2022年小学奥数知识点梳理4.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而思学校奥数学问点梳理学而思教材编写组前言学校奥数学问点梳理,对于学而思的学校奥数大纲建设特别必要,不过,对于学问点的概括很可能显现以偏概全挂一漏万的现象,为此, 本人参考了单尊主编的学校数学奥林匹克 、中国少年报社主编的华杯赛教材 、华杯赛集训指南以及学而思的寒假班系列教材和华罗庚学校的教材共五套教材,力图打破原有体系,重新整合划分,构建十七块体系（其第十七为解题方法聚集,可补充相应杂题）,原就上简明扼要,努力刻画 学校奥数学问的主树干；概述一、运算 1四就混合运算繁分数 运算次序 分数、小数混合运算技巧 一般而言： 加减运算中,能化成有限

2、小数的统一以小数形式； 乘除运算中,统一以分数形式；带分数与假分数的互化 繁分数的化简2简便运算 凑整思想 基准数思想 裂项与拆分 提取公因数 商不变性质 转变运算次序a 1ba2b运算定律的综合运用2.a nb连减的性质连除的性质同级运算移项的性质增减括号的性质变式提取公因数形如：.anba 1a3估算求某式的整数部分：扩缩法名师归纳总结 4比较大小第 1 页,共 10 页通分a.通分母b.通分子跟“ 中介” 比利用倒数性质- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如1 a11,就 cba.；形如：m 1m 2m 3,就n 1n2n3；bcn 1n2n 3m

3、 1m 2m 35定义新运算 6特别数列求和 运用相关公式：123nnn11222 122n2nn12n16a nn n1n2n1323n312n2n2n42abcabcabc1001abc71113a2b2abab1+2+3+4 （ n-1 ）+n+（n-1 ）+ 4+3+2+1=n二、数论1奇=偶奇偶性问题奇奇 奇 =奇奇偶=奇奇 偶 =偶偶偶=偶偶 偶 =偶2位值原就形如： abc =100a+10b+c 3数的整除特点：特征整除数2 是 0、2、4、6、8 3 位上数字的和是 3 的倍数 5 是 0 或 5 9 位上数字的和是 9 的倍数 11 位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差

4、是 11 的倍数 4 和 25 位数是 4（或 25）的倍数名师归纳总结 48 和 125 位数是 8（或 125）的倍数第 2 页,共 10 页7、11、 13 位数与前几位数的差是7（或 11 或 13）的倍数整除性质假如 c|a、c|b,那么 c|ab；假如 bc|a,那么 b|a,c|a；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 假如 b|a,c|a,且（ b,c）=1,那么 bc|a； 假如 c|b,b|a,那么 c|a. a 个连续自然数中必恰有一个数能被 a 整除；5带余除法一般地,假如 a 是整数, b 是整数（ b 0）,那么肯定有另外两个整

5、数 q 和 r,0rb,使得 a=b q+r 当 r=0 时,我们称 a 能被 b 整除；当 r 0 时,我们称 a 不能被 b 整除, r 为 a 除以 b 的余数, q 为 a 除以 b 的不完全商（亦简称为商）；用带余数除式又可以表示为 a b=q r, 0rb a=b q+r 6. 唯独分解定理任何一个大于 1的自然数 n都可以写成质数的连乘积,即n= p1a1 p2a . p kaka1 p2a . p kak 那么：7.约数个数与约数和定理设自然数 n的质因子分解式如n= p1n的约数个数： dn=a1+1a2+1.ak+1 n的全部约数和：（1+P1+P1 2 + p1 a 1）

6、（ 1+P2+P2 2 + p2 a ） （ 1+Pk+Pk 2 + pk ak ）8. 同余定理 同余定义：如两个整数 a,b 被自然数 m 除有相同的余数,那么称 a,b 对于模 m 同余,用式子表示为 abmod m 如两个数 a,b 除以同一个数 c 得到的余数相同,就 a,b 的差肯定能被 c 整除；两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和；两数的差除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数差；两数的积除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数积；9完全平方数性质平方差： A2 -B2 =（A+B）（ A-B）,其中我们仍得留意A+B, A-B 同奇偶性

7、；约数：约数个数为奇数个的是完全平方数；约数个数为 3的是质数的平方；质因数分解：把数字分解,使他满意积是平方数；平方和；10孙子定理（中国剩余定理）11辗转相除法12数论解题的常用方法：枚举、归纳、反证、构造、配对、估量三、几何图形1平面图形多边形的内角和N 边形的内角和 =N-2 180等积变形（位移、割补）名师归纳总结 三角形内等底等高的三角形第 3 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 平行线内等底等高的三角形 公共部分的传递性 极值原理（变与不变）三角形面积与底的正比关系S1S2 =ab ；S1S2=S4S3 或者 S1 S3=S

8、2 S4相像三角形性质（份数、比例）a Abch; S1S2=a2A 2BCHS1S3S2S4= a2b2 abab ; S=（a+b）2燕尾定理ABDEGFCS ABG：S AGCS BGE： S GECBE：EC；S BGA：S BGCS AGF： S GFCAF：FC；S AGC：S BCGS ADG： S DGBAD：DB；差不变原理知 5-2=3,就圆点比方点多 3；隐含条件的等价代换例如弦图中长短边长的关系；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 组合图形的摸索方法 化整为零 先补后去 正反结合2立体图形规章

9、立体图形的表面积和体积公式不规章立体图形的表面积整体观照法体积的等积变形水中浸放物体：V升水=V物水测啤酒瓶容积：V=V空气+V三视图与绽开图最短线路与绽开图外形问题染色问题四、几面染色的块数与“ 芯”、棱长、顶点、面数的关系；典型应用题1植树问题开放型与封闭型间隔与株数的关系2方阵问题外层边长数 -2=内层边长数（外层边长数 -1） 4=外周长数外层边长数2-中空边长数2=实面积数3列车过桥问题车长 +桥长 =速度 时间车长 甲+车长 乙=速度和 相遇时间车长 甲+车长 乙=速度差 追准时间列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题车长 =速度和 相遇时间车长 =速度差 追准时间4年

10、龄问题差不变原理5鸡兔同笼假设法的解题思想6牛吃草问题原有草量 =（牛吃速度 -草长速度） 时间7平均数问题8盈亏问题分析差量关系名师归纳总结 9和差问题第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10和倍问题11差倍问题12逆推问题仍原法,从结果入手13代换问题列表消元法等价条件代换五、行程问题1相遇问题路程和 =速度和 相遇时间2追及问题路程差 =速度差 追准时间3流水行船顺水速度 =船速 +水速逆水速度 =船速 -水速船速 =（顺水速度 +逆水速度）2 水速 =（顺水速度 -逆水速度）2 4多次相遇线型路程：甲乙共行全程数 =相遇次

11、数2-1 环型路程：甲乙共行全程数 =相遇次数其中甲共行路程 =单在单个全程所行路程 共行全程数5环形跑道6行程问题中正反比例关系的应用路程肯定,速度和时间成反比；速度肯定,路程和时间成正比；时间肯定,路程和速度成正比；7钟面上的追及问题； 时针和分针成直线； 时针和分针成直角；8结合分数、工程、和差问题的一些类型；9行程问题经常运用“ 时间倒流” 和“ 假定看成” 的摸索方法；六、计数问题1加法原理：分类枚举2乘法原理：排列组合3容斥原理： 总数量 =A+B+C-AB+AC+BC+ABC 常用：总数量 =A+B-AB 4抽屉原理：至多至少问题名师归纳总结 5握手问题第 6 页,共 10 页-

12、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在图形计数中应用广泛 角、线段、三角形, 长方形、梯形、平行四边形 正方形七、分数问题1量率对应1”2以不变量为“3利润问题4浓度问题倒三角原理例：5工程问题 合作问题 水池进出水问题6按比例安排八、方程解题1等量关系甲 乙 =3 相关联量的表示法例：甲 + 乙=100 x 100-x 3x x 解方程技巧恒等变形2二元一次方程组的求解代入法、消元法3不定方程的分析求解以系数大者为试值角度4不等方程的分析求解九、找规律周期性问题 年月日、星期几问题 余数的应用数列问题名师归纳总结 等差数列第 7 页,共 10 页- -

13、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 通项公式 an=a1+n-1d 求项数：求和：求和：n=a nda 11S=a 1a n n2等比数列S=a qn11q裴波那契数列策略问题 抢报 30 放硬币最值问题 最短线路a.一个字符阵组的分线读法b.在格子路线上的最短走法数 最优化问题a.统筹方法b.烙饼问题十、算式谜1填充型2替代型3填运算符号4横式变竖式5结合数论学问点十一、数阵问题1相等和值问题2数列分组知行列数,求某数知某数,求行列数3幻方奇阶幻方问题：杨辉法 罗伯法偶阶幻方问题：双偶阶：对称交换法单偶阶：同心方阵法十二、二进制名师归纳总结 - - - - -

14、 - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1二进制计数法 二进制位值原就 二进制数与十进制数的相互转化 二进制的运算2其它进制（十六进制）十三、一笔画1一笔画定理：一笔画图形中只能有 0 个或两个奇点；两个奇点进必需从一个奇点进,另一个奇点出；23笔画数 =十四、哈密尔顿圈与哈密尔顿链 多笔画定理奇点数 2规律推理1等价条件的转换2列表法3对阵图竞赛问题,涉及体育竞赛常识十五、火柴棒问题1移动火柴棒转变图形个数2移动火柴棒转变算式,使之成立十六、智力问题1突破思维定势2某些特别情境问题十七、解题方法（结合杂题的处理）名师归纳总结 1代换法第 9 页,共 10 页2消元法3倒推法4假设法5反证法6极值法7设数法- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8整体法9画图法10列表法11排除法12染色法13构造法14配对法15列方程方程不定方程不等方程另外补充说明：在华校课本六年级中有“ 棋盘上的数学” 三讲,其实是找规律类型,学问点涉及棋盘格,几何,数论等,属于综合性问题名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页