2022年高等数学期末考试及其答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 重庆文理学院试卷承担单位：20222022 学年第一学期半期考试八九十总分数学与统计学院课程名称：高等数学 A2* 试卷类别：考试形式：开卷考试时间： 120 分钟适用层次：本科适用专业：09 级工管、造价题号一二三四五六七得分阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写,小题得分写在相应小题题号前,用正分表示；大题得分登录 在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷,流水作业；得 分评 卷 人一 、 单 项 选 择 题 （ 本 大 题 共 8 小 题 , 每 小 题 2 分 , 共 16分 ） 在 每 小 题 列 出 的 四 个 备 选 项 中 只 有 一 个

2、是 最 符 合 题目 要 求 的 , 请 将 其 代 码 写 在 题 后 的 括 号 内 ； 错 选 、 多 选 或 未 选 均 无 分 ；名师归纳总结 - - - - - - -1、 二 元 函 数z5x2y2的 极 大 值 点 是 （）；A （ 1, 0）B （ 0, 1）C （ 0, 0）D （ 1, 1）解 ： 由Zx2x0得 驻 点 （ 0, 0）Zy2y0又Z5x2y25, 可 见 （ 0, 0） 为 极 大 值 点 , 故 选 （ C）；2、 过 点P1,2,3且 与 向 量 a =2 , 2, 2 , b =1 , 2, 4 同 时 垂 直 的 直 线 方程 为 （）；Ax41

3、=y62=z23Bx41=y2=z362Cx41=y62=z3Dx41=y2=z2326ijk解 ： 直 线 方 向 向 量 = a b =222=（ 4, -6 , 2）124得 直 线 方 程 为 ：x41y2=z236由 四 个 选 项 可 知 , 应 选 D 3 、 已 知 平 面1:3 x5ykz30垂 直 于 平 面2:x3y2z50, 就 k =第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）；B4 C-4 D6 A -6 解 ： 两 平 面 垂 直 , 就 它 们 的 法 向 量 的 “点 积 ”为 0, 即（ 3, -5 , K） （ 1, 3,

4、 2） =3-15+2 K =0 K =6, 故 选 D 4、 设 f x , y 2 x2, 就 f 1 , 1 =（）x y x yAx 2 xy 2y 2 Bx 2 x 2 yy 2 Cx 2 xyy 2 Dx x2 2 yy 221解 ： 由 f 1x , 1y 1 x1 = 1x x x2 2 yy 22 =x 2 xy 2y 2, 知 应 选 A 2 2x y5、 设 z 2 x 3 y 3 y, 就 z =（）x3 y 3 y 1A2 2 x 3 yln 2 x 3 y B 3 y 2 x 3 y3 y 3 y 1C 2 x 3 yln 2 x 3 y D 6 y 2 x 3 y

5、解 ： 此 即 二 元 复 合 函 数 , 由 复 合 函 数 求 导 公 式 的 链 式 法 就 有 ：z3y2x3y3y12x3yx=6y2x3y3y1故 选 D ；x6、 已 知zlnx2y2, 就xzyz=（）xyA0 B1 C-1 D2 解 ：Zxx21y222xy2=x2xy2x2Zyx2yy2x2y2y2=1, 故 应 选 B ；就xz+yz=x2x2y2+xy7、 设uxyz, 就 du =（）C xzdyD yzdx+ xzdy + xzdyAyzdxBxzd y解 ： 此 即 求 三 元 函 数 的 微 分 , 由 三 元 函 数 微 分 公 式 （ 6.9 ） : 名师归

6、纳总结 u xyz,u = xz,u = xy第 2 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所 以 ,duyzdxxzdyxydz, 应 选 D ；8、 二 元 函 数zfx,y在 点x 0, y 0处 可 导 （ 偏 导 数 存 在 ） 与 可 微 的 关 系 是（）A 可 导 必 可 微 C 可 微 必 可 导B 可 导 一 定 不 可 微 D 可 微 不 一 定 可 导解 ：可 导 不 一 定 可 微 ,所 以 排 除 A , 而 可 导 并 非 一 定 不 可 微 , 故 排 除B , 由 于 可 微 必 可 导 , 故 应 选 C

7、 ；得 分评 卷 人二 、 填 空 题 （ 本 大 题 有 9 小 题 , 共 12 个 空 , 每 空 2 分 ,共 24 分 ）请 在 每 小 题 的 空 格 中 填 上 正 确 答 案 ；错 填 、不填 均 无 分 ；9、 与 向 量aij2k及bi2jk同 时 垂 直 的 单 位 向 量i j k解 ： 由 向 量 积 的 含 意 , 所 求 向 量 为 a b = 1 1 2 =（ -3 , -1 , 1）1 2 1故 单 位 向 量 为 3 , 1 , 1 1 3 , 1 , 1 9 1 1 1110、 向 量 a 2 i j 2 k 与 b 2 i j m k 平 行 的 条 件

8、 是 m = ；解 ： 如 a b , 就 2 1 m , 即 m=2 2 1 211、已 知 直 线 x 1 y 1 z 1 与 平 面 x 2 y 2 z 4 0 相 交 于 点 3 , 7 , 0,就2 k 1 2k = ；x 1 2 t解 ： 由 直 线 方 程 知 其 参 数 式 为 ：y kt,z 1 t3 1 2 t 1点 3 , 7, 0 在 直 线 上 , 故 有 ：7 1 kt 2 2 20 1 t 3 由 （ 3） 得 t =1 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 代 入 （ 2）,k9212、

9、 设 函 数 z 3 a x y x 3 y 3, 就 点 （ a , a ） 在 a 为 时 , 为 极 大值 点 , 在 a 为 时 , 为 极 小 值 点 ；2Z x 3 ay 3 x 0解 ： 由 2, 解 得 驻 点 为 ：（ 0, 0）,（ a , a ）Z y 3 ax 3 y 0又 ：zxx 6 x Azxy 3 a Bzyy 6 y CAC B 2=36 xy 9a 22 0 , 0 9 a 0,（ 0, 0） 非 极 值 点2 a , a 27 a 0 故 a 0 时 ,（ a , a） 为 极 值 点又 ：Az xxa,a6 a0,a0 时0,a0 时故 当 a 0 时

10、为 极 小 值 点a 0 时 为 极 大 值 点13、 直 线 方 程L:x3 z50的 对 称 式 方 程 为；y2z80解 ： 先 求 直 线 上 的 特 殊 点 ；令 z =0, 得 x =-5 , y =8, 即 （ -5 , 8, 0） 为 直 线 上 一 点 ；名师归纳总结 面2:y再 求 直 线 的 方 向 向 量 ； 由 于 既 在 平 面1:x3z50上 , 又 在 平2 z80上 , 故 它 与1、2的 法 向 量 同 时 垂 直 ； 由 此 知 L 的 方 向向 量 为 ：n 1n 2, 即 ：ijk103=（ 3, 2, 1）012第 4 页,共 12 页- - - -

11、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于 是 , 对 称 式 方 程 为 ：x35y28z114 、 函 数fx,y,zxy2yz3在 点P2,1,1处 的 梯 度 是k；,模是；解 ;gradf2,1,1=xf2,1,1 i +yf2,1 1,j +fz2,1,1 其 中xf 2,1,1=y22,1,1=1,yf2,11,=2xyz32,1,1 =2 2 （ -1 ） +13=-3 fz2,1,1 =3yz22,1,1=3 （ -1 ） 12=-3 故gradf2,1,1 = i -3j -3 k 或 （ 1, -3 , -3 ）模gradf2,1,1 =2 1（2

12、3）（2 3）=1915、已知fx,xyx2xy,就f = x解 ： 令xuufu,v u2u vuuv,yv；即fx,yxy, 于 是fyx16、已知zxy2,就 dz = ；解 ：zy2x2 y1,Zxy2lnx2yxy故 dZy2xy21dx2ylnxxy2dy17、 椭 球 面x22y23z26在 （ 1, 1, 1） 处 的 平 面 方 程 是, 法 线 方 程 是解 ： 令Fx,y,zx22y23 z26F （ 1, 1, 1） =2 x （ 1, 1, 1） =2 F （ 1, 1, 1） =4 y （ 1, 1, 1） =4 F （ 1, 1, 1） =6 z （ 1, 1,

13、1） =6 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故 法 平 面 方 程 为 ： 2（ x -1 ） +4（ y -1 ） +6（ z -1 ） =0,即 ： x +2 y +3 z -6=0 得 分法 线 方 程 为 ：x21y41z61或x11y1z123评 卷 人三 、计 算 题（ 本 大 题 共 3 题 ,第 第 19 题 24 分 , 共 36 分 ）18 题 和 第 20 题 各 6 分 ,18、 求 满 足 下 面 条 件 的 平 面 方 程 1 通 过 x 轴 和 点 （ 4, -3 , -1 ）解 ：

14、设 所 求 平 面 方 程 为AxByCzD0平 面 通 过 x 轴 ,就 方 程 缺 x,同 时 , 平 面 通 过 x 轴 即 平 面 过 原 点 , 所 以 有 ：A =0, D =0, 于 是 平 面 方 程 可 为ByCz0（ 1）将 点 （ 4, -3 , -1 ） 代 入 , -3 B - C =0, 即 C =-3 B , 代 入 （ 1）有By3Bz01:2xyz0与2 消 B 得 ：y3z0l 通 过 点 P （ 1 , 2 , 3 ） 且 垂 直 于 两 平 面2:xy2 z101和2同 时 垂 直 ,解 ： 所 求 平 面 的 法 向 向 量 n 与 两 平 面就名师归

15、纳总结 ijk5y23z30第 6 页,共 12 页n211=（ 1, -5 , -3 ）112所 求 平 面 方 程 为 ：1x1即x5y3z180- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 19、 求 下 面 各 题 在 指 定 处 的 导 数 （ 或 全微分）（1）zlnFy的偏导数；其中F 是任意可导函数；x解： 此即复 合 函 数 求 导 , 由 复 合 函 数 求 导 公 式 的 链 式 法 就 有名师归纳总结 zF1Fyyz ；xx21第 7 页,共 12 页xyxx2xzF1Fy1yyxxx（2） 已知zx,yx2yy2x,且zx1x,试求解：由

16、条件,z x,1x212 1x x,解得xx即zx,yx2y2 yxx21于是,z =2 x y +1-2 x =2 x y -2 x +1 x（3）设zfx,yarctanx,求fxy0,1；y解：f x1112 xyy22 xyy2故fxy0,112 xx2y2y2y2y0,1=x2y220,1x2y2=012101（4）设ze2x3y,xcos ,ysin ,求dz ；dt解：dx = -dtsin ,dy = dtcos ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - z22 ex3y,z = y3 e2x3yx故 dz = z dx + z dydt t

17、 dt y dt= 2 e 2 x 3 y （-sin ）+ 3 e 2 x 3 ycos t2 cos t 3 sin t=（3 cos -2 sin ）ez z（5）设方程 e xyz 确定隐函数 z f x y,求x解：对方程 e = x y z 两 边 关 于 x求 偏 导 ,注 意 z = f x , y 为 x, y 的 函 数 ,得 ：e z z = y z + x y z ,x x解 z 得,z = z yz 把 e z xyz 代入 yz = zx x e xy xyz xy x z 1sin xy（6）求函数 z e 的全微分解：z = e sin xycos xyyxz

18、= e sin xycos xyxy故 dz = e sin xycos xy y dx + e sin xycos xy x dy= cos xy e sin xy（ y dx + xdy ）2 2 2 2 2 220、求球面 x y z 50 与锥面 x y z 所截出的曲线在点（ 3,4,5）处的切线与法平面方程；解：设Fx,y,zx2y2z2500（1）yyx,取Gx,y,zx2y2z20由隐函数存在定理2,方程组（ 1）可确定两个关于 x的 隐函数zzxx为参数,得曲线的参数方程为名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - -

19、 - - x xyyxzzx于是曲线在点（ 3,4,5）处的切线的方向向量为=（1,yx,zx3,4,5 今 对 （ 1） 关 于 x求 偏 导2x2y y2 z z03,050z502x2y y2z z0解得yxx,zx01,y=1,x,03,4,5=y4切 线 方 程 为 ：x13y4z30443 4y法 平 面 方 程 为 ：1x3即 ： 4 x-3 y =0 四 、 应 用 题 （ 本 大 题 共 2 题 , 每 题 8 分 , 共 16 分 ）得 分 评 卷 人21、设某材质的矩形薄片的长、宽分别为 x, y,将此薄片加热,假如 x, y 对温度 t 的变名师归纳总结 化率分别是,试

20、求当该薄片面积为1 时,面积对温度的变化率dA 的最小值；dt解：令 A （x,y）= xy此 即 目 标 函 数 , 题 即 求dA 的最小值 dt第 9 页,共 12 页由 条 件 ,xtyt可 见 Ax , y 是 t 的 复 合 函 数 ,由题设,dx = dt,dy = dt又：A = y ,xA = x y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以,dA = dtAdx + dtAdyxydt入 （ 1）：即dA = dty +x（ 1）1 ,代 x今设 x y =1,此 即 目 标 函 数 的 约 束 条 件 ,应 用 代 入 法 ,即 y

21、=dA = dtx+x=x2x22xx=222、 为 销 售 产 品 作 两 种 方 式 广 告 宣 传 , 当 宣 传 费 分 别 为 x , y 时 , 销 售 量 是S200x100y,如销售产品所的利润是销售量的1/5 减去广告费, 现要使用广5x10y告费 25 元,应如何安排,使广告费产生的利润最大,最大利润是多少？解：依题意,利润函数即目标函数为=1sxyxy51200 x100 y55x10y约 束 条 件 为 x+ y =25代 入 目 标 函 数 ：40x40y255x10y作 拉 格 朗 日 函 数名师归纳总结 由 ：Lx,y,40xy40y025xy25第 10 页,共

22、 12 页5x10yLx405x40x05x2Ly4010y4010y2Lxy250- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 15解 得 ：y1012依 题 设 , 存 在 最 大 利 润 , 又 驻 点 唯 一 , 因 此 两 种 广 告 方 式 分 别投 入 15 万 元 和 10 万 元 时 , 利 润 最 大 ；得 分F评 卷 人五 、 证 明 题 （ 本 大 题 共 1 题 , 共 8 分 ）23、设u为可微函数,证明函数zFx2y2满意yzxz0；xy证：zzFx2=y22xy22xxFx2y22y0xzFx2y22yyyxzyFx2xy结论得证；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页