2022年高等数学第二章课后习题答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 班级 学号其次章 导数与微分1. 设fx10x2,试按定义求f1., f 1lim x0f 1xf 1lim x010x1210xxlim x 010x2x20xlim 10 x 0x20202. 以下各题中均假定fx0存在,按导数定义观看以下极限,指出此极限表示什么并将答案填在括号内；lim x0fx 0xfx0fx 0；0存在；xlim x0fxf0, 其中f00,且fxlim h 0fx0hfx0h2fx0. h3. 求以下函数的导数：yx4,就y4x33y3x2,就y2 3x103y1,就y1xyx35x,就y16112x525xx处的

2、切线方程和法线方程 .134 求曲线ycosx 上点3,12ysinx y3323化简得3x2y所以切线方程为y13 2231 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 班级 学号法线方程为y12 3x3化简得3x2 3y3025. 争论函数yx2sin1x0在x0处的连续性和可导性. x由于f000x0lim x 0x2sin10f0有界量乘以无穷小x所以函数在x0处连续由于lim x 0f0x f0lim x 02 xsin1lim x 0xsin10xxxx所以函数在x0处可导 . 2x0,求f0及f0,又f0是否存

3、在？6. 已知fxxxx0f0h lim0f0hf0h lim0h20hhf0h lim0f0hf0h lim0h1hh7. 已知f0f0xx; 0 0,f0不存在fxsinxx.求fxx当x0时, f sincosx ; 当时, f 1x02 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 班级 学号当x0时f0hff0h lim0h11f0h lim0hhf0h lim0f0h 0h lim0sinhhhf01cos , x x0综上,f 1,x08. 求以下函数的导数：y1yx33x24x;52y472 x12 ;x4x5

4、x4y2cscxcotx1xx22cscx2x1223 x32 y3 x2621x2cscxcotx4 cscx1x22y23x23lnxx22ln2xxx3lnxx2y2tanxsecx1 ;xx9x4lnxx43x22x3lnxx22420x628x52x23y5x32x3 ex;y15x2x 2 ln 23 exy2sec2xsec tan5ylnx2lgx3log2x ;6y23x47x;3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 班级 学号y1238y42x2x2x2lnxsinxxxln10xln 27yln

5、x;yx2lnxcosx;xy1xx2lnxy2 lnxcosxx21cosxx9y1ln x2 lnxcosxxcosxxlnxsinxx 22cscx;1x22cscx2xy2cscxcotx1x21x224 cscx21x2cscxcotx10y1x222lnxx3.3lnxx22lnxx33 x2 23x23lnxx2yxx223lnx9. 已知x9x4 lnxx43x22x23lnxx22.sin1cos,求d2d4由于dsincos1sind2122d22所以d424 22 2844 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - -

6、- - - - 班级 学号10. 写出曲线yx1与x 轴交点处的切线方程.yy220；x令y0,得x1 或x1由于y1x2, 所以yx12,yx12曲线在 1,0 处的切线方程为y2x1,即 2x曲线在 1,0 处的切线方程为y2x1,即 2x0；11. 求以下函数的导数：1函数y2x54可分解为：yu4,u2x52其导数 y82x53,u3x2x2函数ye3 x2可分解为：yu e其导数y6xe3x 2yu ua23函数ya2x2可分解为：yarctan , u uex其导数ya2xx24函数yarctanex可分解为：其导数y1x ex2 e：12. 写出以下函数的导数只需写出结果1yco

7、s43x,y3sin43 2yln1x2,y12x2x5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 班级 学号3ysin2x,2yy2sinxcosx2x1a4yarctanx,y12x4x5ytanx2,2 2 sec x26ylogax2x1,yx2x1ln7ylncosx ,ytan x8yarcsin12x,yx1x2earctanx;nx.13. 求以下函数的导数要有解题步骤：2y1yarcsinx2;23ylnlnlnx; 4ysinnxcos14. 设fx可导,求以下函数y 的导数dy:dx1y2fx22;2

8、yfsin2xfcos2x.x2cosxsinxdyxfxdyfsin2x 2sinxcosxf2 cosdxdxsin 2 x fsin2xf2 cox x 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 班级 学号15. 求以下函数的导数：x21ysin2xsin2ylncos1x3yesin21xx4yx16. 求以下函数的二阶导数：1y2x2lnxtetcosteetcostsin 2etcost4x1yx2y41x2yet sintyetsint3yetcossin tsintcos ylnx1x2y1x12x11

9、xx2x2x111x2212 x1x227 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 班级 学号y112 x32 x1x3lnfxf 2222 x217. 假设fx存在,求以下函数的二阶导数d2y:dx21yfx22ydy2xfx2dyf dxdxf x d y 22f2 xx2 xf2 x2 d yf x f x 2 dxdx2f x 22fx 24 x f 2x218. 求以下函数的n 阶导数的一般表达式：xlnx1ysin2x2y19. 求以下函数所指定阶的导数：1yexcos x,求y4. 2yx2sin2x ,求

10、y50.20. 求以下方程所确定的隐函数y的导数dy:dx1x3y33 axy002 y1xeyx 求导得：方程两边关于x 求导得：方程两边关于dyey3x23y2dy3 ay3axdyxeydydxdxdxdx所以dy3ay3x2ayx2所以dy dxeydx3y23 axy2ax1y xe8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 班级 学号21. 2222a,2a处的切线方程和法线方程.求曲线x3y3a3在点44方程两边关于x 求导得：2x12y1dy03333dx122. 所以dyx33yk 2.211；dxy1

11、x3从而切线斜率k 1dy2a,2a1,法线斜率dxk 144y0所以切线方程为y2ax2a ,即xa442法线方程为y2ax2a ,即xy0；44y求由方程y1xey所确定的隐函数y的二阶导数d2dx223. 用对数求导法求以下函数的导数dy:dx1y55x2522yx235x4xx19 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 班级 学号24. 求由参数方程xsint,所确定的曲线在ty:4处的切线方程和法线方程. ycos 2 t25. 求以下参数方程所确定的函数的二阶导数d2dx226. 1x3et2xftft,设

12、ft存在且不为零.时,y2t eyfttdydyt 2 et22 etdydyf tf f tdt dxdt dxdx3 e3dxf 5 mdtdt2 d y4 e 2 t3t3 e43 et2 d y12 dx9dx2f min.当水深为注水入深8 m上顶直径8 m的正圆锥形容器中, 其速率为4m3其外表上升的速率为多少？27. 求以下函数的微分: yxsin2x ;xdsinxxdxyln1x2;xdysin 2xdxdln1x2dysin 2xdx2 cos22ln1x dln110 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - -

13、- - - 班级 学号dysin 2x2 cos2 x dx2ln1xx d1xx 2;12ln11x dxxyexcos3x;yarcsin1x2.cos3x dexx e dcox3xdydarcsin 12 xcos3x x e dxexsin3x dx1x2d11 128. exsin3xcos3x dxxx2 xdxxdx；1将适当的函数填入以下括号内,使等式成立：d2xC2 dx;d3x2C3229. dsinxCcosxdxdcosxCsinxdxdln1xC11xdx ;de2xCe2xdx ;22 sec 3xdxd2xC1dx ;dtan3xCx3运算三角函数值cos29的

14、近似值；由于cos29cos301 所以cos29cos30sin 30180310.8747630. 22 180运算根式6 65 的近似值；11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 班级 学号31. 111 1212.0052x 1x由于6656566416所以6516411645266666 32192当 x 较小时,证明以下近似公式：利用f x f0f0；1tanxxx是角的弧度值2ln1xx.tanxsecxln1x 1tanxx00ln1x x001tan x01ln1x x0所以tan xx所以ln1x x12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页