2022年高中学业水平考试数学知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中学业水平考试 数学学问点总结 老师的话：同学们,学业水平考试快到了！ 如何把数学复习好？老师告知你：回到课本中去！翻开课本,可以重温学习的历程,回忆学习的情节,学问因此被 激活,联想由此而产生；课本是命题的依据,学业水平考试试题难度 不大,大多是在课本的基础上组合加工而成的；因此,离开书本的复 习是无源之水,那么如何运用课本呢？复习不是简洁的重复,你们应 做到以下 6 点：1、在复习每一专题时,必需联系课本中的相应部分；不仅要弄懂课本 供应的学问和方法,仍要弄清定理、公式的推导过程和例题的求解 过程, 揭示例、习题之间的联系及变换 2、在做

2、训练题时,假如遇到障碍,应有查阅课本的习惯,通过课本查明我们在学问和方法上的缺陷,和习题尽可能把问题回来为课本中的例题3、在复习训练的过程中,我们会积存许多解题体会和方法,其中不少 是规律性的东西, 要留意从课本中探寻这些体会、方法和规律的依据 4、留意在复习的各个环节,既要以课本为动身点,又要不断丰富课本 的内涵, 揭示课本内涵与试题之间的联系 5、关于解题的表达方式,应以课本为标准；许多复习资料中关键步骤 的省略、符号的滥用、语言的随便性和图解法的泛化等,都是不行名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 取的,就 通过

3、课原来规范 6、留意通过对课此题目转变设问方式、增加或削减变动因素和必要的 引申、推广来扩大题目的训练功能；现行课本一般是常规解答题,应从挑选、填空、探究等题型功能上进行摸索,来源等方面加以说明必修一 一、集合并从背景、现实、1. 对于集合,肯定要抓住集合的代表元素 ,及元素的“lg确定性、互异性、无序性 ” ；y ylgx,C , | x y yx,A、 、C如：集合Ax ylgx,B中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集 留意借助于数轴和文氏图解集合问题；的特殊情形；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集；3 留意以下性质：n（ ）集合 a 1,a

4、 2, ,an 的全部子集的个数是 2；（ ）如 A B A B A,A B B；4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）5. 一元一次不等式的解法：已知关于 x 的不等式 a b x 2 a 3 b 0 的解集为 , 1 ,就关于 x的不等式 a 3 b x b 2 a 0 的解集为 _3（答： x x 3）6. 一元二次不等式的解集：解关于 x 的不等式：ax 2 a 1 x 1 0；（答：当 a 0 时,x 1；当 a 0 时,x 1 或 x 1a；当 0 a 1 时,1 x 1a；当 a 1 时,x；当 a 1 时,1 x 1）a7. 对于方程 ax 2bx c 0 有实数解

5、的问题 ；（1）a 2 x 22 a 2 x 1 0对一切 x R 恒成立,就 a的取值范畴是 _（答： 1,2 ）；（2）如在 0, 2内有两个不等的实根满意等式 cos2 x 3sin 2 x k 1,就实数 k 的范畴是 _.（答：0,1 ）二、函 数1映射： 留意 第一个集合中的元素必需有象；一对一,或多对名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一；名师归纳总结 2.函数 f : AB 是特殊的映射 ；如函数y1x22x4的定义域、值域第 3 页,共 25 页2都是闭区间2 ,2b ,就 b （答： 2）3.争论

6、函数问题时要树立定义域优先的原就：（1）函数yx4x2的定义域是 _答： 0,22,33,4 ；lgx3（2）设函数f x lgax22x1,如f x 的定义域是 R,求实数 a的取值范畴；如f x 的值域是 R,求实数 a的取值范畴（答：a1； 0a1）（3）复合函数的定义域：如函数yf x 的定义域为1,2,就2flog 2 x 的定义域为 _（答：x|2x4）；如函数2 f x1的定义域为 2,1,就函数f x 的定义域为 _（答： 1,5）4.求函数值域（最值）的方法：（1）配方法 当x02,时,函数fx ax24 a1x3在x2时取得最大值,就 a的取值范畴是 _（答：a1）；2（2

7、）换元法 y2sin2x3cosx1的值域为 _（答： 4,17 8）；y2 x1x1的值域为 _（答： 3, ）（令x1t ,t0；运用换元法时,要特殊要留意新元t 的范畴 ）；3ysinxcosxsinxcosx的值域为 _（答： 1,12）；4yx49x 的值域为 _（答：21,3 24 ）；（3）函数有界性法 求函数y2sin1,yx 3x,y2sin1的1sin1 31cos值域（答：,1 2、（0,1）、, 3 2）；（4）单调性法 求yx1 1 xx9,ysin2x192x的值域为sin_（答：0,80 9、 11,9）；（5） 数形结合法 已知点P x y 在圆x2y21上,求

8、xy2及y2x 的取值范畴（答：3,3、 5,5 ）；33（6）不等式法 设x a a 2,y 成等差数列,x b b 2,y 成等比数列,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 1b 1a22的取值范畴是 _.（答：,04, ）；b 22 x 1 . x 15.分段函数的概念；（1）设函数 f x ,就使得 f x 1 的4 x 1. x 1自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 _（ 答 ： , 2 0 , 1 0）；（ 2 ） 已 知f x 11 x x 0 0,就不等式 x x 2 f x 2 5 的解集是 _（答：, 32）6.求函数解析式的

9、常用方法：（1）待定系数法 已知 f x 为二次函数,且 f x 2 f x 2 ,且 f0=1, 图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 , 求 f x 的解析式；（答：f x 1x 22 x 1）2（2）配凑法 已知 f 1 cos x sin 2 x , 求 f x 2 的解析式 _（答：f x 2 x 42 x 2, x 2, 2）；如 f x 1 x 2 12,就函数 f x 1 =_x x（答：x 22 x 3）；（ 3） 方 程 的 思 想 已 知 f x 2 x 3 x ,求 f x 的 解析 式 （ 答：f x 3 x 2）；37. 函数的奇偶性 函数的定义域关于原点对称是函

10、数具有奇偶性的必要条件；ffxxfx00fffx11；fx是奇函数fxfxfxfx是偶函数fxfxfxx；x奇函数fx在原点有定义,就f00；在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性；（6）如所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判定其奇偶性；8. 函数的单调性 ；如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判定复合函数的单调性？名师归纳总结 yf u （外层）,u x （内层）,就yf 第 4 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当内、外层函数单调性相同时,f x 为增函数,否就f x 为减函

11、数如：求ylog1x 22x 的单调区间；2设ux22x,由u0,就 0x2且log u,ux121,如图2当x0 1, 时, u,又log u, yu 2当x1 2, 时, u,又log u, y2 ）O 1 2 x 9. 函数图象 图象作法：描点法（留意三角函数的五点作图）图象变换法导数法 图象变换： 平移变换：yyfxxyyfxxa,a0左“+” 右“- ” ；ffk,k0上“+” 下“-” ； 伸缩变换：yfxyfx, （0 纵坐标不变,横坐标伸长为原先的1倍；yfxyAfx, （A0横坐标不变,纵坐标伸长为原先的 A倍； 对称变换：yfx 0,0fyf x；yfxy0；yfx；yfx

12、 yxy1 x ；yxx0yf xf 翻转变换：yfxyf|x|右不动,右向左翻（fx在 y 左侧图象去掉）；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - yfxy|fx|上不动,下向上翻（|fx| 在 x 下面无图象）；10常用函数的图象和性质0推广为k0 （1）一次函数：ykxb k0y=b a,b（2）反比例函数：ykkxybxkak0是 中 心O a,b的 双 曲O x=a x y 线；a0 （3）二次函数y2 axbxc a0a xb24 ac2 b的图O k x 1x2x 2 a4 a像为抛物线顶点坐标为aab,4

13、 ac4 a2 b,对称轴xacb2 a2a开口方向：0,向上,函数ymin4b24a0,向下,y max4acb24 a应用： “ 三个二次 ” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系 二次方程 ax 2bx c 0,0 时,两根 x 1、x 2 为二次函数y ax bx c的 图 像 与 x 轴 的 两 个 交 点 , 也 是 二 次 不 等 式 2ax 2bx c 0 0 解集的端点值；求闭区间 m,n上的最值；求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根的分布问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - -

14、 - 如：二次方程ax2bxc0的两根都0大于kbk,一根大于k ,一根小于0ay2 a1axaf k 01kf k 0（4）指数函数：yaxa0,a1（5）对数函数：ylogax a0,a1由图象记性质！（留意底数的限定！）（6）“ 对勾函数”yxkk0kkx利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？必修二 一、 立体几何1平行、垂直关系证明的思路平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线 线线 面b面 面性质线面平行的判定：b判定线线线面面面线 线线面面 面ab,b面,aa 面线面平行的性质：ba 面 ,面 ,三垂线定理（及逆定理） ：名师归纳总结 PA面,AO为PO在内射影,

15、a面,就第 7 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - aOAa PO； POaAOP a alO a b O c 线面垂直：a , , ,c,bcOal,a, a la面面垂直： a面,a面,面 面 ,a面 , 面ab ;面 ,面 aa b 2三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角 ,0 90（2）直线与平面所成的角o 时, 或b,0 90（3）二面角：二面角l的平面角,0 o180o三垂线定理法： A 作或证 AB 于 B,作 BO棱于 O,连 AO,就 AO棱 l, AOB为所求；三类角的求法：名师归纳总结 - - - - - - -

16、第 8 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 找出或作出有关的角；证明其符合定义,并指出所求作的A 角；运算大小（解直角三角形, 或用余弦O CB 定理）；D 练习（1）如图, OA 为 的斜线 OB为其在 内射影, OC为 内过 O点任始终线；证明：coscoscosA 1D 1G B1 C1为线面成角,AOC=,BOC=（2）如图,正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中对H 角线 BD18,BD1与侧面 B1BCC1 所成的为 30；A D B C 求 BD1 和底面 ABCD所成的角；求异面直线 BD1 和 AD 所成的角；求二面角 C1BD1B1 的大小；a

17、rcsin3；o 60；arcsin6P C F 43D （3）如图 ABCD为菱形, DAB60,PD面 ABCD,且 PDAD,求面 PAB与面PCD所成的锐二面角的大小；A E B C C1AB DC,P 为面 PAB与面 PCD的公共点,作PF AB,就PF为面 PCD与面 PAB的交线 D 3空间距离A B点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,D1名师归纳总结 A 1B1第 9 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 面与面间距离；将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长（如：三垂线定理法,或者用等积转化法）；如

18、：正方形 ABCDA1B1C1D1 中,棱长为 a,就：（1）点 C到面 AB1C1 的距离为 _；（2）点 B到面 ACB1 的距离为 _；（3）直线 A1D1到面 AB1C1 的距离为 _；（4）面 AB1C与面 A1DC1 的距离为 _；（5）点 B到直线 A1C1 的距离为 _；4正棱柱、正棱锥的定义性质 正棱柱 底面为正多边形的直棱柱 正棱锥 底面是正多边形,顶点在底面的射影 是底面的中心；正棱锥的运算集中在四个直角三角形中：R tS O BR t,S O ER t 和 Rt SBE它们各包含哪些元素？S 正棱锥侧1Ch（C 底面周长,h 为斜高）,V锥1底面积 高235球的性质（1

19、）球心和截面圆心的连线垂直于截面r2 Rd2（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长；为此,要 找球心角！（3）如图, 为纬度角, 它是线面成角； 为经度角,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 它是面面成角；（4）S 球4R 2,V 球43 R3（5）球内接长方体的对角线是球的直径；正四周体的外接球半径R与内切球半径 r 之比为 R：r3：1；如：一正四周体的棱长均为 的表面积为2 ,四个顶点都在同一球面上, 就此球A 3B 4C 3 3D 6答案： A 二 解析几何 1熟登记列公式（ 1 ） l 直 线

20、的 倾 斜 角0,ktany 2y 11,2,x 1x 2,x 2x 1P x 1 1,y 1,P 2x 2,y 2是 l 上两点,直线 l 的方向向量ak（2）直线方程：tan点斜式：yy 0k xx 0（ k 存在）|Ax 0By 0C|斜截式： ykxb截距式：xy1ab一般式：AxByC0（A、B不同时为零）（3）点P x 0,y 0到直线 l ：AxByC0的距离d2 AB2（ 4 ）1l 到2l 的 到 角 公 式 ：tank 2k 1；1l 与2l 的 夹 角 公 式 ：1k k2|k 2k 1|1k k 1 22如何判定两直线平行、垂直？名师归纳总结 - - - - - - -

21、第 11 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - A B 2A B 1l 1l2,k 1k2l 1l2（反之不肯定成立）AC2A C 1A A 2B B 20l 1 , 1k 21l1l2F1y b F2a xa23怎样判定直线 l 与圆 C的位置关系？c圆心到直线的距离与圆的半径比较；O x 直线与圆相交时,留意利用圆的“ 垂径定理 ”；必修三 一、算法初步1构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和终止,是任何流程图不行少的；表示一个算法输入和输出的信输入、输出框 息,可用在算法中任何需要输入、输出的位置；赋值、运算,算法中处理数据需处理

22、框 要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内；判定某一条件是否成立,成立时判定框在出口处标明“ 是” 或“Y” ；不成立时标明“ 否” 或“N” ；2、算法的三种基本规律结构：次序结构、条件结构、循环结构；次序结构：条件结构：循环结构： r=0. 否求 n 除以 i 的余数名师归纳总结 输入 n 是第 12 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n不是质素 n是质数i=i+1 i=2 i n 或 r=0.否是注：循环结构分为：当型（行循环体；while 型）先判定条件,再执直到型（ until 型）先执行一次循环体,再判定条件；

23、3基本算法语句：输入语句： INPUT “ 提示内容” ；变量 示内容” ；表达式 赋值语句：变量=表达式；输出语句： PRINT “ 提条件语句：条件 THEN IF 条件 THEN IF 语句体语句体 1 END IF ELSE 语句体 2 END IF 循环语句：当型：直到型 : 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - WHILE 条件 DO 循环体 循环体二、统计 WEND LOOP UNTIL 条件1 总体、个体、样本、,样本个体、样本容量的定义；2. 抽样方法主要有：简洁随机抽样（抽签法、随机数表法）经常用

24、于 总体个数较少时,它的特点是从总体中逐个抽取；系统抽样,常用于 总体个数较多时,它的主要特点是均衡成如干部分,每部分只取一个；分层抽样,主要特点是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特点是每个个体被抽到的概率相等,表达了抽样的客观性 和公平性；3. 对总体分布的估量用样本的频率作为总体的概率,用样本的期 望（平均值）和方差去估量总体的期望和方差；4 样本平均数：x1x 1x2x3xn1in1xi；1in1x ix 2；nn样本方差：s21 nx 1x 2x2x2xnx2 n方差s 、标准差 s用来衡量一组数据的波动大小, 方差越大 , 说明这组数据的波动越大 . 5. 要熟识

25、样本频率直方图的作法：（ ）算数据极差xmaxxmin；（2）打算组距和组数；（3）打算分点；（4）列频率分布表；（5）画频率直方图；其中,频率小长方形的面积组距频率组距三、 概率 1. 你对随机大事之间的关系熟识吗？名师归纳总结 （ ）必定大事,P1,不行能大事,P 0包含A；第 14 页,共 25 页（ ）包含关系：AB,“A发生必导致B 发生” 称B- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A B （ ）大事的和（并）：AB或AB“A与 至少有一个发生” 叫做A与B的和（并）；（ ）大事的积（交）：AB或AB“A与 同时发生” 叫做A与 的积；（5）互斥

26、大事（互不相容大事） ：“ A 与 B 不能同时发生” 叫做 A、B 互斥；AB（6）对立大事（互逆大事） ：“A不发生” 叫做A发生的对立（逆）大事,AAA,AA2概率公式：互斥大事（有一个发生）概率公式：PA+B=PA+PB；名师归纳总结 古典概型：PA A包含的基本领件的个数；等）；第 15 页,共 25 页基本领件的总数几何概型：PA 构成大事 A的区域长度（面积或体积等）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 举例设集合A1 2,B1 2 3, ,分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a和b ,确定平面上的

27、一个点 P a,b ,记“ 点 P a,b 落在直线 x y n 上”为大事 C n 2n ,n N ,如大事 C 的概率最大,就 n 的全部可能值为（）（07 山东文 12）A3 B4 C2 和 5 D3 和 4 解析：点 P a,b 落在直线 x y n 上,即 a b n；集合 A 和 B 中随机取一个数 a和 b 有 6 种方法,它们是等可能的,其中使得 a b 2 有 1 种,使得 a b 3 有 2 种,使得 a b 4 有 2 种,使得 a b 5 有 1 种；故使得大事 C 的概率最大的 n 可能为 3 和 4；必修四一、三角函数与三角恒等变换1. 你记得弧度的定义吗？能写出圆

28、心角为 和扇形面积公式吗？ ,半径为 R 的弧长公式（lR,S 扇 1lR 1R 2）2 22. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义3. 你能快速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？s i n1,c o s1对称点为k2,0,kZ2,2 k2kZy ytgxys i n的增区间为2 kx 名师归纳总结 2O 2第 16 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 减区间为2k2,2 k3kZ2图象的对称点为k,0,对称轴为xk2kZxyc o s的增区间为2k,2kkZZ减区间为2k,2k2kZ图象

29、的对称点为k2,0,对称轴为xkkyt a n的增区间为k2,k2kZ或yAcos26. 4.正弦型函数y = Asinx +的图象和性质要熟记；,2,求出x与 ,依点（ ）振幅|A|,周期T2| |如f x0A,就xx0为对称轴；如f x00,就x0,0为对称点,反之也对；（2）五点作图：令x依次为0,2, ,32（x,y）作图象；（ ）依据图象求解析式；（求A、 、 值）x10如图列出x2tan2x,T| |解条件组求、 值正切型函数yA5. 在三角函数中求一个角时要留意两个方面先求出某一个三角 函数值,再判定角的范畴；名师归纳总结 如：cos x62,x,3,求 值；第 17 页,共 2

30、5 页22（x3,7x65,x65,x13）2634126. 在解含有正、余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数的有界性了吗？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如：函数ysinxsin| |的值域是（x0 时,y2sinx2,2,x0 时,y0,y2,2）7. 娴熟把握三角函数图象变换了吗？变换:正左移负右移； b 正上移负下移 ; ysinx. ysinx左或右平移| |ysinx横坐标伸缩到原先的1倍ysinx横坐标伸缩到原先的1倍ysinx左或右平移| |ysinx; 纵坐标伸缩到原先的A 倍yAsinx上或下平移| |yA sinxb8. 娴熟

31、把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？“k” 化为 的三角函数“ 奇变,偶不变,符号看象限” ,2“ 奇” 、“ 偶” 指 k 取奇、偶数；9. 娴熟把握两角和、差、倍、懂得公式之间的联系：降幂公式 及其逆向应用了吗？令s i n s i n cos cos sin sin 2 2 sin cos令 2 2c o s c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i nt a n t a n 2 2t a n 2 c o s 1 1 2 s i n1 t a nt a n2 1 c o sc o st a n1 2 t a nt a n 2s i n 2 1 c o

32、 s 22a s i n b cos a 2 b 2 sin,tan bas i n c o s 2 s i n4s i n 3 cos 2 sin3应用以上公式对三角函数式化简； （化简要求：项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值；）详细方法：（ ）角的变换：如,222 （2）名的变换：化弦或化切名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算；二、平面对量1.向量的有关概念（1）向量既有大小又有方向的量；（2）向量的模有向线段的长度,b| |（ ）单位向量|a0|1,a0a| |（4）零向量0,| |0（ ）相等