2022年高中数学函数的零点教学设计.docx

《2022年高中数学函数的零点教学设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学函数的零点教学设计.docx（34页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 4 讲 与函数的零点相关的问题函数零点的个数问题1. 函数 fx=xcos 2x在区间 0,2 上的零点的个数为 D A2 B3 C4 D5 解析 : 要使 fx=xcos 2x=0,就 x=0, 或 cos 2x=0, 而在区间 0,2 上, 通过观看 y=cos 2x的函数图象 , 易得满意 cos 2x=0 的 x 的值有, 所以零点的个数为5 个. 2.2022南昌二模 已知函数 fx=函数 gx 是周期为 2 的偶函数 , 且当 x0,1 时,gx=2 x-1, 就函数 y=fx-gx 的零点个数是 B A5 B6 C7 D8 解

2、析 : 函数 y=fx-gx 的零点个数就是函数 y=fx 与 y=gx 图象的交点个数 . 在同一坐标系中画出这两个函数的图象 : 由图可得这两个函数的交点为 A,O,B,C,D,E, 共 6 个点 . 所以原函数共有 6 个零点 . 应选 B. 3.2022 南昌市一模 已知函数 fx= 如关于 x 的方程 ffx=0 有且只有一个实数解 , 就实数 a 的取值范畴为 . 解析 : 依题意 , 得 a 0, 令 fx=0, 得 lg x=0, 即 x=1, 由 ffx=0, 得 fx=1, 当 x0 时, 函数 y=lg x 的图象与直线 y=1 有且只有一个交点 , 就当 x0 时, 函

3、数 y= 的图象与直线 y=1 没有交点 , 如 a0, 结论成立 ; 如 a0, 就函数 y= 的图象与 y 轴交点的纵坐标-a1,名师归纳总结 得-1a0, 就实数 a 的取值范畴为 -1,00,+ . 第 1 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 :-1,0 0,+ 4.2022 北京卷 设函数 fx=如 a=1, 就 fx 的最小值为 ; 如 fx 恰有 2 个零点 , 就实数 a 的取值范畴是 . 解析 : 当 a=1 时,fx= 其大致图象如下列图 : 由图可知 fx 的最小值为 -1. 当 a0 时, 明显函数 fx 无

4、零点 ; 当 0a1 时, 易知 fx 在- ,1 上有一个零点 , 要使 fx恰有 2 个零点 , 就当 x1 时,fx有且只有一个零点 , 结合图象可知 ,2a 1, 即 a , 就 a1, 由二次函数的性质可知 , 当 x1 时,fx 有 2 个零点 , 就要使 fx 恰有 2 个零点 , 就需要 fx 在- ,1 上无零点, 就 2-a 0, 即 a2. 综上可知 , 满意条件的答案 : -1 ,1 2,+ 确定函数零点所在的区间a 的取值范畴是 ,1 2,+ . 5.2022四川成都市一诊 方程 lnx+1-=0x0 的根存在的大致区间是 B A0,1 B1,2 C2,e D3,4

5、解析 : 设 fx=lnx+1-, 就 f1=ln 2-20, 名师归纳总结 得 f1f20,函数 fx在区间 1,2有零点 , 应选 B. 2-5, 如实数 a,b 分别是第 2 页,共 23 页6.2022河南郑州市一模 设函数 fx=ex+2x-4,gx=ln x+2xfx,gx的零点 , 就 A - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Aga0fb B0gafb Cfb0ga Dfbga0 解析 : 考查函数 y=e x 与 y=4-2x 的图象 , 得其交点的横坐标 a 应满意 0a1; 考查函数 y=ln x与 y=5-2x 2的图象 , 得其交

6、点的横坐标 b 应满意 1be+2-40, 可排除C,D;0a1,galn 1+2-50 上的最小值 ; 3 如存在两不等实根 x 1,x 2 ,e, 使方程 gx=2e xfx 成立 , 求实数 a 的取值范畴 . 解:1 当 a=5 时 gx=-x 2+5x-3 e x,g1=e. gx=-x 2+3x+2 e x, 故切线的斜率为 g1=4e. 所以切线方程为 y-e=4ex-1, 即 y=4ex-3e. 2f x=ln x+1, x 0, ,+ f x - 0 + fx 单调递减 微小值 最小值 单调递增当 t 时, 在区间 t,t+2 上 fx 为增函数 , fx所以 fxmin=f

7、t=tln t, 上 fx为减函数 , 在区间 ,t+2上 fx 为增函数 , 所以当 0t 时 , 在区间 t,min=f=-. 名师归纳总结 3 由 gx=2exfx,可得 2xln x=-x2+ax-3, 第 3 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a=x+2ln x+ , 令 hx=x+2ln x+,h x=1+-=. x ,1 1 1,e hx - +e+2. 0 + hx 单调递减微小值 最小值 单调递增h = +3e-2,h1=4,he=he-h=4-2e+0, 于是 x 在0,1 上单调递增 ; 当 x1,2 时, x0,

8、 于是 x 在1,2 上单调递减 ; 依题意有解得 ln 3-1b1,0b=log 320 f-1=log 32-1-log 32=-10, 所以依据函数的零点存在性定理得出函数 fx=a x+x-b 的零点所在的区间是 -1,0, 应选B. 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.2022凉山州模拟 设函数 fx=|ln x|-的两个零点为x 1,x 2, 就有 A Ax 1x21 Bx 1x2=1 C1x 1x2 Dx 1x2解析 : 由 fx=|ln x|-=0, 得|ln x|= , 作函数 y=|ln x|

9、与 y=的图象如图 . 不妨设 x1x2, 由图可知 , x 11x2, 就 ln x10, 2|, 1+ln x20, 即 ln x1x2|ln x所以 -ln x1ln x2, 就 ln x所以 x1x 20 或-2x+a2 x, 或 a1 或 a0. 应选 D. 4.2022 重庆卷 已知函数 fx=且 gx=fx-mx-m在-1,1内有且仅有两个不同的零点, 就实数 m的取值范畴是 A A -,-2 0, B -,-20, C -,-2 0, D -,-20, 解析 :gx=fx-mx-m在-1,1内有且仅有两个不同的零点就是函数y=fx的图象与函数 y=mx+1 的图象有两个交点,

10、在同始终角坐标系内作出函数fx= 和函数 y=mx+1 的图象 , 如图 , 当直线 y=mx+1 与 y=-3,x -1,0 和 y=x,x 0,1 都相交时 ,0m ; 当直线 y=mx+1与 y=-3,x -1,0有两个交点时 , 由方程组消元得-3=mx+1, 即mx+12+3x+1-1=0,化简得 mx 2+2m+3x+m+2=0,当 =9+4m=0,即 m=- 时, 直线 y=mx+1 与y=-3 相切 , 当直线 y=mx+1 过点 0,-2时,m=-2, 所以 m-,-2.综上 , 实数 m的取值范畴是-,-20, ,应选 A. 名师归纳总结 5.2022湖北卷 已知 fx是定

11、义在 R上的奇函数 , 当 x0 时,fx=x2-3x. 就函数第 7 页,共 23 页gx=fx-x+3的零点的集合为 D - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A1,3 B-3,-1,1,3 C2-,1,3 D-2-,1,3 fx=x-3的根 , 由 x2-3x=x-3,解得 x=1 或 3; 解析 : 当 x0 时, 函数 gx 的零点即方程当 x0 时 , 由 fx是奇函数得-fx=f-x=x2-3-x, 即 fx=-x2-3x. 由 fx=x-3得 x=-2- 正根舍去 . 应选 D. 6. 已知 x0 是函数 fx=2x+的一个零点 , 如 x

12、11,x0,x2 x0,+ , 就 B Afx10,fx20 Bfx10 Cfx10,fx20,fx20 解析 : 函数 y=2 x,y=在 1,+ 都为单调增函数, 所以 fx=2x+在1,+ 上为单调增函数. 由于 fx0=0, 就以下关于函数y=ffkx+1+1k 0所以 x1 1,x0,x2x0,+ 时, fx1fx0=0, 从而答案 B 正确 . 7.2022山东模拟 已知函数 fx=的零点个数的判定正确选项 C A 当 k0 时, 有 3 个零点 ; 当 k0 时, 有 4 个零点 ; 当 k0 时, 有 3 个零点C 无论 k 为何值 , 均有 3 个零点D 无论 k 为何值 ,

13、 均有 4 个零点解析 : 令 ffkx+1+1=0 得, 或名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解得 fkx+1=0或 fkx+1=; 由 fkx+1=0 得, 或即 x=0 或 kx= ; 由 fkx+1= 得, 或即 ekx=1+ 无解 或 kx=; 综上所述 ,x=0 或 kx= 或 kx= ; 故无论 k 为何值 , 均有 3 个解 . 应选 C. 8.2022怀化二模 定义域为 R的函数 fx=+如关于 x 的函数C hx=f2x+afx+有 5 个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5, 就+等于 名师

14、归纳总结 A15 B20 C30 D35 第 9 页,共 23 页解析 : 作函数 fx=的图象如图 , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就由函数 hx=f2x+afx+有 5 个不同的零点知, 1+a+ =0, 解得 a=- , 就解 f2x-fx+=0 得, fx=1或 fx=; 故如 fx=1,就 x=2 或 x=3 或 x=1; 函数 gx=fx-2x恰有三个不同的如 fx=, 就 x=0 或 x=4; 故+=1+4+9+16=30. 应选 C. 9.2022郑州二模 已知函数 fx=零点 , 就实数 a 的取值范畴是 A A-1,3 B-3

15、,-1 C-3,3 D-1,1 解析 : 由于 fx=所以 gx=fx-2x=而方程 -x+3=0 的解为 3, 方程 x 2+4x+3=0 的解为 -1,-3; 如函数 gx=fx-2x 恰有三个不同的零点 , 就解得 ,-1 a3. 实数 a 的取值范畴是 -1,3. 应选 A. 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10.2022呼和浩特一模 如函数 fx=ln x+kx-1有两个零点 , 就实数 k 的取值范畴是 A ,0 B -,- A -C -,+ D -e2,- 解析 : 作函数 y=ln x-1 与

16、y=-kx 的图象如图 , 当直线与 y=ln x-1 相切时 , 设切点 x,ln x-1, y= , = , 解得 ,x=e 2, 故 0-k , 故-k0. 应选 A. 名师归纳总结 11.2022安徽卷 如函数 fx=x3+ax2+bx+c 有极值点 x 1,x 2, 且 fx1=x 1, 就关于 x 的方程第 11 页,共 23 页3fx2+2afx+b=0的不同实根个数是 A A3 B4 C5 D6 解析 : 先求函数的导函数, 由极值点的性质及题意, 得出 fx=x1或 fx=x2, 再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数. - - - - - - -精选学习资料 - - -

17、- - - - - - 由于 f x=3x2+2ax+b, 函数 fx 的两个极值点为 x 1,x 2, 所以 f x 1=0,f x 2=0, 所以 x1,x 2是方程 3x 2+2ax+b=0 的两根 . 所以解关于 x 的方程 3fx 2+2afx+b=0 得 fx=x 1 或 fx=x 2. 不妨设 x1x2, 由题意知函数 fx 在- ,x 1,x 2,+ 上单调递增 , 在x 1,x 2 上单调递减 . 又 fx 1=x 1x2, 如图 , 数形结合可知 fx=x 1有两个不同实根 ,fx=x 2有一个实根 , 所以不同实根的个数为 3. 应选 A. 二、填空题为12.2022兰州

18、二模 设函数 fx=函数 y=ffx-1的零点个数. 解析 : 由于函数 fx=当 x0 时, y=ffx-1=f2 x-1=log 22 x-1=x-1, 令 y=ffx-1=0,x=1 舍去 . 当 01 时 , y=ffx-1=flog2x-1=log2log2x-1, 令 y=ffx-1=0,log2log2x=1, 就 log 2x=2,x=4, 名师归纳总结 故函数 y=ffx-1的零点个数为2 个 . 第 12 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 :2 13.2022 潍坊模拟 已知 fx 是定义在 0,+ 上的单调函

19、数 ,f x 是 fx 的导函数 ,如对 . x0,+ , 都有 ffx-2 x=3, 就方程 f x-=0 的解所在的区间是 . 区间长度不大于 1 解析 : 由题意 , 可知 fx-2 x是定值 , 令 t=fx-2 x, 就 fx=2 x+t, 又 ft=2 t+t=3, 解得 t=1, 所以有 fx=2 x+1, 所以 f x=2 xln 2, 令 Fx=fx-=2 x ln 2-, 可得 F1=2 1ln 2-40, 即 Fx=2 xln 2-零点在区间 1,2 内 , 所以 f x-=0 的解所在的区间是 1,2. 答案 :1,2 14.2022山东卷 已知函数 fx=1ogax+

20、x-ba0,且 a 1. 当 2a3b4 时, 函数 fx的零点 x 0n,n+1,nN *, 就 n= . 解析 : 对函数 fx,由于 2a3b4, 所以 f2=loga2+2-b1+2-b=3-b1+3-b=4-b0. 即 f2f30 时, 解不等式 fx0; 2 当 a=0 时, 求整数 t 的全部值 , 使方程 fx=x+2 在t,t+1 上有解 . 解:1 由于 e x0, 所以不等式 fx 0, 即为 ax 2+x 0, 又由于 a0, 所以不等式可化为 xx+ 0, 所以不等式 fx 0 的解集为 -,0. 2 当 a=0 时, 方程即为 xe x=x+2, 由于 e x0,

21、所以 x=0 不是方程的解 , 所以原方程等价于 e x- -1=0, 令 hx=e x- -1, 由于 hx=ex+0 对于 x 0 恒成立 , 所以 hx 在- ,0 和0,+ 内是单调增函数 , 又 h1=e-30,h-3=e-3- 0, 所以方程 fx=x+2 有且只有两个实数根 , 且分别在区间 1,2 和 -3,-2 上, 所以整数 t 的全部值为 -3,1. 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.2022 广东江门市3 月模拟 设函数 fx=exln x-a,e是自然对数的底数,a R为常数 . 1

22、 如 y=fx 在 x=1 处的切线 l 的斜率为 2e, 求 a 的值 ; 2 在1 的条件下 , 证明切线 l 与曲线 y=fx 在区间 0, 至少有 1 个公共点 . 解:1fx=e xln x-a+ , 依题意 ,k=f 1=eln 1-a+1=2e, 解得 a=-1, 2 由1f1=e, 直线 l 的方程为 y-e=2ex-1, 即 y=2ex-e, 令 gx=fx-2ex-e=e xln x+1-2ex+e, 就 g = 1-ln 20, ge-4=-3e e-4-2e-3+e-3+e0 用其他适当的数替代 e-4 亦可 由于 y=gx 在e-4, 上是连续不断的曲线 , ge-4

23、g 0,y=gx 在 e-4, 内有零点 , 而e-4 , . 0, , 从而切线 l 与曲线 y=fx 在区间 0, 至少有 1 个公共点 . 3.2022 菏泽市一模 设函数 fx=ln x-ax 2-bx. 1 当 a=b= 时, 求函数 fx 的单调区间 ; 2 令 Fx=fx+ax2+bx+ 0x 3, 其图象上任意一点Px 0,y 0处切线的斜率k 恒成立, 求实数 a 的取值范畴 ; 3 当 a=0,b=-1 时, 方程 fx=mx在区间 1,e2 内有唯独实数解, 求实数 m的取值范畴 . 解:1 依题意 , 知 fx 的定义域为 0,+ , 名师归纳总结 当 a=b= 时,f

24、x=ln x-x2- x, 第 15 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x=- x- =. 令 f x=0, 解得 x=1 或 x=-2 舍去 , 当 0x0; 当 x1 时,f x0, 所以 m=1+ , 要使方程 fx=mx 在区间 1,e 2 上有唯独实数解 , 只需 m=1+ 有唯独实数解 , 令 gx=1+ x0, 所以 gx= , 由 gx0 得 0xe;g xe, 所以 gx 在区间 1,e 上是增函数 , 在区间 e,e 2 上是减函数 . g1=1,ge 2=1+ ,ge=1+ , 故 1m1. 1 如 fx 在1

25、,+ 上单调递减 , 求实数 a 的取值范畴 ; 2 如 a=2, 求函数 fx 的微小值 ; 3 如方程 2x-mln x+x=0 在1,e 上有两个不等实根 , 求实数 m的取值范畴 . 解:1fx= +a, 由题意可得 f x 0 在 x1,+ 上恒成立 ; 所以 a-=- 2- , 由于 x1,+ , 所以 ln x 0,+ , 所以- =0 时函数 t=- 2- 的最小值为 - , 所以 a- . 2 当 a=2 时,fx=+2x,f x=, 令 f x=0 得 2ln 2x+ln x-1=0, 解得 ln x= 或 ln x=-1 舍去 , 即 x= . 当 1x 时,f x 时,

26、f x0, 所以 fx的微小值为f=+2=4. 3 将方程 2x-mln x+x=0两边同除 ln x得2x-m+=0, 整理得 +2x=m, 名师归纳总结 即函数 fx 与函数 y=m在1,e 上有两个不同的交点. 第 17 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由2 可知 ,fx在1, 上单调递减 , 在,e 上单调递增f=4,fe=3e, 当 x1 时,+, 所以 4 0, x=2x+ 0, 所以 x 在0,+ 单调递增 , 即 在0,+ 单调递增 . 2 由于 1=-10, 又 x 在0,+ 单调递增 , 故 x 在1,2 内有唯独

27、零点 . 名师归纳总结 又 fx=x3-x-=x x, 明显 x=0 为 fx一个零点 , 第 18 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 因此 y=fx 在0,+ 有且仅有 2 个零点 . 2. 设 aR, 函数 fx=ln x-ax. 1 争论函数 fx 的单调区间和极值 ; 2 已知 x 1= e 为自然对数的底数 和 x2 是函数 fx 的两个不同的零点 , 求 a 的值并证明:x2 . 1 解: 函数 fx 的定义域为 0,+ . 求导数 , 得 f x=-a= . 如 a0, 就 f x0,fx 是0,+ 上的增函数 , 无极值

28、 ; 如 a0, 令 f x=0, 得 x= . 当 x0, 时,f x0,fx 是增函数 ; 当 x ,+ 时,f x0 时 ,fx的递增区间为 0, , 递减区间为 ,+ , 极大值为 -ln a-1. 2 证明 : 由于 x 1= 是函数 fx 的零点 , 所以 f =0, 即 -a =0, 解得 a= = . 所以 fx=ln x-x. 由于 f= - 0,f= -0, 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 ff0. 由1 知, 函数 fx在2,+ 上单调递减 , , 如 e-2x. 3.2022郑州质量猜测 已知函数 fx=x2-2xln x+ax2+2. 1 当 a=-1 时, 求 fx 在点 1,f1处的切线方程 ; 2 当 a0 时, 设函数 gx=fx-x-2,且函数 gx 有且仅有一个零点求 m的取值范畴 . 解:1 当