2022年高中数学必修一第一章知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点第一章 集合与函数概念1.1 集合【1.1.1 】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 . （ 2）常用数集及其记法N 表示自然数集, N或 N表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集 .（ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 aM,或者aM,两者必居其一 . （ 4）集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合 . 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合 . 描述法： x | x 具有的性质 ,其中 x 为集合的代表元素 . 图示法

2、：用数轴或韦恩图来表示集合 .（ 5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集 . 【1.1.2 】集合间的基本关系（ 6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质n示意图A子集AB1AA ABB（或A 中的任一元素都属2ABA 于 B 3如AB且 BC ,就 AC真子集4如AB且 BA ,就 AB或AB AB,且 B 中至（1）A （ A 为非空子集）BA（或 BA ）少有一元素不属于A 2如 AB 且 BC ,就 AC集合ABA 中的任一元素都属1AB AB于 B,B 中的任一元素相等2BA 都属于 A 1个非空子集,（ 7）

3、已知集合 A 有n n1个元素,就它有 2n 个子集,它有 2 n1个真子集,它有 2它有 2n2非空真子集 . （ 8）交集、并集、补集名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【1.1.3 】集合的基本运算名称记号B意义A （1） AAUA性质 e UA UA示意图Bx xA 且A交集（2） ABAxB （3） AABB并集ABx xA 或（1） A（2） AAA2AABABxB （3） AAABB1A e UA补集e UAx xU,且x痧 AB A . UB U痧 AB A . UB 【补充学问】含

4、肯定值的不等式与一元二次不等式的解法（ 1）含肯定值的不等式的解法|axb|不等式b0c c0解集x|a ,x|a ax|axa|x|a a0x xa 或xa c ax|把 axb 看 成 一 个 整 体 , 化 成 |x|a a0型不等式来求解（ 2）一元二次不等式的解法判别式b24 ac000二次函数名师归纳总结 yax2bxc a0x 1,2bb24acx 1|x 2bO第 2 页,共 7 页的图象一元二次方程ax2bxc0a02a无实根2 a2 ax的根0（其中x 1x 2xxRbbxc0ax xx 或xx2的解集2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

5、- - ax2bxc0a0x x 1名师总结2优秀学问点xx的解集1.2 函数及其表示【1.2.1 】函数的概念（ 1）函数的概念设 A、 B 是两个非空的数集, 假如依据某种对应法就f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都有唯独确定的数 f x和它对应, 那么这样的对应 （包括集合A,B以及A到B的对应法就f）叫做集合 A到 B 的一个函数,记作 f : A B 函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（ 2）区间的概念及表示法设 a b是两个实数,且a b,满意a x b的实数x的集合叫做闭区间,记做 , a b；满意a x b 的实

6、数 x 的集合叫做开区间,记做 , ；满意 a x b ,或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 , a b , , a b ；满意 x a x a x b x b 的实数 x 的集合分别记做 , , a , , , , , b留意： 对于集合 x a x b 与区间 , a b ,前者a可以大于或等于 b ,而后者必需a b（ 3）求函数的定义域时,一般遵循以下原就：f x 是整式时,定义域是全体实数1f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,

7、底数须大于零且不等于ytanx中,xk2kZ零（负）指数幂的底数不能为零如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集名师归纳总结 对于求复合函数定义域问题,一般步骤是： 如已知f x 的定义域为 , a b,其复合函数f g x 第 3 页,共 7 页的定义域应由不等式ag x b 解出- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义（ 4）求函

8、数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,假如在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值判别式法：如函数 y f x可以化成一个系数含有 y的关于x的二次方程2a y x b y x c y 0,就在 a y 0 时,由于 x y 为实数,故必需有b 2 4 c y 0,从而确定函数的值域或最值不等式

9、法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2 】函数的表示法（ 5）函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（ 6）映射的概念设 A、 B 是两个集合, 假如依据某种对应法就f ,对

10、于集合 A 中任何一个元素, 在集合 B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应 （包括集合 A ,B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A 到B的映射,记作 f : A B 给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a A b B 假如元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点 1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（ 1）函数的单调性 定义及判定方法函数的定义y图象xx判定方法性 质假如

11、对于属于定义域I内某y=fXfx （ 1）利用定义个区间上的任意两个自变量（ 2）利用已知函数的的值 x1、x2, 当 x1 x2时,都单调性函数的有 fxfx, 那 么 就 说o（ 3）利用函数图象 （在fx fx 在这个区间上是 增函数某个区间图x1x2象上升为增）（ 4）利用复合函数单调性假如对于属于定义域I内某yy=fX（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的个区间上的任意两个自变量ofx 单调性的值 x1、 x2,当 x1fx2, 那 么 就 说某个区间图fx 在这个区间上是 减函数x1x2象下降为减）（ 4）利用复合函数 在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数

12、,增函数减去一个减函数为 增函数,减函数减去一个增函数为减函数 对 于 复 合 函 数yf g x , 令ug x , 如yf u 为 增 ,ug x 为 增 , 就xyf g x 为增；如yf u 为减,ug x 为减,就yf g x 为增；如yf u 为增 ,ug x 为 减 , 就yf g x 为 减 ；如yf u 为 减,ug x 为 增, 就yyf g x 为减o（ 2）打“ ” 函数f x xaa0的图象与性质xf x 分别在 ,a、a,上为增函数,分别在a,0、 0,a上为减函数（ 3）最大（小）值定义名师归纳总结 一般地,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数M 满意：

13、（1）的最大值,记作第 5 页,共 7 页对于任意的 xI,都有f M ；M 是函数f x （ 2）存在0xI ,使得f x0M 那么,我们称fmax M - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一般地,设函数yf x 名师总结优秀学问点m 满意：（ 1）对于任意的 xI ,都有的定义域为 I ,假如存在实数f x m ；（ 2）存在0xI ,使得fx 0m 那么,我们称 m 是函数f x 的最小值,记作fmax m【1.3.2 】奇偶性（ 4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的定义图象判定方法性 质假如对于函数fx 定义域内（ 1）利用定义（要先任意一个x,

14、都有fx=判肯定义域是否关于fx,那么函数fx 叫做 奇函原点对称）数（ 2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性假如对于函数fx 定义域内（ 1）利用定义（要先任意一个 x,都有 fx=fx,判肯定义域是否关于那么函数 fx 叫做 偶函数原点对称）（ 2）利用图象（图象关于 y 轴对称）如函数f x 为奇函数,且在x0处有定义,就f00奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充学问函数

15、的图象（ 1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；争论函数的性质（奇偶性、单调性）画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象平移变换yf x h0, 左移 个单位 h0, 右移 | h | 个单位yf xhhyf x k0, 上移 个单位 k0, 下移 | k | 个单位yf x kk伸缩变换名师归纳总结 yf 01, 伸1, 缩yfx第 6 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yf 0A A1, 缩1, 伸yAf名师总

16、结优秀学问点 对称变换yf x x轴yf x yf x y 轴yfx1 yf x 原点yfx yf x 直线y xyfyf x 去掉 轴左边图象 y保留 轴右边图象,并作其关于 yy轴对称图象yf|x|yf 保留 轴上方图象 x将 轴下方图象翻折上去 xy|f |（ 2）识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性,留意图象与函数解析式中参数的关系（ 3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为争论数量关系问题供应了“ 形” 的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页