2022年高中数学基础知识汇总3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学基础学问汇总第一部分 集合1懂得集合中元素的意义 是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？仍是因变量的取值？仍是曲线上的点？；2数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题详细化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决；3（1）含 n 个元素的集合的子集数为 2 n,真子集数为 2 n1；非空真子集的数为 2 n-2；（2）A B A B A A B B ; 留意：争论的时候不要遗忘了 A 的情形；（3）C I A B C I A C I B ; C I A B

2、 C I A C I B ;4是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集；其次部分 函数与导数1映射： 留意 第一个集合中的元素必需有象；一对一,或多对一；2函数值域的求法：分析法；配方法；判别式法；利用函数单调性；换元法；利用均值不等式aba2ba22b2； 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、肯定值的意义等） ；利用函数有界性（x a 、sinx、cosx等）；导数法3复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法： 如 fx 的定义域为 a,b,就复合函数fgx 的定义域由不等式agx b 解出如 fgx 的定义域为 a,b, 求 fx 的定义域,相当于（2）复合函数单调性的判定：xa,b 时

3、,求 gx的值域；第一将原函数yfgx 分解为基本函数：内函数ug x 与外函数yfu；分别争论内、外函数在各自定义域内的单调性；依据“ 同性就增,异性就减” 来判定原函数在其定义域内的单调性；留意：外函数yfu的定义域是内函数ugx的值域；4分段函数： 值域（最值） 、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论；5函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的xf ；fffx11；fx是奇函数fxfxffx0fxfx是偶函数fxfxfxx0x；x奇函数fx 在原点有定义,就f00；在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性；（6）如所给函数的解析式较为复杂,

4、应先等价变形,再判定其奇偶性；6函数的单调性名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 单调性的定义：x1fx x 2在0区间Mf上是f增函数fx1x 1,x 2M,当x 1x2时有fx2ffx 1x2x 1x 200；x 1x2x1fx x 2在0区间Mf上是f减函数fx 1x 1,x 2M,当x 1x2时有fx2ffx 1x2x1x 200；x 1x2单调性的判定定义法：fx 2化为几个因式作积或作商的形式,以利于判定符号；留意：一般要将式子fx 1导数法（见导数部分）；复合函数法（见2 （2）；图像法；注：证明单调性主

5、要用定义法和导数法；7函数的周期性 1周期性的定义：对定义域内的任意x ,如有fxTfx （其中 T 为非零常数） ,就称函数fx 为周期函数, T为它的一个周期；全部正周期中最小的称为函数的最小正周期；如没有特殊说明,遇到的周期都指最小正周期；（2）三角函数的周期ysinx:T2,；ycosx:T:2；ytanx:Tx:；|；yAsinxyAcosxT2；ytanT|函数周期的判定定义法（试值）图像法公式法（利用（2）中结论）与周期有关的结论fxfafxa或fx2afx a0fx 的周期为2 ；ab；y x 的图象关于点a,0,b0,中心对称xfx周期为 2ab；yf x 的图象关于直线xa

6、,xb轴对称f x 周期为 2ab；yf x 的图象关于点a0,中心对称,直线b轴对称fx周期为 48基本初等函数的图像与性质名师归纳总结 幂函数：yx（R；指数函数：yaxa0 ,a1；第 2 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对数函数 :ylogaxa0 ,a1 ；正弦函数 :ysinx；余弦函数：ycosx；（6）正切函数：ytanx；一元二次函数：ax2bxc0；其它常用函数：正比例函数：ykxk0 ；反比例函数：ykk0；特殊的y1xx函数yxaa0 ；x9二次函数：解析式：一般式：fxax2bxc；顶点式：fx axh2k,

7、h ,k为顶点；零点式：fxa xx 1xx2；二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号；二次函数问题解决方法：数形结合；分类争论；10函数图象：图象作法：描点法（特殊留意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换：平移变换：yyfxyfxa,a0左“+” 右“- ” ；yfx yfxk,k0上“+” 下“- ”；伸缩变换：fx, （0 纵坐标不变,横坐标伸长为原先的1 倍；yfxyfxyyAfx, （A0 横坐标不变,纵坐标伸长为原先的A倍；对称变换：fx0,0yfx ；yfxy0yf x；|yfxx0yf x； yfxyxyf1 x；翻转变换

8、：f|x|右不动,右向左翻（fx 在 y 左侧图象去掉） ；yfx yyfx yfx|上不动,下向上翻（|fx| 在 x 下面无图象） ；11函数图象（曲线）对称性的证明1证明函数yfx图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；名师归纳总结 （2）证明函数yfx与yg x 图象的对称性, 即证明yf x图象上任意点关于对称中心（对第 3 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 称轴）的对称点在ygx的图象上,反之亦然；注：曲线 C1:fx,y=0 关于点（ a,b）的对称曲线 曲线 C1:fx,y=0 关于直线

9、 x=a 的对称曲线C2方程为： f2ax,2by=0; C2方程为： f2ax, y=0; 曲线 C1：fx,y=0, 关于 y=x+a或 y= x+a的对称曲线 C2 的方程为 fy a,x+a=0 或 f y+a,x+a=0; fa+x=fb x （ xR）y=fx 图像关于直线x=a2b对称；特殊地： fa+x=fa x （x R）y=fx 图像关于直线x=a 对称；函数 y=fx a与 y=fb x的图像关于直线x=a2b对称；12函数零点的求法：直接法（求fx0的根）；图象法；二分法. 13导数导数定义： fx 在点 x0 处的导数记作yxx0fx 0lim x0fx0xfx0；x

10、常见函数的导数公式:C0 ；xnnxn1；sinxcosx；1a；cosx sinx；axaxlna；exex；logax xlnlnx1；uvuv;uuvuv;利x导数的四就运算法就：uv uv; uvvv2（理科） 复合函数的导数：yxy uux;导数的应用：利用导数求切线：留意：所给点是切点吗？所求的是“ 在” 仍是“ 过” 该点的切线？利用导数判定函数单调性： f x 0 f x 是增函数； f x 0 f x 为减函数； f x 0 f x 为常数；利用导数求极值：求导数 f x ；求方程 f x 0 的根；列表得极值；利用导数最大值与最小值：求的极值；求区间端点值（假如有）；得最值

11、；14（理科） 定积分名师归纳总结 定积分的定义：bfxdxlim ninbnafi第 4 页,共 19 页a1定积分的性质：b akfxdxkbfxdx（ k 常数）；a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - bf1xf2xdxbf1 x dxbf2xdx；aaabfxdxcfxdxbfxdx（其中acb；aac微积分基本定理（牛顿莱布尼兹公式）：bfxdxFxb | aFbFaa定积分的应用：求曲边梯形的面积：Sb|fx gx|dx；a求变速直线运动的路程：Sbv tdt；求变力做功：WbFxdx；aa第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形1角度制与弧

12、度制的互化：弧度180 ,1180弧度, 1弧度1805718弧长公式：lR；扇形面积公式：S1R21Rl；222三角函数定义：角中边上任意一点P 为x,y,设|OP |r就：siny,cosx,tanyrrx3三角函数符号规律：一全正,二正弦,三两切,四余弦；4诱导公式记忆规律： “ 函数名不（改）变,符号看象限”；5yAsinx对称轴：xk2；对称中心：k0, kZ；yAcos x对称轴：xk；对称中心：k2, 0kZ；6同角三角函数的基本关系：sin2xcos2x;1sinxtanx；cosx7两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sinsincoscossin;coscoscossinsi

13、n;tantantan；1tantan8二倍角公式：sin22sincos；cos2cos2sin22cos2112sin2；tan212tan2；tan9正、余弦定理：名师归纳总结 正弦定理：aAbcC2R（2 R是ABC外接圆直径）sinC；第 5 页,共 19 页sinsinBsin注：a:b:csinA:sinB:sinC；a2RsinA ,b2RsinB,c2RC；abcabcCsinsinAsinBsinAsinBsin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 余弦定理：a2b2c22bccosA等三个；注：cosAb2c2a2等三个；2 bc10

14、；几个公式 : 三角形面积公式：S ABC1ah1absinCppapb pc,p1abc；222内切圆半径r=2SABCc；外接圆直径2R=abc;sin Asin Bsin Cba11已知a,b ,A时三角形解的个数的判定：C 其中 h=bsinA, A 为锐角时： ah 时,无解；b h a a=h 时,一解（直角）； hab 时,A 一解（锐角） ；第四部分立体几何1三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为22:1；2表（侧）面积与体积公式：柱体：表面积：S=S侧+2S底；侧面积： S侧=2rh；体积： V=S底h 1 （S+ 3 SS S）h；锥体：表面积：S=S 侧+S 底；侧

15、面积： S 侧= rl ；体积： V=1S底h：3台体：表面积：S=S 侧+S 上底 S 下底；侧面积： S 侧=rrl；体积： V=球体：表面积：S=2 4 R ；体积： V=4 R 33；3位置关系的证明（主要方法）：直线与直线平行：公理4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理；直线与平面平行：线面平行的判定定理；面面平行线面平行；平面与平面平行：面面平行的判定定理及推论；垂直于同始终线的两平面平行；直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理；平面与平面垂直：定义-两平面所成二面角为直角；面面垂直的判定定理；注：理科仍可用向量法；4.求角：（步骤 - - ；找或作角；求

16、角）异面直线所成角的求法： 平移法：平移直线,构造三角形；补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等,发觉两条异面直线间的关系；注：理科仍可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角；直线与平面所成的角：名师归纳总结 直接法（利用线面角定义）；先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作比,得sin；第 6 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 注：理科仍可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角；二面角的求法：定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点）,作出平面角,再求解；三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线,用三垂线定理或

17、逆定理作出二 面角的平面角,再求解；射影法：利用面积射影公式：SScos,其中为平面角的大小；注：对于没有给出棱的二面角,应先作出棱,然后再选用上述方法；理科仍可用向量法,转化为两个班平面法向量的夹角；5.求距离：（步骤 - - ；找或作垂线段；求距离）两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段,再进行运算；点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段,再求解；点到平面的距离：垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键）,再求解；等体积法；理科仍可用向量法：d|AB|n|；|n球面距离： （步骤）（）求线段AB 的长；（）求球心角AOB 的弧度数； 求劣弧 AB 的长；6结论：从一点

18、 O 动身的三条射线 OA 、OB、OC,如 AOB= AOC ,就点 A 在平面 BOC 上的射影在BOC 的平分线上；立平斜公式 最小角定理公式：coscos1cos2;=S 底；正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为,就 S 侧 cos长方体的性质名师归纳总结 长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,就： cos 22 +cos2 +cos=1；a；第 7 页,共 19 页2 sin+sin2+sin2=2 ；长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,就有 cos22 +cos2 +cos=2；sin2+sin2+sin2=1 ；正四周体的性质：设棱长为a ,就正四周体

19、的：高：h6a；对棱间距离：2a；相邻两面所成角余弦值：1 ；内切球半径：363212外接球半径：6a；4第五部分直线与圆- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1直线方程点斜式：yykxx；斜截式：ykxb；截距式：xy1；ab两点式：yy1xx 1；一般式：AxByC0,（A,B 不全为 0）；y2y 1x2x 1（直线的方向向量： （B, A,法向量（A , B2求解线性规划问题的步骤是：（1）列约束条件； （2）作可行域,写目标函数；3两条直线的位置关系：（3）确定目标函数的最优解；直线方程b 120平行的充要条件垂直的充要条件0备注l1:yk 1x

20、k 1k2,b 1b 2k1k21l1,l2有斜率l2:yk2xb 2l1:A 1xB 1yC1A 1B 2A2B 1,且A 1A 2B 1B2不行写成l2:A 2xB2yC0B 1 C2B2C1（验证）分式4直线系直线方程ykx1bm1A2xAxByC00平行直线系ykxmAxBym垂直直线系yxBxAym0k相交直线系A 1xB1yCB2yC205几个公式设 A（x 1,y1）、Bx 2,y2、C（x3,y3）, ABC 的重心 G：（x1x2x3,y 1y2y3）；33点 P（x 0,y 0）到直线 Ax+By+C=0的距离：dAx0A2By0C；2；B2C2C1两条平行线Ax+By+C

21、 1=0 与 Ax+By+C 2=0 的距离是dA2B6圆的方程：名师归纳总结 标准方程：x2xya2yb 2Fr2；x22y22r2F；0第 8 页,共 19 页一般方程：0（2DxEyDE4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 注： Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C 0 且 B=0 且 D2+E2 4AF0 ；7圆的方程的求法：待定系数法；几何法；圆系法；8圆系： x 2y 2D 1 x E 1 y F 1 x 2y 2D 2 x E 2 y F 2 ,0 1 ；注：当 1时表示两圆交线； x 2y 2Dx Ey F Ax By

22、C 0 , 1 ；9点、直线与圆的位置关系：（主要把握几何法）点与圆的位置关系： （ d 表示点到圆心的距离） d R 点在圆上； d R 点在圆内； d R 点在圆外；直线与圆的位置关系：（ d 表示圆心到直线的距离） d R 相切； d R 相交； d R 相离；圆与圆的位置关系： （ d 表示圆心距,R, r 表示两圆半径,且 R r） d R r 相离； d R r 外切； R r d R r 相交； d R r 内切； 0 d R r 内含；10与圆有关的结论：过圆 x 2+y 2=r 2 上的点 Mx 0,y0的切线方程为：x 0x+y 0y=r 2；过圆 x- a 2+y- b

23、2=r 2 上的点 Mx 0,y0的切线方程为：x 0- ax- a+y0- by - b=r 2；以 Ax 1, y2、Bx 2,y2为直径的圆的方程：xx 1x x2+y y1yy 2=0；1定义： 椭圆：|MF1第六部分圆锥曲线|MF2|2 a,2a|F1F2|；双曲线：|MF1|MF2|2a,2 a|F 1F 2|；抛物线：略2结论焦半径：椭圆：PF 1aex 0,PF 2aex 0（e 为离心率）； （左“+” 右“-” ）；（）抛物线：PFx0p2弦长公式：AB1k2x 2x 1 1k2x 1x 224x 1 x211y2y 1 11y 1y224y 1y2；k2k2注：（）焦点弦

24、长：椭圆：|AB|2ae x1x 2；抛物线：AB x1+x 2+p=2psin2通径（最短弦） ：椭圆、双曲线：2b2；抛物线： 2p；mn0a过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx2ny21（m,n同时大于 0 时表示椭圆,时表示双曲线） ；椭圆中的结论：名师归纳总结 内接矩形最大面积：2ab；第 9 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P, Q为椭圆上任意两点,且OP0Q,就|12 |12 |11；OPOQa2b2椭圆焦点三角形：SPF 1F 2b2tan2,（F 1PF2）；点 M是PF 1F2内心, PM交F 1F2于点 N

25、,就|PM|a；|MN|c当点 P 与椭圆短轴顶点重合时F 1PF2最大；双曲线中的结论：双曲线x2y21（a0,b0）的渐近线：x2y20；y2=1a0,a2b2a2b2共渐进线ybx的双曲线标准方程为x2y2为参数, 0）；aa2b2双曲线焦点三角形：SPF 1F 2b2cot2,（F 1PF2）；P 是双曲线x2a2b2b0的左（右）支上一点,F 1、F2分别为左、右焦点,就PF 1F2 的内切圆的圆心横坐标为a , a；双曲线为等轴双曲线e2渐近线为yx渐近线相互垂直；（6）抛物线中的结论：名师归纳总结 抛物线y 2=2pxp0 的焦点弦 AB 性质： x1x2=p2；y1y2=p2；

26、x第 10 页,共 19 页4|1|1|2；以 AB 为直径的圆与准线相切；以 AF（或 BF）为直径AFBFp的圆与 y 轴相切； S AOB2p2；sin抛物线y 2=2pxp0 内结直角三角形OAB 的性质：x1x24P2,y 1y24P2；lAB恒过定点 p,0；A,B中点轨迹方程：y2px2p；OMAB,就 M 轨迹方程为：xp2y2p2；S AOBmin4p2；抛物线y 2=2pxp0 ,对称轴上肯定点Aa0,就：当0ap时,顶点到点A 距离最小,最小值为a ；当ap时,抛物线上有关于轴对称的两点到点A 距离最小,最小值为2app2；- - - - - - -精选学习资料 - -

27、- - - - - - - 3直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法） ：联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解；留意以下问题：联立的关于“x ” 仍是关于“y” 的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（代点相减法）：- 处理弦中点问题k ABy1y2；解决问题；步骤如下：设点Ax 1,y 1、Bx 2,y2；作差得x1x24求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式） ；（3）代入法（相关点法或转移法）；待定系数法； （5）参数法；（6）交轨法；第七部分 平面对量设 a=x 1,y1,b=x 2,y2,就： a bb 0 a= b

28、 （R x 1y 2x 2y 1=0； aba、b 0 ab=0 x 1x2+y 1y 2=0 . ab=| a| b|cos=x 2+y 1y2；注： | a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；| b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影；ab 的几何意义： ab 等于 | a| 与| b| 在 a 方向上的投影 | b|cos的乘积；cos=|a|b|；ab三点共线的充要条件P,A,B 三点共线OPx OAyOB 且xy1；z OC且xyz1 ；附：（理科） P,A,B,C四点共面OPx OAy OB第八部分数列1定义：等差数列anan1andd为常数）2anan1an1n2,nN*anknbsnAn2Bn；an-1an1n0 ,2,nN0 ；等比数列anan1qq0an2an0 的常数）Snkkqnqq,1kancqnc,q均为不为2等差、等比数列性质名师归纳总结 通项公式an等差数列