2022年高中数学必修知识点归纳.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 必修 2 学问点归纳其次章点、直线、平面之间的位置关系及其论证第一章 空间几何体1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简洁组合体常见的 多面体 有：棱柱、棱锥、棱台；常见的 旋转体 有：圆柱、圆锥、圆台、球；简洁组合1、公理 1：假如一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内；ABlAl BllA,B体的构成形式：中（ 1）（2）物体表示的几何体；公理 1 的作用：判定直线是否在平面内A,B,C确定平面一种是由简洁几何体拼接而成,例如课本图1.1-112、公理 2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面；一种是由简洁几何

2、体截去或挖去一部分而成,例如课本图1.1-11中（ 3）（4）物体表示的几何体；C AB如 A,B, C不共线,就推论 1：过直线的直线外一点有且只有一个平面简洁组合体Al如 Al,就点 A 和l确定平面推论 2：过两条相交直线有且只有一个平面棱柱 ：有两个面相互平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平Aml如 mnA ,就m n 确定平面行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱；棱台： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做推论 3：过两条平行直线有且只有一个平面棱台；m n如 mn,就m n确定平面1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点

3、向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照耀下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的；（1）定义：正视图 ：光线从几何体的前面对后面正投影得到的投影图；侧视图 ：光线从几何体的左面对右面正投影得到的投影图；公理 2 及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据；3、公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线；俯视图 ：光线从几何体的上面对下面正投影得到的投影图；bac几何体的 正视图、侧视图和俯视图 统称为几何体的三视图 ；P LP,Pl且Pl（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“ 长对正” ,“ 高平齐

4、” ,“ 宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观看者站在某一点观看几何体,画出的图形 . 公理 3 作用：（ 1）判定两个平面是否相交的依据；（ 2）证明点共线、线共点等；3、斜二测画法的基本步骤： 建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）4、公理 4：也叫平行公理, 平行于同一条直线的两条直线平行.ab c 建立斜坐标系 x O y ,使 xOy =45 0（或 135 0）,留意它们确定的平面表示水平平面； 画对应图形 ,在已知图形平行于 X 轴的线段, 在直观图中画成平行于 X 轴,且长度保持不变；在已知图形平行于 Y轴的线段, 在直观图中画成平行于

5、 Y 轴,且长度变为原先的一半；一般地,原图的面积是其直观图面积的 2 2倍,即 S 原图2 2 S 直观4、空间几何体的表面积与体积公理 4 作用：证明两直线平行；5、定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补；a1 b a a b b 且 1 与 2 方向相同 12b a a 1a2 2b b 方向相同就 方向相反就 a a b b且 1 与 2 方向相反 1 2 180 1 2 1+ 2 180 圆柱侧面积 ；S 侧面2rl作用：该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等；r6、线线位置关系：平行、相交、异面；ab,abA,a b异面llS侧2r.l（ 1）

6、没有任何公共点的两条直线平行a（ 2）有一个公共点的两条直线相交AbrAAB=2 rB（ 3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、线面位置关系：aa圆锥侧面积：S侧面rl1a2AA3图中：扇形的半径长为l,l圆心角为 ,弧 AB的长（ 1）直线在平面内,直线与平面有很多个公共点；aVL .l注：扇形的弧长等于 圆心角乘以半径 .提示圆心角为弧度角,例如 60 弧度,3454弧度, 90 2弧度等等 （ 2）直线和平面平行,直线与平面无任何公共点；alhlrB（ 3）直线与平面相交,直线与平面有唯独一个公共点；aA圆锥的侧面绽开图是扇形,8、面面位置关系：平行、相交；扇形面积 S扇形 1

7、2圆台侧面积：S侧面弧长半径rlRl9、线面平行： （即直线与平面无任何公共点）O 1rhlO 2RRO判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,就该直线与此平面平行；（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）a体积公式：h；V 锥体1Sh；rdO1V柱体Sba/3d= R 2-r2a/bV 台体1h S 上S 上S 下S 下证明两直线平行的主要方法是：3球的表面积和体积： 三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；S球4R2,V 球4R3. 一般地,面积比等于相像比的平方,体积比等于相像比的立方； 平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；3 线面平行的性质：

8、假如一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,第 1 页,共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 那么 这条直线和它们的交线平行；12、面面垂直：aab定义：两个平面相交,假如它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面相互垂直；ab平行线的传递性：ab cbac判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线,就这两个平面垂直；面面平行的性质：假如一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行；aabl（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）l 性质：两个平面相互垂直,就一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面

9、；b垂直于同一平面的两直线平行；aablmlblm直线与平面平行的性质：假如一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行；（上面的）证明两直线垂直和主要方法：利用勾股定理证明两相交直线垂直；利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；10、面面平行： （即两平面无任何公共点）（ 1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,就这两个平面平行；a,b利用线面垂直的定义证明（特殊是证明异面直线垂直）；利用三垂线定理证明两直线垂直（“ 三垂” 指的是“ 线面垂”“ 线影垂” ,“ 线斜垂” ）abA斜P如图：PO又直OA 是PA 在平面上的射影aPA

10、a,b线a,且aOA判定定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行,两A影Oa线即：线影垂直线斜垂直,反之也成立；平面平行 a b利用圆中直径所对的圆周角是直角,此外仍有正方形、菱形对角线相互垂直等结论；空间角及空间距离的运算abA1. 异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在在两异面直线中的一aa b b条上取一点,过该点作另一条直线平行线,a b（ 2）两平面平行的性质：性质：假如一个平面与两平行平面都相交,那么它们的交线平行；如图：直线 a与b异面, b/b,直线 a与直线 b 的夹角为两异面直线a与 所成的角,异面直线所成角取值范畴是（0 ,90

11、 aab2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角；如图： PA 是平面的一条斜线, A为斜足, O为垂足, OA叫斜线 PA在平面上射影,PAO 为线面角 ；b性质：平行于同一平面的两平面平行；性质：夹在两平行平面间的平行线段相等；3. 二面角：从一条直线动身的两个半平面形成的图形,如图为二面角l,二面角的大小指的是二面角的平面角的大小；二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直A CACBD如图：在二面角-l-中, O棱上一点,OA,OB,且OAl OBl,就AOB 为二面角-l-的平面角；B D用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：ABCD明确构成二

12、面角两个半平面和棱；性质：两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行；明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直；aa或aa（求空间角的三个步骤是“ 一找”、“ 二证” 、“ 三运算” ）0有如下两个对应：4. 异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度；如图 PQ 是两异面直线间的距离11、线面垂直：（异面直线的公垂线是唯独的,指与两异面直线垂直且相交的直线）5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的定义：假如一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直；判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,就该

13、直线与此平面垂直；射影的连线段的长度；lm如图： O为 P在平面上的射影,线段 OP的长度为点P 到平面的距离lnAl求法通常有：定义法和等体积法mn等体积法：就是将点到平面的距离看成是m n三棱锥的一个高；如图在三棱锥 VABC性质：垂直于同一个平面的两条直线平行；中有：V SABCV A SBCV BSACV C SABaabb第三章直线与方程性质：垂直于同始终线的两平面平行l l1. 直线方程的概念：一条直线 l 与一个二元一次方程F x y , Ax By C名师归纳总结 第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直线 l 上任意

14、一点的坐标 , x y 都满意方程F x y , Ax By C0；方程组求解,即：A xB yC10以方程F x y , AxBy C0的解为坐标的点 , x y都在直线l上；A xB yC20就称方程F x y , Ax By C0为 直线 l 的方程 ,直线 l 为方程的直线；当有唯独解时, 两直线相交； 当无解时, 两直线平行； 当有很多个解时,两直线重合 ；2. 直线倾斜角的定义：把直线向上的方向与x 轴的正方向形成的最小正角叫直线（ 2）过两直线l1:A xB yC 10,l2:A xB yC20交点的 直线系方程 为：的倾斜角；A xB yC1A xB yC203. 直线倾斜角的

15、范畴：0180,当直线与x轴平行或者是重合时,倾斜角为04. 直线斜率的定义：倾斜角不为 90 直线, 倾斜角的正切值叫直线的斜率；将含有一个参数的直线方程化为直线系方程记作ktan90 的样式就可解决直线恒过定点问题 ；当倾斜角为 90 时直线的斜率不存在；（ 3）两点间距离公式：PP2x2x12y2y125、直线 l 过点P x 1,y 1,P x2,y 2,就直线的斜率为：ky 2y 1x 1x2x 2x 1（ 4）点P x 0,y0到直线l:AxByc0距离公式：dAx 0ABy 02C6、直线方程的表示形式：2B点斜式 ：yy0kxx0,（ 5）两平行线间的距离公式：对于直线当斜率不

16、存在 时,直线与 x 轴垂直,倾斜角为90 ,l1:A xB yC 10,l2:A xB yC20,1l 与2l 间的距离为：d|C22C1|2AB此时直线方程为：xx ,如右图,特 别地 y 轴所在（ 6）线段中点坐标公式：xx 12x 2,A x 1,y 1, B x2,y 2,M x y 是线段 AB的中点；直线方程为x0；当直线斜率k0时,直线与 x 轴平行或者是重合yy 1y 2直线方程为：yy0, x 轴所在的直线方程为y0；2斜截式：ykxb（ b 为直线在 y 轴上的 截距 ）第四章圆与方程当直线过 y 轴上肯定点 0, 时,通常设直线方程为：ykxb ,例如直线 l 过定点1

17、、圆的第肯定义：到定点的距离等于定长的点的集合.PM x y , |MO|r0, 2 ,设l:ykx2；圆的其次定义：到两个定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的集合；2、圆的标准方程：xa2yb2r,圆心为 , a b ,半径为 r ；当直线过 x 轴上肯定点（a ,0）时,通常设直线方程为：xmya ,例如直线 l 过定点 2, 0 ,设l:xmy2两点式 ：yy 1xx1y2x23、圆的一般方程：x2y2DxEyF0D2E24F0；y 1x1截距式 ：xy1a0,b0,ab圆心为 D,E,半径r1D2E24F ；一般地,问题中显现两个截距 时,通常设直线方程为xy1 a0,b0；222

18、ab当D2E24F0时,方程x2y2DxEyF0表示点D,E方程中a b 分别表示直线的 横截距和纵截距,22一般地,在直线方程中,令y0可求得横截距 a ,令x0可求得纵截距 b当D2E24F0时,方程x2y2DxEyF0不表示任何图形；一般式 ：AxByC0A22 B0,全部直线方程都可化为一般式；4、点P 0x0,y0与圆xa2yb22 r 的位置关系的判定：当B0,直线的 斜率kA,当B0时,直线 斜率不存在 ,方程可化为xCBA（1）当P x 0,y 0满意x 0a2y 0b22 r 时点 P 在圆上；7、两直线的位置关系的判定：当两直线倾斜角相等时,即时,两直线 平行 ；（2）当P

19、 x 0,y 0满意x 0a2y0b2r2时点 P在圆内；当两直线倾斜角满意|90 时,两直线 垂直 ；当两直线倾斜角不相当时,两直线相交 ；（3）当P x 0,y 0满意x 0a2y0b2r2时点 P在圆外；对于直线l1:yk xb1,l2:yk xb 有：5、求圆方程的方法,主要有两种：（1） 待定系数法 ：使用待定系数法求圆方程的一般步骤：依据提设,挑选标准方程或一般方程；l1/ /l2k1k 2；1l 和2l 相交k1k ；b 1b 2依据条件列出关于a、b、 r 或 D、E、F 的方程组 ；1l 和2l 重合k 1k2；l1l2k k21. 解出 a、b、 r 或 D、E、F,代入标

20、准方程或一般方程；（2） 利用三角形外心的定义及其垂径定理求圆心坐标；b 1b2三角形 外心 的定义：三角形三边垂直平分线的交点就是外心；对于直线l1:A xB yC10,l2:A xB yC20有：垂径定理 ：垂直于弦的半径平分弦并平分弦所对的弧；弦的垂直平分线必经过圆心,因此求出两条弦的垂直平分线方程,联立解方程组求l1/ /l2A B 2A B 1；（2）1l 和2l 相交A B2A B ；得圆心坐标,而圆心到圆上任意一点的距离都等于半径,最终写出圆的标准方程；6、直线与圆的位置关系的判定：B C2B C1几何法 （ 1）相切 ：圆心到直线的距离d r ；1l和2l重合A B 2A B

21、1；l1l2A A 2B B20. （ 2） 相交 ：圆心到直线的距离dr ；（ 3） 相离 ：圆心到直线的距离dr ；B C2B C18、交点与距离公式l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0dd rCa,b |Ax0+By0+C| d= A 2+B 2 圆 C:（x-a2+y-b2=r2dr Ca,b |Ax0+By0+C|圆C:（x-a2+y-b d=2=r A 2+B 2 2（ 1）两直线l1:A xB yC10,l2:A xB yC20的交点坐标需将两直线方程组成r Ca,bd=|Ax0+By0+C|A 2+B 2圆C:（x-a2+y-b2=r2 相离： d

22、r第 3 页,共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -相切： d=r相切： dr 1+r 2外切 :有一个公共点,圆心距 C 1C 2 r1+r 2相交 :有两个公共点,圆心距Oz 轴上的 射影 ,如射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z,就把 有序实数组 x, y, z叫做|r 1-r2 | C1C2 r1+r 2M点在此空间直角坐标系中的坐标,记作Mx, y, z,其中 x 叫做点 M的 横坐标 ,y 叫做点 MC1r 1r 2C 2C1r1r2C 2C1r 1r 2C 2的纵坐标 , z 叫做点 M的竖坐标 . 4. 坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点：x 轴上的点的坐标

23、的特点：P a , 0, 0,纵坐标和竖坐标都为零圆 C1:x 圆 C2:x2+y 2+y2+D 1x+E 1y+F 1=0 2+D 2x+E 2y+F 2=0圆 C1:x 圆 C2:x2+y 2+y2+D 1x+E 1y+F1=0 2+D 2x+E 2y+F2=0圆 C1:x 2 +y 2 +D1x+E 1y+F 1=0圆 C2:x 2 +y 2 +D2x+E 2y+F 2=0y 轴上的点的坐标的特点：P0,a, 0,横坐标和竖坐标都为零z 轴上的点的坐标的特点：P0, 0,a ,横坐标和纵坐标都为零xOy 坐标平面内的点的特点：P a b , , 0）,竖坐标为零xOz坐标平面内的点的特点

24、：P a , 0,b ,纵坐标为零代数法 ; 将两圆的方程组成方程组x2y2D xE yF 10yOz 坐标平面内的点的特点：P0,a b ,横坐标为零5.中点坐 标公式：设 A x 1,y z 1）, B x 2,y z 2就线 段AB的中点 坐标为x 12x 2,y 12y2,z 12z 2 6 、空间中两点间距离公式：x2y2D xE yF 20PP 12x2x 12y2y12z 2z 12（1）如方程有 一个 解,两圆 相切（内切或外切） ；（2）如方程有 两个 不同解, 两圆相交；（3）如方程有 无解 ,两 圆外离或内含特殊地,方程x22 yD xE yF 1x2y2D xE yF0表示过两圆交点的圆系方程；在这个方程组中x2y2D x 1E y 1F 10用消去平方项后得一个直线方程,该x2y20D x 2E y 2F 2直线方程过两圆的交点,因此该直线方程也叫两圆的公共弦所在的直线方程；第 4 页,共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -