2022年小学数学思想方法的梳理思想.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本学校数学思想方法的梳理（二）课程教材讨论所 王永春二、化归思想1. 化归思想的概念；人们在面对数学问题,假如直接应用已有学问不能或不易解决该问题时,往往将需要解决的问题不断转化形式,把它归结为能够解决或比较简洁解决的问题,最终使原问题得到解决,把这种思想方法称为化归（转化）思想；从学校到中学,数学学问出现一个由易到难、从简到繁的过程；然而,人们在学习数学、懂得和把握数学的过程中, 却常常通过把生疏的学问转化为熟识的学问、把繁难的学问转化为简洁的学问,从而逐步学会解决各种复杂的数学问题；因此,化归既是一般化的数学思想

2、方法,具有普遍的意义；同时,化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一,具有重要的意义和作用；2. 化归所遵循的原就；化归思想的实质就是在已有的简洁的、详细的、基本的学问的基础上,把未知化为已知、 把复杂化为简洁、把一般化为特殊、把抽象化为详细、把特别规化为常规,从而解决各种问题；因此,应用化归思想时要遵循以下几个基本原就：（1）数学化原就,即把生活中的问题转化为数学问题,建立数学模型,从而应用数学学问找到解决问题的方法；数学来源于生活,应用于生活；学习数学的目的之一就是要利用数学学问解决生活中的各种问题,课程标准特殊强调的目标之一就是培育实践才能；因此,数学化原就是一般化的普遍的原就之一；（2）

3、熟识化原就,即把生疏的问题转化为熟识的问题；人们学习数学的过程,就是一个不断面对新学问的过程；解决疑难问题的过程,也是一个面对生疏问题的过程；从某种程度上说,这种转化过程对同学来说既是一个探究的过程,又是一个创新的过程；与课程标准提倡培育同学的探究才能和创新精神是一样的；因此,学会把生疏的问题转化为熟识的问题,是一个比较重要的原就；（3）简洁化原就, 即把复杂的问题转化为简洁的问题；对解决问题者而言,复杂的问题未必都不会解决,但解决的过程可能比较复杂；因此,把复杂的问题转化为简洁的问题,寻求一些技巧和捷径,也不失为一种上策；（4）直观化原就,即把抽象的问题转化为详细的问题；数学的特点之一便是它

4、具有抽象性；有些抽象的问题,直接分析解决难度较大,需要把它转化为详细的问题,或者借助直观手段,比较简洁分析解决；因而,直观化是中学校生常常应用的方法,也是重要的原就之一；3. 化归思想的详细应用；同学面对的各种数学问题,可以简洁地分为两类：一类是直接应用已有学问便可顺当解答的问题；另一种是生疏的学问、 或者不能直接应用已有学问解答的问题,需要综合地应用已有学问或制造性地解决的问题；如知道一个长方形的长和宽,求它的面积,只要知道长方形面积公式的人,都可以运算出来,这是第一类问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以

5、立学为先,立学以读书为本假如不知道平行四边形的面积公式,通过割补平移变换把平行四边形转化为长方形,推导出它的面积公式,再运算面积, 这是其次类问题； 对于广大中学校生来说,他们在学习数学的过程中所遇到的许多问题都可以归为其次类问题, 并且要不断地把其次类问题转化为第一类问题；解决问题的过程, 从某种意义上来说就是不断地转化求解的过程,因此,化归思想应用特别广泛；化归思想在学校数学中的应用如下表；学问领域学问点应用举例数与代数数的意义整数的意义：用实物操作和直观图帮忙懂得小数的意义：用直观图帮忙懂得分数的意义：用直观图帮忙懂得负数的意义：用数轴等直观图帮忙懂得四就运算的意义 乘法的意义：如干个相

6、同加数相加的一种简便算法；除法的意义：乘法的逆运算；四就运算的法就 整数加减法：用实物操作和直观图帮忙懂得算法；小数加减法： 小数点对齐, 然后根据整数的方法进行计算；小数乘法： 先根据整数乘法的方法进行运算,再点小数点；小数除法： 把除数转化为整数, 基本根据整数除法的方法进行运算,需要留意被除数小数点与商的小数点对齐；分数加减法：异分母分数加减法转化为同分母分数加减法；分数除法：转化为分数乘法；四就运算各部分 a + b = c, c a = b 间的关系 ab=c, a=c b简便运算 利用运算定律进行简便运算方程 解方程：解方程的过程, 实际就是不断把方程转化为未知数前边的系数是 1

7、的过程（ x=a）；解决问题的策略 化繁为简：植树问题、鸡兔同笼问题等；化抽象为直观： 用线段图、 图表、图像等直观表示数量之间的关系、帮忙推理；化实际问题为数学问题：化一般问题为特殊问题：化未知问题为已知问题：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本空 间 与 图三角形内角和通过操作把三个内角转化为平角形多边形的内角和 转化为三角形求内角和面积公式 正方形的面积：转化为长方形求面积平行四边形面积：转化为长方形求面积三角形的面积：转化为平行四边形求面积梯形的面积：转化为平行四边形求面积圆的面积

8、：转化为长方形求面积组合图形的面积：转化为求基本图形的面积体积公式 正方体的体积：转化为长方体求体积圆柱的体积：转化为长方体求体积圆锥体积：转化为圆柱求体积统 计 与 概统计图和统计表运用不同的统计图表描述各种数据率可能性 运用不同的方式表示可能性的大小4解决问题中的化归策略；（1）化抽象问题为直观问题；数学的特点之一是它具有很强的抽象性,这是每个想学好数学的人必需面对的问题；从学校到中学, 再到高中, 数学问题的抽象性不断加强,同学的抽象思维才能在不断接受挑战；假如能把比较抽象的问题转化为操作或直观的问题, 那么不但使得问题简洁解决,经过不断的抽象直观抽象的训练,同学的抽象思维才能也会逐步提

9、高；下面举例说明；案例：1214181 161分析：此问题通过观看,可以发觉一个规律：每一项都是它前一项的；但是对于学校和中学的同学来 2说,仍没有学习等比数列求和公式；假如把一条线段看作1, 先取它的一半表示,再取余下的一半的一半表 1, 这样利用直观手段解决了高示1 1,这样不断地取下去,最终相当于取了整条线段；因此,上式的结果等于 2 4中生才能解决的问题；（2）化繁为简的策略；有些数学问题比较复杂,直接解答过程会比较繁琐,假如在结构和数量关系相像的情形下,从更加简洁的问题入手,找到解决问题的方法或建立模型,并进行适当检验,假如能够证明这种方法或模型是正确的,那么该问题一般来说便得到解决

10、；下面举例加以说明；案例：把186 拆分成两个自然数的和,怎样拆分才能使拆分后的两个自然数的乘积最大？187 呢？分析：此题中的数比较大,假如用枚举法一个一个地推测验证,比较繁琐；假如从比较小的数开头枚举,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本利用不完全归纳法,看看能否找到解决方法；如从10 开头, 10 可以分成： 1 和 9, 2 和 8, 3 和 7, 4 和 6, 5 和 5；它们的积分别是：9, 16, 21, 24, 25；可以初步认为拆分成相等的两个数的乘积最大,假如不确定,仍

11、可以再举一个例子,如 12 可以分成： 1 和 11, 2 和 10, 3 和 9, 4 和 8, 5 和 7, 6 和 6, 它们的积分别是： 11, 20, 27, 32, 35, 36；由此可以推断：把186 拆分成 93 和 93, 93 和 93 的乘积最大,乘积为8649；适当地加以检验,如92 和 94 的乘积为 8648, 90 和 96 的乘积为 8640, 都比 8649 小；由于 187 是奇数, 无法拆分成相等的两个数,只能拆分成相差 例验证；1 的两个数,这时它们的乘积最大；不再举案例 2：你能快速口算 85 85, 95 95, 105 105吗？分析：认真观看可以

12、看出,此类题有些共同特点,每个算式中的两个因数相等,并且个位数都是 5；假如不知道个位数是 5 的相等的两个数的乘积的规律,直接快速口算是有难度的；那么,此类题有什么技巧呢？不妨从简洁的数开头探究,如 15 15225,25 25625,35 35 1225；通过这几个算式的因数与相应的积的特点, 可以初步发觉规律是：个位数是 5 的相等的两个数的乘积分为左右两部分：左边为因数中 5 以外的数字乘比它大 1 的数,右边为 25（ 5 乘 5 的积）；所以 85 85 7225,95 959025,105 10511025,实际验证也是如此；许多同学面对一些数学问题,可能知道怎么解答,但是只要想

13、起解答过程特别繁琐,就会产生退缩心情,或者在繁琐的解答过程中显现失误,这是比较普遍的情形；因此,学会化繁为简的解题策略,对于提高解决繁难问题的才能大有帮忙；（3）化实际问题为特殊的数学问题；数学来源于生活, 应用于生活； 与学校数学有关的生活中的实际问题,多数可以用常规的学校数学学问解决；但有些生活中的实际问题表面上看是一些常用的数量,好像能用常规的数学模型解决问题；但真正深化分析数量关系时,可能由于条件不全面而无法建立模型；这时,就需要超越常规思维模式,从另外的角度进行分析,找到解决问题的方法；下面举例说明；案例 1：某旅行团队翻越一座山；上午9 时上山,每小时行3 千米,到达山顶时休息1

14、小时；下山时,每小时行 4 千米,下午 4 时到达山底；全程共行了20 千米；上山和下山的路程各是多少千米？分析： 由于只知道上山和下山的速度,不知道上山和下山的详细时间,因此无法直接求出上山和下山的路程,但是知道总路程； 认真观看可以发觉：题中给出了两个未知数量的总和以及与这两个数量有关的一些特定的数量,假如用假设的方法,那么就类似于鸡兔同笼问题；假设都是上山,那么总路程是 18（6 3）千米,比实际路程少算了 2 千米,所以下山时间是 2 2 （ 43） 小时,上山时间是 4 小时；上山和下山的路程分别是 12 千米和 8 千米；案例 2：李阿姨买了 2 千克苹果和 3 千克香蕉用了 11

15、 元,王阿姨买了同样价格的 1 千克苹果和 2 千克香蕉,用了 6.5 元；每千克苹果和香蕉各多少钱 . 分析：此题初看是关于单价、总价和数量的问题, 但是,由于题中没有告知苹果和香蕉各自的总价是多少,无法直接运算各自的单价；认真观看,可以发觉：题中分两次给出了不同数量的苹果和香蕉的总价,虽然题中有苹果和香蕉各自的单价这两个未知数,但这二者没有直接的关系,假如用方程解决, 也超出了一元一次方程名师归纳总结 第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本的范畴； 那么这样的问题在学校的学问范畴内如何解决呢？利用二元

16、一次方程组加减消元的思想,可以解决这类问题；详细来说就是把两组数量中的一个数量化成相等的关系,再相减,得到一个一元一次方程；不必列式推导,直接分析便可：1 千克苹果和 2 千克香蕉 6.5 元,那么可得出 2 千克苹果和 4 千克香蕉 13 元；题中已知 2 千克苹果和 3 千克香蕉 11 元；用 13 减去 11 得 2,所以香蕉的单价是每千克 2 元；再通过运算得苹果的单价是每千克 2.5 元；（4）化未知问题为已知问题；对于同学而言, 学习的过程是一个不断面对新学问的过程,有些新学问通过某些载体直接出现,如面积和面积单位, 通过一些物体或图形直接引入概念；而有些新学问可以利用已有学问通过

17、探究,把新学问转化为旧学问进行学习；如平行四边形面积公式的学习,通过割补平移,把平行四边形转化为长方形求面积；这种化未知为已知的策略,在数学学习中特别常见；下面举例说明；案例：水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2 倍多 30 千克,这两种水果一共销售了180 千克；销售香蕉多少千克？分析：同学在学习列方程解决问题时学习了最基本的有关两个数量的一种模型：已知两个数量的倍数关系以及这两个数量的和或差,求这两个数量分别是多少；题中的苹果和香蕉的关系,不是简洁的倍数关系；而是在倍数的基础上增加了一个条件,即苹果比香蕉的 2 倍仍多 30 千克；假如把 180 减去 30 得 150,那么题目可以转化为：

18、假如水果商店昨天销售的苹果是香蕉的 2 倍,那么这两种水果一共销售了 150 千克； 销售香蕉多少千克？这时就可以列方程解决了,设未知数时要留意设谁为x,题目求的是哪个量；这个案例能给我们什么启示呢？老师在教学中要让同学学习什么？同学既要学习学问,又要学习方法； 学生不仅要学会类型套类型的解题模式,更重要的是在懂得和把握最基本的数学模型的基础上,形成迁移类推或举一反三的才能；老师在上面最基本的模型基础上,可以引导同学深化摸索以下几个问题：克？1. 水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2 倍少 30 千克,这两种水果一共销售了180 千克；销售苹果多少千2. 水果商店昨天销售的香蕉比苹果的1 多 30

19、 千克,这两种水果一共销售了 2180 千克；销售苹果多少千克？克？3. 水果商店昨天销售的香蕉比苹果的少 30 千克,这两种水果一共销售了 12120 千克；销售苹果多少千4. 水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2 倍,销售的梨是香蕉的3 倍；这三种水果一共销售了180 千克；销售香蕉多少千克？5. 水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2 倍,销售的梨是苹果的2 倍；这三种水果一共销售了210 千克；销售香蕉多少千克？从以上几个题目的步数来说,可能已经超越了教材基本的难度标准；但笔者近年来始终有一个理念：“ 高标准教学, 标准化考试” 老师们可以在课堂上大胆探究,这样的问题经过引导和启示,同学究竟能否

20、解决？学生是否能在数学思想方法和数学思维才能上得到更好的进展？是否贯彻了课程标准提倡的不同的人在数学上得到不同的进展的理念？名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本（5）化一般问题为特殊问题；数学中的规律一般具有普遍性,但是对于学校生而言,普遍的规律往往比较抽象,较难懂得和应用；假如举一些特殊的例子运用不完全归纳法加以推测验证,也是可行的解决问题的策略；下面举例说明；案例：任意一个大于 4 的自然数,拆成两个自然数之和,怎样拆分才能使这两个自然数的乘积最大？分析：此问题假如运用一般的方法进行推

21、理,可以设这个大于 4 的自然数为 N；假如 N 为偶数,可设 N2K（K 为任意大于 2 的自然数）；那么 NKK（ K1）（ K 1）（ K2）（ K 2） ,由于 K2K2 1K2 4 ,所以 K K（K1） （ K 1）（K2） （ K2） ,所以把这个偶数拆分成两个相等的数的和,它们的积最大；假如 N 为奇数,可设 N2K 1（K 为任意大于 1 的自然数）；那么 NK（K1）（K 1）（K2）（ K2）（ K 3） ,由于 K2 KK2K2K2K6 ,所以 K （ K1）（K 1） （ K2）（K2） （ K3） ,所以把这个奇数拆分成两个相差1 的数的和,它们的积最大；认真观看问题可以发觉,题中的自然数只要大于 4, 便存在一种普遍的规律；因此,取几个详细的特殊的 数,也应当存在这样的规律；这时就可以把一般问题转化为特殊问题,仅举几个有代表性的比较小的数（只要大于 4）进行枚举归纳,如 10,11 等,就可以解决问题,详细案例见前文；化归思想作为最重要的数学思想之一,在学习数学和解决数学问题的过程中无所不在,对于同学而言, 要学会善于运用化归的思想方法解决各种复杂的问题,最终达到在数学的世界里举重如轻的境域；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页