2022年高考数学平面向量知识点及相关题型.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点平面对量1、向量 ：既有大小,又有方向的量； 向量不能比较大小, 只可以判定是否相等,向量的模可以比较大小；数量：只有大小,没有方向的量； 数量可以比较大小, 也可以判定是否相等；2、有向线段的三要素 ：起点、方向、长度起点的挑选是任意的,对于模相等 且方向相同的两个向量,无论他们的起点在哪里,都认为这两个向量相等；零向量 ：长度为 0 的向量单位向量 ：长度等于 1个单位的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量 ：长度相等且方向相同的向量3、向量既有代数特点又有几何特点,可以起到数

2、形结合的作用；4、向量加法运算 ：三角形法就的特点：首尾相连平行四边形法就的特点：共起点三角b形不等式：abaab 运算性质：交换律： abba ；aaCCbC结合律：abcabc ；a00aa 坐标运算（坐标加减） ：设ax y 1,bx 2,y 2,就abx 1x 2,y 1y 25、向量减法运算 ：三角形法就的特点：共起点,连终点,方向指向被减向量b坐标运算：设ax y 1,bx 2,y 2,就a bx x y y 1 2 1 ,2设、两 点 的 坐 标 分 别 为x y 1,x 2,y 2, 就x 1x , 2y 1y6、向量数乘运算 ：名师归纳总结 实数与向量 a的积是一个向量的运算

3、叫做向量的数乘,记作a 第 1 页,共 7 页aa ；当0 时,a 的方向与 a 的方向相同；当0时,a 的方向与 a 的方向相反；当0时,a0运算律：aa ；aaa ；abab - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 坐标运算：设ax y ,就学习必备精品学问点x ,y ax y【向量相等,坐标相同；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细位置无关,只与其相对位置有关】7、向量共线定理：向量 a a 0 与 b 共线,当且仅当有唯独一个实数,使b a （a / / 设 a x y 1,b x 2 , y 2,其中 b 0,就当且仅当 x y 2

4、x y 1 0 时,向量 a 、b b 0 共线 练习 设 a,b 是两个不共线的向量,AB 2 a pb BC a b CD a 2 b,如A,B,D 三点共线,就实数 p 的值是对于 OA OB OC , 均为实数 ,如 A,B,C 三点共线,就 + =1,反之仍然成立； 练习 如下列图,在 ABC中,点 O是 BC的中点,过点 O的直线分别交直线 AB,AC于不同的两点 M,N,如 AB mAM , AC nAN , 就 m+n的值为8、平面对量基本定理 ：假如 1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1、2,使a1e 12e （不共

5、线的向量1e 、e 作为这一平面内全部向量的一组基底） 练习 在以下向量组中,可以把向量a=（3,2 ）表示出来的是A,e1=（0,0 ）,e2=（1,2 ）B, e1=（-1,2 ）,e2=（5,-2 ）C, e1=（3,5 ）,e2=（6,10 ）D,e1=（2,-3 ）,e2=（-2,3 ）【解题】用已知向量表示另外一些向量,除了利用向量加减法和数乘运算外,仍充分 利用平面几何的一些定理；在求向量时要尽可能的转化到平行四边形或三角形中；常要用到相像三角形对应边成比例,三角形中位线等平面几何的性质； 练习 名师归纳总结 1、在ABC中,点 M,N 满意AM2MC BNNC,如MNxABy

6、AC, 就 x= ,第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点y= 2、如图,已知平面内有三个向量 OA OB OC , 其中 OA OB 的夹角为 120 度,OA OC 的夹角为 30 度,且 OA = OB 1,OC 2 3, 如 OC OA OB , R ,就 的值为9、分点坐标公式 ：设点 是线段 1 2上的一点,1、2的坐标分别是 x y 1,x 2,y 2, 当12时 , 点的 坐 标 是x 1x 2,y 1y 2（ 当111 时,就为中点公式；）10、平面对量的数量积： a b a b cos a 0,

7、 b 0,0 180零向量与任一向量的数量积为 0 a b 的几何意义： a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积 练习 已知点 A-1 ,1,B1,2,C-2,-1,D3,4, 就向量 AB 在 CD 方向上的投影为性质 ：设 a 和 b 都是非零向量名师归纳总结 aba b0第 3 页,共 7 页当 a 与 b 同向时, a ba b ；当 a 与 b 反向时, a ba b ；a aa2a2或 aa a a ba b 两向量夹角的范畴为0,求夹角时肯定要留意两向量夹角的范畴 练习 如非零向量 a,b 满意a2 2b,且ab 3a2 ,就 a 与 b

8、 的夹角为3运算律 ： a bb a ；aba bab ； abca cb c - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 坐标运算 ：设两个非零向量a学习必备精品学问点x 2,y 2,就a bx x 2y y x y 1,b如ax y ,就a2x22 y ,或a2 xb2 y 设ax y 1,bx 2,y 2,就abx x2y y20,x 2,y 2,是 a 与 b 的夹角,就设 a 、 b 都是非 零向量 ,ax y 1cosa b2 x 1x x 2y y 2y2a b2 y 1x2 22 练习 1、平面对量a1,2,b4,2,cmabmR,且 c 与 a

9、 的夹角等于 c 与 b 的夹角,就 m= A,-2 B,-1 C,1 D,2 2、在平行四边形 ABCD中,AD=1,角 BAD=60度,E 为 CD的重点,如AC BE1,就 AB的长为名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点解三角形1、（1）正弦定理 ：在C 中, a、 b 、 c 分别为角、 C 的对边,就有abcC2Rsinsinsin R 为C 的外接圆的半径 （2）正弦定理的变形公式：a2 sin,b2Rsin,c2 sinC ；sin:sin:sinC ； sina, sinb, sin

10、Cc；a b c2R2R2R（3）正弦定理的应用：已知两角和任一边,求另一角和其他两条边 练习 在 ABC中,A60 , B75 , a10,就 c 等于 A5 2 B 10 2 C. 10 3 6 D 5 6 已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角【留意】在 ABC中,已知 a,b 和 A,利用正弦定懂得三角形时, 会显现解不确定的情 况,一般可依据三角形中“ 大边对大角,三角形内角和定理” 来取舍,详细情形 如下A 为锐角A为钝 角或直角图形关 系absin Aabsin Abbsin Aaacsinababab式b解的无解一解两解一解一解无解个数3、三角形面积公式 ：SC1bcsi

11、n1absinC12224、余弦定理： 在C 中,有a22c22 bccos推论：cosb2c2a22 bc应用： 已知三边,求各角名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备精品学问点 已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角 练习 在 ABC中,a3,b1,c2,就 A等于 A30 B45 C60 D755、三角形中常用结论 在 ABC中,角 A,B,C 所对的边分别是（1） A+B+C=a,b,c ,常见的结论有（2） 在三角形中,大角对大边,大边对大角；大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在ABC中,A

12、B. ab. sin A sin B. （3） 常用三 角恒 等式 ： sin （ A+B） =sin （ C）； cos （ A+B） =-cos （ C）；tanA+B=-tanC sin（A B cos C ;cos（A B sin C C 2 C 2 练习 1、ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c （1） 如 a,b,c 成等差数列,证明 sinA+sinC=2sinA+C （2） 如 a,b,c 成等比数列,求 cosB 的最小值6、三角形外形的判定,利用正余弦定理把已知条件转化为三角形的三角函数关系或者边边关系再进行下一步求解 练习 1、在 ABC 中,角 A,B,

13、C 所对的边分别为 a,b,c ,如直线 bx+ycosA+cosB=0与 ax+ycosB+cosA=0平行,就 ABC 肯定是（）A, 锐角三角形 B, 等腰三角形 C, 直角三角形 D ,等腰或者直角三角形a b c2、在 ABC中,如 cos Acos Bcos C；就 ABC是 A直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形7、三角形的面积公式的挑选名师归纳总结 （1）已知三角形一边及该边上的高,利用S1ahbc第 6 页,共 7 页2（2）已知三角形的两边及其夹角,利用S1absinC2（3）已知三角形的三边,利用Sp papbpc ,其中 p=a2 练习 1、在 ABC

14、中, a3 2,b23,cos C1 3,就 ABC的面积为 A33 B2 3 C4 3 D.3 , 已 知2 、 在ABC 中 , 角A,B,C所 对 的 边 分 别 为a,b,cab c3,cos2A2 cosB3sinAcosA3 sinBcosB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点（1） 求角 C的大小（2） 如sinA4,求ABC 的面积2A 253、设角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,a=btanA,且 B为钝角（1） 证明AB2（2） 求 sinA+sinC 的取值范畴4、已知 A,B,C为 ABC的三个内角, 其所对的边分别为a,b,c,且 2coscos A0. 1 求角 A 的值；名师归纳总结 2 如 a23,bc4,求 ABC的面积第 7 页,共 7 页- - - - - - -