2022年高考数学复习专题函数的性质及应用.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 江苏省 2022 届高考数学复习专题2 函数的性质及应用高考中考查函数性质的形式不一,时而填空题,时而解答题,时而与其他章节综合,在解决问题的某一步骤中显现 .在二轮复习中要留意学问点之间的联系,同时仍要留意结合函数图象解决问题 .,此外,函数的对称性、周期性常与函数的奇偶性、单调性综合起来考查；函数的零点问题是近年来新增的一个考点,也要引起足够的重视 . 1已知函数 Fxf x1 21 是 R 上的奇函数, anf0 f 1 n f 2 n f n1f1nN *,就数列 an的通项 an_. 解析：由题意知 Fx Fx,即 fx1 21 f

2、x1 21,f x 1 2f x1 22. 令 tx1 2,就 ftf1t2. 分别令 t0,1 n,2 n, , n1,n n,得f0f1f nf n1 2. anf0 f 1 nf 2 n f n 1f1,由倒序相加法得 2an2n1,故 ann1. 答案： n1 22022 徐州期末 设函数 fxx|x|bxc,给出以下四个命题当 c0, yfx是奇函数；当 b0, c0 时,方程 fx0 只有一个实数根；yfx的图象关于点 0,c对称；方程 fx0 至多有两个实数根其中命题正确选项 _解析： 当 c0 时 fx x|x|bx fx,正确；当b0,ca 的解集为 M,且 2.M,就 a

3、的取值范畴是 4,；定义域为 R 的函数 fx满意 fx1 fx 1,就 fx是周期函数；已知 fx满意对 xR 都有 f 1 2 x f 1 2x 2 成立,就 f 1 8f 2 8 f 7 8 7. 其中正确结论的序号是 _把你认为正确命题的序号都填上 解析： 由|k| 3 x 3xlog3|k|k 0知正确；由 2.M 得 2a12 a,即 a1 4,故不正确；由 fx 11 f x得 fx2 fx,故正确；由2 且 f 1 21,故 f 1 8f 2 8 f 7 87 正确答案： f 1 2x f 1 2x 2 得 fxf1x5给出定义：如m1 2c. 称 fx为“ 平底型” 函数判定

4、 f1x|x1|x2|,f2xx|x 2|是否是“ 平底型” 函数？简要说明理由解： f1x|x1|x2|是“ 平底型” 函数,存在区间 1,2 使得 x 1,2 时, fx1,当 x2 时, fx1 恒成立；f2xx|x2|不是“ 平底型” 函数,不存在 a,b. R 使得任取 xa,b,都有 fx常数典例 2名师归纳总结 2022 南京一模 对于函数fx,如存在实数对a,b,使得等式fax faxb 对定第 4 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 义域中的每一个x 都成立,就称函数fx是“a,b型函数” 1判定函数 fx 4 x 是否

5、为“a,b型函数” ,并说明理由；2已知函数 gx是“1,4型函数” , 当 x0,2 时,都有 1gx3 成立,且当 x0,1 时, gx x 2 mx 1 1m0,试求 m 的取值范畴解1函数 fx4 x 是“a,b型函数” ,由于由 fax faxb,得 16 ab,所以存在这样的实数对,如 a1,b16. 2由题意得, g1x g1x4,所以当 x1,2 时, gx4,其中 2x0,1 g 2x而 x0,1 时, gxx 2m1x1x 2mxm10,且其对称轴方程为 xm 2. 当m 2 1,即 m2 时, gx在0,1 上的值域为 g1,g0 ,即 2,m1 就 gx在0,2 4 4

6、 上的值域为 2,m1m1,2 m1,m1 ,m1 3,由题意得4 m1 1,此时无解；2,即 m1m 4,m1 ,当1 2 m 21,即 1m2 时, gx的值域为gm 2,g 0所以 gx在0,2 上的值域为2 m 1m 4,m 1 4,42 m,m1m14由题意得42 m3,且m 12 m 4 1,m1441,m1m13,解得 1m2；名师归纳总结 当 0m 21 2,即 0 m 1 时, gx的值域为gm 2,g 1,即 m12 m 4,2 ,就 gx第 5 页,共 16 页在0,2 上的值域为2 m1m 4,2 2,4 2 m1m 4m12 m 4,4 2 m1m 4,- - - -

7、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就2 m1m 41,解得 22 6 3m1. 4 m12 m43,综上所述,所求 m 的取值范畴是 223,2 . 6此题主要考查函数的综合性质,分类争论思想,第一问比较简单,好入手, 其次问转化有点困难, 应先把函数在 1,2 上的解析式求出来,然后求值域并转化为子集关系解题求值域实质就是二次函数中轴动区间定的类型,并且同时争论两个二次函数,要进行比较演练 22022 金陵中学期末 已知函数fx的图象在 a,b上连续不断,定义：f1xmin ft|atx xa,b,f2xmax ft|a tx x a,b 其中,min fx|x

8、D 表示函数 fx在区间上的最小值,max fx|xD 表示函数 fx在区间上的最大值如存在最小正整数 k,使得 f2xf1xkxa对任意的 xa,b成立,就称函数为区间 a,b上的“k 阶收缩函数” 1如 fxcos x, x0, ,试写出 f 1x,f2x的表达式；2已知函数 fxx 2,x1,4,试判定 fx是否为 1,4上的“k 阶收缩函数” ,如果是,求出相应的 k；假如不是,请说明理由；3已知 b0,函数 fx x 33x 2 是0,b上的 2 阶收缩函数,求 b 的取值范畴解： 1f1xcos x,x0, ,f2x1, x0, x 2,x1,0 ,2f1x0,x0,4,1,x 1

9、,1 ,f2xx 2,x1,4,1x 2,x 1,0 ,f2xf1x1,x0,1 ,x 2,x1,4.当 x1,0时, 1x 2kx 1,k1x,即 k2；名师归纳总结 当 x0,1时, 1kx1, k1 x1,即 k1；第 6 页,共 16 页当 x1,4 时, x2 2kx1, k x x1,即 k16 5 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综上,存在 k4,使得 fx是1,4上的 4 阶收缩函数3fx 3x 26x 3xx2,在 0,2上 fx0, fx递增,在 2, 上 fx0,fx递减当 0x0成立即存在 x0 ,b,使得 xx 23x1

10、0 成立即 x0 或325 x325. 综上3253 时, fx在0,2 上递增,在 2,b上递减,f2xf2 4,f1x fb4, x0x. 当 x0 时, f2xf1x2x0也不成立综上325b1. 典例 32022 栟茶模拟 已知函数 fxaxx2xln aa0,a 11当 a1 时,求证：函数fx在 0, 上单调递增；2如函数 y|fxt|1 有三个零点,求 t 的值；3如存在 x1,x21,1,使得 |fx1fx2|e1,试求 a 的取值范畴解1证明： fxaxln a2xln a2x a x1 ln a,由于 a1,故当 x0, 时, ln a0, a x 10,名师归纳总结 所以

11、 fx0. 第 7 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故函数 fx在0, 上单调递增2当 a0,a 1 时,由于 f00,且 fx在 R 上单调递增,故 fx0 有惟一解 x0. 所以 x,fx,fx的变化情形如下表所示：x , 0 0 0, fx0fx 递减 微小值 递增又函数 y|fxt| 1 有三个零点,所以方程fxt1 有三个根,而 t1t1,所以 t1fx minf01,解得 t2. 3由于存在 x1,x21,1,使得 |fx1fx 2|e1,所以当 x1,1时,|fxmax fxmin|fxmaxfxmine1. 由2知,

12、fx在 1,0上递减,在 0,1 上递增,所以当 x 1,1时, fxmin f01,fxmax max f1,f1 而 f1 f1a1 ln a1 a1ln a a1 a 2ln a,记 gtt1 t2ln tt0,由于 gt11 t 22 t 1 t 1 20当且仅当 t 1 时取等号 ,所以 gtt1 t2ln t 在 t0, 上单调递增,而 g1 0,所以当 t1 时, gt0；当 0t1 时, gt1 时, f1f1；当 0a1 时, f11 时,由 f1f0 e1 . aln ae1. ae,当 0a01求 gx的表达式；2如. x0 使 fx0 成立,求实数 m 的取值范畴；3设

13、 1me,Hxfxm1x,证明：对 . x1,x21, m,恒有 |Hx1Hx2|0当 m0 时,由对数函数性质,fx的值域为 R；2 当 m0 时, fxx 2 0 对. x0,fx0 恒成立；当 m0.m 2m ln m0,. em0. m0,fx0 恒成立,就实数 故. x0,使 fx0 成立,m 的取值范畴是 e,0实数 m 的取值范畴 , e0, 3证明：由于对 . x 1,m,Hxx 1 x m0,所以Hx在1,m内单调递x减于是 |Hx1Hx2| H1Hm12m 2m ln m1 2. |Hx1Hx2|1. 12m 2m ln m1 21 . 1 2mln m2m0,所以函数 h

14、m1 2mln m3 2m在1,e上是单调增函数所以 hmhee 21 3 2e e3 e1 0,故命题成立专题技法归纳 1对复杂函数的对称性应留意利用最根本的定义解决,奇偶性只是对称性中最特别的 一种2对于形如： . x1,x21,m,恒有 |Hx1Hx2|1 的问题,要留意转化成最值问题处理 同时在利用导数的正负探究函数的单调性时,为判定导函数的正负,有时仍需要设计成争论导函数的最值问题1定义域为R 的函数 fx|lg|x2|,x 2,就关于 x 的方程 f2xbfxc0 有 51,x 2,个不同的实数根 x1,x2,x3,x4,x5,求 fx1x2x3x4x5_. 解析： 作出函数 fx

15、的图象可以得到 x1x2x3x4x59.f9|lg 7|lg 7. 答案： lg 7 2如函数 fx满意： fx3 f5x且方程 fx0 恰有 5 个不同实根,求这些实根之 和为 _解析： 由题意可得到图象关于x4 对称,所以和为20. 答案： 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3已知函数fx x 3bx2cx d 在区间 1,2 上是减函数,就b c 的最大值是_解析： 由题意 fx 3x 22bxc 在区间 1,2上满意 fx0 恒成立,f1 0,2bc 30,2bc 30,就 即 此问题相当于在约束条

16、件 下f2 0,4bc 120,4bc 120,求目标函数 zbc 的最大值作出可行域 图略 ,由图可知,当直线 l：bc z 过 2bc30 与 4bc120 的交点 M 3 2, 6 时, z 最大, zmax 3 26 15 2 . 答案： 1524某同学在争论函数fxx 1|x|xR时,分别给出下面几个结论：等式 fxfx0 在 xR 时恒成立；函数 fx的值域为 1,1；如 x1 x2,就肯定有 fx1 fx2；函数 gxfxx 在 R 上有三个零点其中正确结论的序号有 解析： 明显正确；由上是增函数,故正确；由_请将你认为正确的结论的序号都填上 |fx|x| 1|x|1|x| 1|

17、x|1 知正确；可以证明fx在, fxx0 得x x,此方程只有一根1|x|x0,故不正确答案： 5如关于 x 的方程 x 2 2|xt|至少有一个负数解,就实数t 的取值范畴是 _解析： 方程等价于 |x t|2x 2,结合 y|xt|与 y2 x 2 图象,如图,找出两边临界值,可得94t 2. 答案：9,246已知函数 fx2x,x2,如关于 x 的方程 fxk 有两个不同的实根,就x 1 3,x2,实数 k 的取值范畴是 _解析： fx2 xx2单调递减且值域为 0,1 ,fxx1 3xb,b关于 x 的方程为 fxmmR恰有三个互不相等的实数根 是_解析： 由定义运算 “* ”可知

18、fx2x1 2 2x1 x1 ,2x1x 1,x1 2 2x1 x1 ,2x 1x1,x1,x2,x3,就 x1x2x3 的取值范畴2 x14 21 8,x0,画出该函数图象可知满意条件的取值范畴是 13,0 . x1 2 214,x0,16答案：13,0168定义在 R 上的函数 fx满意 fx 6fx当 3x1 时, fx x2 2,当1x3 时, fxx.就 f1f2 f3 f2 012 _. 解析： 由 fx6fx,可知函数的周期为6,所以 f3f3 1,f 2f4 0,f1f5 1,f0 f60,f1 1,f22,所以在一个周期内有 f1f2 f6121 0101,所以 f1f2 f

19、2 012 f1 f2335 13353 338. 答案： 338 92022 南师附中 设 fx是定义在R 上的奇函数,且当xbc,且 f1 0,是否存在mR,使得 fm a 成立时, fm3为正数？如存在,证明你的结论；如不存在,说明理由；2如对 x1,x2R,且 x1bc,所以 a0 且 c0 且 c0,c a0bc,b ac, 2c a1 2. 假设存在这样的 m,由题意,就 c c a ma m1 a0,am231. m3cfx在1, 单调递增,fm3f10,即存在这样的 m 使 fm30. 2令 gxfx1 2fx1fx2,就 gx是二次函数gx1 gx2 名师归纳总结 - - -

20、 - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - f x1 f x1 f x2f x2 f x1 f x2221 4 fx1fx2 20,又 fx1 fx2,gx1 gx20,gx0 有两个不等实根,且方程 gx0 的根必有一个属于 x1,x23由 f00 得 c0, fxax 2bx. 由 fxx,得方程 ax 2b1x0,解得 x10,x21b,a又由 ffxx 得 afx 2bfxx. afxxx2 bfxxxx. afxx22axfxxax2bfxxbxx0. fxx afxax2axb10,即fxx a2x2ab1xb10. * fxx0 或 a2x2ab1xb10.由题意 * 式的解为 0 或1b a或无解,当* 式的解为 0 时,可解得b 1,经检验符合题意；当* 式的解为1b a时,可解得b3,经检验符合题意；当* 式无解时, a 2b1 24a 2b10,即 a 2b1b30, 1b3. 综上可知,当1b3 时满意题意12已知函数 f1xe |x2a1|, f2x e |xa|1,x R, 1a6. 1如 a2,求 fxf1xf2x在2,3 上的最小值；2如|f 1xf2x|f2xf1x对于任意的实数 x 恒成立,求 a 的取值范畴；3求函数 gx