离的 差的肯定值等于常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹；其次定义： 平面内与一个定点的

4、距离和到一条定直线的距离的比是常数e e1的点的轨迹；其中：两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线；常数叫做离心率；留意：|PF 1|PF2|2 a与|PF 2|PF 1|2 a（2 a|F 1F 2|）表示双曲线的一支；2a|F 1F 2|表示两条射线；2 a|F 1F 2|没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：标准方程中心在原点,焦点在x 轴上中心 在原点,焦点在by 轴上x2y21ab0 y2x21 a0a2b2a2b2图形Py x Py F2 x B2 F1 A1 O A2 F2 O B1 F1 名师归纳总结 顶点A 1a0, ,A 2 a , 0

5、2B 1 0 ,a ,B 2,0a 第 2 页,共 6 页对称轴x轴, y 轴；虚轴为b,实轴为2aF 1c , 0 ,F 2 0 ,c F 2c 0, F 1 0 ,c ,焦点焦距|F 1F 2|2 c c0 c2a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思离心率ece1 （离心率越大,开口越大）a准线P 在左支xPF 1PF 2a2epya2ey 0ey 0cc渐近线yb axya bx通径| |2b22（ p 为焦准距）PF 1PF 2| |a aaP 在 下支| | |a aex 0ex 0焦半径P 在右支|

6、 |PF 1PF 2| |aaex 0ex 0cP 在上支| |PF 1PF 2| |aaey 0ey 0焦准距a2b2pcc（3）双曲线的渐近线：求双曲线x2y21的渐近线,可令其右边的1 为 0,即得x2y20,因式分a2b2a2b2解得到；与双曲线x a2x2y2y21共渐近线的双曲线系方程是x2y2；2b2a2b2（4）等轴双曲线为t2,其离心率为2三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹；其中：定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线；名师归纳总结 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：p0焦点在 y 轴上,焦点在 y 轴上,第 3 页,共 6

7、 页焦点在 x 轴上,焦点在 x 轴上,开口向右开口向左开口向上开口向下标准方y22pxy22pxx22py2 x2py程ly PPy ly ly PFx PO x 图形O Fx FO x FlO 顶点O0 0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思对称轴x轴y 轴焦 点 F p , 0 F p, 0 F 0 , p F 0 , p2 2 2 2离心率 e 1p p p p准 线 x x y y2 2 2 2通 径 2 p焦半径 | PF | | x 0 | p| PF | | y 0 | p2 22 p焦点弦 x 1

8、 x 2 p 2（当 时,为 2 p通径）sin 2焦准距 p2如： AB 是过抛物线 y 2 px p 0 焦点 F 的弦, M 是 AB 的 中点, l 是抛物线的准线,MN l, N 为垂足,BD l,AH l, D , H 为垂足,求证：（1）HF DF；（2）AN BN； （3）FN AB；lH y A（4）设 MN 交抛物线于 Q ,就 Q 平分 MN ；Q MN x （5）设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ,就 y 1 y 2 p 2,x 1 x 2 1 p 2；O F E4 D B（6）1 1 2；（7）A , O , D 三点在一条直线上| FA | |

9、 FB | p（8）过 M 作 ME AB,ME 交 x 轴于 E ,求证：| EF | 1 | AB |,| ME | 2| FA | | FB |；2四、圆锥曲线的统肯定义：如平面内一个动点M 到一个定点F 和一条定直线l 的距离之比等于一个常数e e0 ,就动点的轨迹为圆锥曲线；其中定点F 为焦点,定直线l 为准线, e为离心率；当0e1时,轨迹为椭圆；当e1时,轨迹为抛物线；当e1时,轨迹为双曲线；五、轨迹方程的求法：（1）直接法：假如动点满意的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明白且易于表达,我们只需把这种关系“ 翻译” 成含x,y的 等式就得到曲线的轨迹方程；

10、如：已知ABC 底边 BC 的长为 8,两底角之和为o 135 ,求顶点且的轨迹方程；（2）定义法： 其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,就依据定义直接求出动点的轨迹方程；如：已知圆x2y216,定点A 20,如 P 是圆上的动点, AP 的垂直平分线交OP于 R ,求 R 的轨迹方程；名师归纳总结 （3）几何法：如所求的轨迹满意某些几何性质（如线段的垂直平分线,角平分线的性质等）,第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思可以用几何法,列出几何式,再代人点的坐标较简洁；如： AB 是 O 的直径,

11、且|AB|2 a,M 为圆上一动点, 作MNAB,垂足为 N ,在 OM 上取点 P ,使|OP|MN|,求点 P 的轨迹；（4）相关点法（代人法） ：有些问题中,其动点满意的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的；假如相关点所满意的条件是明显的,或 是可分析的,这时可以用动点坐标表示相关点坐标,依据相关点所满意的方程 即可求得动点的轨迹方程；如 ： 在双 曲线x a2y21 a0,b0 的 两 条渐近线 上分 别取 点 A 和 B , 使2b2|OA|OB|c 2（其中 O 为坐标原点,C 为双曲线的半焦距） ,求 AB 中点的轨迹；（5）交轨法：在求动点轨迹时,有

12、时会显现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题经常通过解方程组得出交点 参数法并用；含参数 的坐标,再消去参数得出所求轨迹的方程；常与如：己知两点P2 ,2,Q0,2以及始终线l :yx,设长为2 的线段 AB 在直线l 上运动,求直线PA 和 QB 的交点 M 的轨迹方程；（6）整体法（设而不求法）：当探求的轨迹较复杂时,可扩大考察视角,将问题中的条件、结论的各种关系看成一个整体,从整体动身运用整体思想,留意整体结构的挖 掘和分析；如：以P2,2 为圆心的圆与椭圆x22y2m交于A,B两点,求 AB 中点 M 的轨迹方程；（7）参数法： 有时求动点应满意的几何条件不易得出,也无明显的相关点,但

13、却较易发觉 （或经分析可发觉）这个动点的运动经常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等） 的制约,即动点坐标x ,y中的x,y分别随另一变量的变化而变化,称这个变量为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫参数法,假如需要得到轨迹的一般方程,只要消去参数即可；在挑选参数时, 选 用的参变量要以具有某种物理或几何的性质,如时间、 速度、 距离、角度,有向线段的数量、直线的斜率,点的横、纵坐标等,也可以没有详细的意义,选定参变量仍要特殊留意它的 取值范畴 的对动点坐标取值范畴的影响；x, y 的取值范畴；留意：全部的求轨迹的问题都要依据题意,求其中 六、直线与圆锥曲线的位置关系：（1）会利用方

14、程组解的状况确定直线与圆锥曲线的位置关系；解此类问题一般从直线与圆锥曲线联立的方程组的解的个数来入手；（要留意考虑二次项系数为零,摸索此时几何意名师归纳总结 义）,也通过图形进行争论；（要留意的是：与对称轴、渐近线平行的情形）y24的公共点第 5 页,共 6 页如：试确定实数A 的不同取值,争论直线yk x1 与双曲线x24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思的个数；（2）会求直线被圆锥曲线所截的弦长,弦的中点坐标：解决此类问题时,由于直线和圆锥曲线相交,故其方程组的 0 （特殊含有待定的系数是否就会增解）；涉及到中

15、点坐标,要留意韦达定理的应用,而韦达定理的前提条件是 0 ；如：设抛物线经过两点 ,1 6 和 ,1 2 ,对称轴与 x 轴平行,开口向右,直线 y 2x 7被抛物 线截得的线段长是 4 10,求抛物线方程；（3）当直线与圆锥曲线相交时,求在某些给定条件下地直线线方程；解此类问题,一般是根据条件求解,但要留意0 条件的应用；M ,N两点,如：已知抛物线方程为y22x在 y 轴上截距为2 的直线 l 与抛物线交于且以M ,N为径的圆过原点,求直线 l 的方程；（4）圆锥曲线上的点关于某始终线的对称问题,解此类题的方法：圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线垂直,就圆锥曲线上两点的中点肯定在对称直线上,得到关系式而求解；名师归纳总结 如：抛物线y2 ax1a0 上有关于xy0对称的相异两点,求a 的取值范畴；第 6 页,共 6 页- - - - - - -