2022年双曲线及其标准方程.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2.3双曲线23.1双曲线及其标准方程整体设计教材分析“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后, 学习的又一类圆锥曲线学问, 也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一, 它在社会生产、 日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用,也是大纲中明确要求同学必需娴熟把握的重要内容双曲线的定义、标准方程与椭圆类似,教科书的处理方法也相仿,也就是说,本小节在数学思想和方法上没有新内容,因此, 这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行 教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点,特殊是它们的

2、不同点课时安排本节内容分两课时完成第 1 课时讲解双曲线的定义,要求同学类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程.第2 课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题第 1 课时教学目标 学问与技能使同学把握双曲线的定义,懂得双曲线标准方程的推导过程,能依据条件确定双曲线的标准方程过程与方法在与椭圆的类比中,把握双曲线的标准方程的推导方法,增强合作学习才能和运用所学学问解决实际问题的才能.培育同学运用类比、数形结合思想解决问题的才能情感、态度与价值观发挥类比的作用,与椭圆形成对比,激发同学学习数学的爱好,提高同学的审美乐趣,培育同学勇于探究、敢于创新的精神,通过引入b2,使方程形式更对称、简洁

3、,无疑会让学 生感到数学的特殊魅力,增强同学学习数学的深厚爱好重点难点教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程教学难点：双曲线标准方程的推导.教学过程复习引入1椭圆的定义平面内与两个定点F1, F2 的距离之和等于常数 大于 |F 1F2| 的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - -

4、- -2. 椭圆的标准方程22xy1 焦点在 x 轴a2b2 1, ab0 .y 2x 22 焦点在 y 轴a2b2 1, ab0 3 a、b、c 之间有何种关系？222a c b .探究新知探究： 假如把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会发生什么变化？用几何画板演示拉链的轨迹：(A) B活动成果：以上两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支下面请同学们摸索以下问题：设问：定点与动点不在同一平面内,能否得到双曲线？两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系？这个常数是否会大于或等于两定点间的距离？ 几何画板演示当常数等于|F 1F2| 及常数大于 |F 1F2|

5、时的点的轨迹,帮忙同学懂得请同学回答：1. 不能指出必需“在平面内” 2到两定点的距离的差的肯定值相等,否就只表示双曲线的一支,且到两定点的距离的差的肯定值为一个常数,即|MF 1| |MF2 | 2a.3应小于两定点间距离且大于零当常数等于|F 1F2| 时,轨迹是以F1、F2 为端点的两条射线.当常数大于|F 1F2 | 时,无轨迹活动设计： 小组争论, 试验演示, 通过提出问题, 让同学争论问题,并尝试解决问题 让同学明白双曲线的前提条件,并培育同学的全面摸索才能感受曲线, 解读演示得到的图形 是双曲线 一部分 提出问题：类比椭圆的定义,给出双曲线的定义活动设计：同学先独立摸索,老师加以

6、引导,与椭圆有一个类比,答应同学自愿合作、争论、沟通学情猜测： 同学的回答可能不全面、不精确, 我们可以用几何画板演示同学的回答,让他们发觉问题,然后不断补充、订正,趋于完善活动成果：师生共同概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F1, F2 的距离的差的肯定值等于常数 小于 |F 1F2| 的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 在归纳定义时强调定义要满意三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的肯定值等于常数、常数小于|F 1F2| 且大于零 下面我们类比椭圆方程的推导,挑选适当的坐标系,建立双曲线方程为今后通过方程争论双曲线的性质做好预备提出

7、问题：求椭圆方程的步骤是什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -活动结果：建系、设点、列式、化简 同学回答,老师板书提出问题：和椭圆类似,我们应如何建立坐标系,使求出的方程更为简洁？活动设计： 同学先独立摸索, 类比椭圆找到两种简洁的建系方法,并找同学到黑板板演,老师巡察指导其他同学,必要时给板演的同学赐予指导 推导过程以焦点在x 轴上为例

8、同学板演,先请同学评讲,老师再评讲以线段 F1F2 的中点为原点,直线 F1F2 为 x 轴,建立直角坐标系设 Px , y 是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为 2cc0 ,那么,焦点 F1, F2 的坐标分别是 c,0 , c,0 ,又设点 P 与 F1,F2 的距离的差的肯定值等于常数 2a. 就有：xc 2 y 2x c2 y 2 2a,2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_移项,得x c y x c y 2a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边平方,得x c y |a ax|. 可编辑资料 - -

9、 - 欢迎下载精品_精品资料_22222222式再两边平方并整理得c a x a y a c a , 22依据双曲线的定义c a,c a 0,22222xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 b ca ,代入上式,得2 2 1. ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个方程叫做双曲线的标准方程,它所表示的双曲线的焦点在x 轴上,焦点坐标是F1 c,0 、F2c,0222学情猜测：一般情形下,得到方程 后,同学会类比椭圆设b c a ,但要留意证明的严密性,帮忙同学在证明过程中完善步骤提出问题：设此方案中的双曲线与x 轴的交点分别为A1, A2,同学们都知道a,

10、c 的含义,你能从图形中找到长度分别等于a,c 的线段吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学情猜测：估量得出c 题|F 1F2|2 |OF1| |OF2| , a|A 1A2|2 |OA1| |OA2| 应当不会有问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提出问题：你能在y 轴上找一点B,使得 |OB| b 吗？学情猜测：同学会发觉在y 轴的正负半轴上各有一个这样的点,我们分别设为B1, B2,就|B 2A1| |B 2A2| c |B 1A1| |B 1A2 |.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这样,由于B 2OA2 为直角三角形,且|B 2A2

11、| c ,|OA2| a,所以, c方程 中的 c 2 a2 有明显的几何意义 a |OB2| . 因此,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提出问题：假如以F1,F2 所在直线为y 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为x 轴,建立直角坐标系,焦点是F10 , c , F20 ,c ,双曲线的方程又如何了？x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类比椭圆,假如双曲线的焦点在y 轴上,把方程2 2 1 中的 x 、y 互换,得到它的方ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22yx程为 a2 b2 1,这也是双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两个2222xy

12、yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_老师应指出：我们所得的两个方程方程2 2 1 和 2 21a0 ,b0 都是双曲线的标准abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提出问题：已知双曲线标准方程,如何判定焦点位置？活动设计：同学先独立摸索,当然,同学自愿合作争论的也答应活动结果：看x2,y2 的系数,哪个系数为正就在哪一条轴上 练习：写出以下双曲线的焦点坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

13、资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -22221. xyxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 12.169 1F 5,0 916可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222yxyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 16 9 1 4.懂得新知 1 F0, 5916可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1观看双曲线的图形及其标准方程,师生共同总结归纳：(1) 双曲线标准方程对应的双曲线中心在原点,以焦点所在轴为坐标轴.(2) 双曲线标准方程形式：左边是两个分式的平方差,右边是1.222(3) 双曲线

14、标准方程中三个参数a,b, c 的关系： c a b a0 , b0 .22(4) 双曲线焦点的位置由标准方程中x , y 的系数的正负确定.(5) 求双曲线标准方程时,可运用待定系数法求出a,b 的值2在归纳总结的基础上填下表.2222xyyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标准方程a2 b21a0 , b0a2 b2 1a0 , b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图形222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a, b,c 的关系c a bc a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点坐标 c,00 , c焦点位置在 x 轴

15、上在 y 轴上3. 双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区分与联系？椭圆双曲线定义|MF1| |MF2| 2a|MF 1| |MF2| 2a2222x yxya2 b2 1ab0a2 b2 1a0 , b0222方程2y xyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 2 1ab0 abF c,0焦点F0 , c2 2 1a0 , b0 abF c,0 F0 , c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a, b, c222a0, b0,但 a 不肯定大于b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab0, a b c222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

16、料_的关系运用新知例题研讨,变式精析a b c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 判定以下方程是否表示双曲线,如是,求出三个量a,b, c 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2x2y222xy22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4 2 1,2 2 1,4 2 1, 4y 9x 36.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222思路 分析： 双曲线标准方程的形式：平方差,x 项的系数是正的,那么焦点在x 轴上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222x 项的分母是a . y项的系数是正的,那么焦点在y 轴上, y项

17、的分母是a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 是双曲线, a 2, b2, c6.是双曲线,a2, b2,c 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -是双曲线,a2, b 2, c 6.是双曲线,a 3, b 2, c 13.2 已知双曲线的焦点为F1 5,0 , F25,0,双曲线上一点P 到 F1、F2 的距离的差的肯

18、定值等于6,求双曲线的标准方程思路 分析： 巩固双曲线的标准方程,解题思路是查找两个定值a,c. 用待定系数法求出双曲线的标准方程解： 双曲线的焦点在x 轴上,设它的标准方程为22xy2 2 1a0 , b0 ab依据题意知2a 6,2c 10,a 3, c 5222b 5 3 16.22xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求双曲线的标准方程为 1.916可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 焦点定位, a、 b、c 三者知二定形变练演编提出问题：请解答以下问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21已知双曲线x 2y 1,你可以得到哪些结论？

19、 把你能得到的结论都写出来可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1692已知 a 2,c 4,就你可以得到双曲线的哪些结论？ 把你能得到的结论都写出来22yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3已知 a 4, ,可以求得双曲线的标准方程为上需要添加什么样的条件？活动设计：同学先独立探究,答应相互沟通成果然后,全班沟通16 9 1,就题中横线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学情猜测： 1.a 4, b 3, c 5,两焦点坐标为 5,0 , 5,02222xyyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 b23,双曲线的标准方程为4 12 1 或

20、 4 12 1 等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3b 3,且焦点在y 轴上.或 c 5,且焦点在y 轴上.或一个焦点坐标为0,5答案许多 设计意图：设置本组开放性问题,意在增加问题的多样性、好玩性、探干脆和挑战性, 训练同学思维的发散性、收敛性、敏捷性和深刻性,长期坚持,不仅会加深同学对数学的懂得、把握,而且会潜移默化的学会编题、解题,更会把同学的基础学问巩固得更广、更深达标检测1求 a 4, b 3,焦点在x 轴上的双曲线的标准方程22222求 a 25,经过点 2 , 5 ,焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3证明椭圆9x25

21、y 225 与双曲线 x 15y 15 的焦点相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_224如方程 x sin y cos 1 表示焦点在y 轴上的双曲线, 就角 所在象限是 A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5设双曲线x 2y 2 1 上的点 P 到点 5,0的距离为15,就 P 点到 5,0 的距离是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_169A 7B 23C 5 或23D 7 或2322xy答案： 1. 16 9 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - -

22、- - -第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -222. y x 1.20162222xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 9x 25y22 2252x 1F 4,0 ,2592可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 15y15215 y2 1F 4,0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 Dxsin ycos 1 表示焦点在y 轴上的双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

23、 - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 0 在第四象限,所以选D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 D|d 15| 2a 8d 7 或 23.课堂小结学问整理,形成系统 由同学归纳,老师完善(1) 双曲线的定义 与椭圆的区分(2) 标准方程 两种形式 (3) 焦点位置的判定 与椭圆的区分4a、 b、 c 的关系 与椭圆的区分 让同学对本节课进行总结目的是帮忙他们认清这节课的学问结构,培育他们的归纳总结才能 .作业布置教材习题 2.3A 组第 1 题,第 21 题补充练习基础练习1填空题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21x2y1,就 a , b .可编辑资

24、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_52 3222xy22 21,就 a , b . 46x 2y23 9 4 1,就 a , b .2求以下椭圆的焦点坐标：22xy22 9 4 1. 16x 7y 112.拓展练习已知双曲线的一个焦点坐标为F10 ,13 ,双曲线上一点P 到两焦点距离之差的肯定值为 24,求双曲线的标准方程解： 由于焦点坐标为F10 , 13 ,所以 c 13.又双曲线上一点P 到两焦点距离之差的肯定值为24, 所以 2a 24,即 a 12.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 b c a 169 144 25.22yx可编辑资料 - - - 欢

25、迎下载精品_精品资料_所以所求双曲线的标准方程为14425 1.设计说明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1在“双曲线的标准方程”的引入与推导中,充分利用几何画板演示,并运用“试验观看类比证明应用”的思想方法,逐步由感性到理性的熟悉定理这样支配符合同学的熟悉规律,揭示了学问的发生、进展过程. 也

26、符合现代训练理论中的“要把学 生学习学问当作熟悉事物的过程来进行教学”的观点2在教学的过程中始终本着：数学的学习过程是同学自己的“再制造”的原就,通过老师启示引导,让同学通过试验、观看、摸索、类比、推理、沟通、合作、反思等过程进行探究, 构建新学问, 真正做到将传授学问和培育才能融为一体,较好的表达“数学教学主要是数学活动的教学”这一训练思想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_备选例题：22备课资料2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1椭圆 x y 1 与双曲线 x y 2 1 有相同的焦点,求m的值9mm分析： 由双曲线方程可以看出焦点在x 轴上这样在椭圆和双曲线中

27、各自的a、b 值可以定下来了再分别求c ,列出等式可解得m值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x解： 双曲线 y 1 的焦点在 x 轴上,所以cm 1,椭圆的焦点也在x 轴上,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2mc9m,依题意有m 19 m,解得 m 4.点评： 对于椭圆与双曲线这对“情侣圆锥曲线”,从简洁的题目入手,渐渐提升同学的综合才能2动点 P 到点 M 1,0 的距离减去到点N1,0 的距离为2,就点 P 的轨迹是 A双曲线B 双曲线的一支C 两条射线D 一条射线答案： D点评： 对双曲线的定义巩固提升 设计者：刘薇可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载